因式分解方法總結(jié)

1、因式分解方法總結(jié)因式分解方法總結(jié)一、定義定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘 積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解 (也叫作分解因式).因式分解與整式乘法為相反變形，同時(shí)也是 解一元二次方程中公式法的重要步驟.二、因式分解三原則1. 分解要徹底(是否有公因式，是否可用 公式)2. 最后結(jié)果只有小括號(hào)3. 最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正(例如: -3x2 x =x(-3x 1)三、基本方法(一) 提公因式法 ma mb me 二 m(a b e)如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把 這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因 式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取 公因式法.找公因式的一般

2、步驟：(1) 若各項(xiàng)系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大 公約數(shù)；(2) 取相同的字母，字母的指數(shù)取次數(shù)最低的;(3) 取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的指數(shù)取次 數(shù)最低的；(4) 所有這些因式的乘積即為公因式(5) 如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般 要提出“ ”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為 正數(shù)，提出-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡；全家都搬走， 留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶仞寸如：-am bm cm - -m( a - b - c)a(x_y)+b(y_x)=a(xy)_b(x_y)=(a_b)(x_y)注意：把 對(duì)扌變成2+扌)不叫提公因式 例1、分解因式x3-2x2-x(

3、2003年淮安市中考題) 角軍：x3 _2x2 _x 二 x(x2 _2x _1)例2、993 -99能被100整除嗎？還能被那些數(shù)整除？(二) 公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式1、平方差公式：2 2a -b 二(a b)(a _b)2、完全平方公式：2 2 2a -2ab b = (a - b)3、立方和公式：a3 b3 = (a b)(a2 _ab b2)4、立方差公式：a3 _b3 = (a _b)(a2 ab b2)52222、 a b c 2ab 2bc 2ca = (a b c)6、完全立方公式 :a3±

4、3a2b+3ab2士b3 =(a士b)37333222、 a b c -3abc = (a b c)(a b c -ab-bc-ca)例3、分解因式 a +4ab+4b (2003年南通市中考題) 解：a2 4ab 4b2 二(a 2b)2例 4、已知 a,b,c是 lABC 的二邊，且 a2 b2 cab bc ca , 則ABC的形狀是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊 三角形 D.等腰直角三角形解軍： a2 b2 c ab bc = 2a2 2b2 2c2 = 2ab - 2bc - 2ca=(a _b)2 (b _c)2 (c _a)2 =0二 a = b = c(三) 分組

5、分解法能分組分解的多項(xiàng)式一般有四項(xiàng)或大于 四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法、三一分法.1. 分組后能直接提取公因式例5、分解因式am an bm bn.解:原式=(am - an) (bm - bn)=a(m + n十 + b( m 氷 n)每組之間還有公因式！=(m n )(a b)例6、分解因式2ax -10ay +5by -bx解法一：第一、二項(xiàng)為一組；解法二：四項(xiàng)為第一、四項(xiàng)為一組； 第第二、三項(xiàng)為一組。(2ax-bx) (-10ay 5by)x(2a _ b) _ 5y(2a _ b)b)(x _5y)xy - x - y 1解：原式 =(2ax_10ay) (5bybx)

6、原式=2a(x _5y) _b(x _5y)=(2a(2)=(x_5y)(2ab)=練習(xí)：分解因式(1 ) a2ab acbc2 2x - y ax ay原y)(x -y) a(x y) =(x y)(x - y a)2 2 2a -2ab b -c 2、 22. 分組后能直接運(yùn)用公式 例7、分解因式： 解：= (x2 - y2) (ax ay) =(x 例8、分解因式： 解：原式=(a2 -2ab b2) -c2 = (a - b)2 - c2 =(a - b - c)(a - b c) 練習(xí)：分解因式(1)x2_x_9y2_3y ( 2)x2 一 y2 一 z2 一 2yz(四) 十字相乘

7、法 口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中 1.二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式 直接利用公式x2 (p q)x pq =(x p)(x q)進(jìn)行分解特點(diǎn)：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和 例9、分解因式:x2 5x 6分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要 等于5.由于 6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X 3"的分解適合，即 2+3=5.解:x2 5x 6 = x2(23)x2 3(X 2)(x 3)1X 2+1X 3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè) 因數(shù)

8、的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng) 的系數(shù).例10、分解因式：x27x 6解： 原式=x2 (一1) (6)x (一1)(一6) A二1-1(x_1)(x_6)-6+( -6)= -7練習(xí)、分解因式(1)(3) x2 4x 5 練習(xí)、分解因式(1)(3) x2-10x-242.二次項(xiàng)系數(shù)不為條件：(1) a = a,a2C114x 24x-2(2) a2 -15a 36y2_2y _151的二次二項(xiàng)式 axbx ca1(2) c =c1 c2(3) b = a© a2Ci分解結(jié)果 : ax2 bx c=(a-ix c1)(a2x c2) 例11、分解因式： 分析：13x2 -11

9、x 10a2C2b 二 a1c2a2q-2-5(-6)+( -5)= -11解：3x2 -11x 10 = (x -2)(3x -5)練習(xí)、分解因式(1) 5x2 7x_6 3x2 -7x 2(3) 10x2 -17x 3(4)(2)2-6y211y103. 二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式 例 12、分解因式：a2-8ab-128b2a的二分析：將b看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于 次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。1x 8b-16b8b+(-16b)= -8b解：a2 -8ab -128b2 = a2 8b (-16b)a 8b (-16b)(a 8b)(a -16b)4.二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)

10、式例 9、2x2-7xy+6y2例 10、x2y2-3xy + 21X -2y把xy看作一個(gè)整體1-121 -2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)= -3解：原式=(X-2y)(2x_3y)解：原式=(xy-1)(xy-2)m2 -6mn 8n2練習(xí)、分解因式：(1)15x2 7xy-4y2a2x2 -6ax 8x2 _3xy 2y2練習(xí)、分解因式(3) a2 -ab -6b2思考：分解因式：abcx2 - (a2b2 c2)x abc(五) 換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，整體代入，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做 換元法.注

11、意：換元后勿忘還元.例11、分解因式(x2 x 1)(x2 x 212解：令y x2 x則原式 = (y+1)(y+2)12 =y2 +3y -10 =(y + 5)(y-2)2 2 2=(x x 5)(x x -2)= (x x 5)(x 2)(x -1)例12、分解因式(1) 2005x2 (20052 1)x 2005(2) (x 1)(x2)(x 3)( x 6) x2解：(1)設(shè) 2005=a，則原式=ax2(a21)xa=(ax 1)(xa)=(2005x 1)(x -2005)(2)型如abcd e的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以 把四個(gè)因式兩兩分組相乘.原式 =(x2 7x 6)(x2

12、 5x 6) x2設(shè) x2 5x 6 二 A，貝U x2 7x 6 = A 2x原式=(A 2x)A x2=A2 2Ax x22 2 2= (A + x) =(x +6x + 6)練習(xí)、分解因式(1) (x2 +xy + y2)2 _4xy(x2 + y2)(2) (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90(3) (a21)2 (a25)2 -4(a23)2(六) 拆項(xiàng)、添項(xiàng)法這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ) 上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使原式適合于 提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解 要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變 形例 13、分解因式 bc(b e ca(c-a

13、)-ab(a 巾) 解：原式=bc(c a + a + b) + ca(c a) ab( a + b)二 bc(ca) bc(a b) ca(ca)ab(a b)二 bc(c _a) ca(c _a) bc(a b) -ab(a b)二(bc ca)(c _ a) (be _ ab)(a b)=c(c _a)(b a) b(c _ a)(a b)=(c b)(c-a)(b a)(七) 配方法對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將 其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公 式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法屬于拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須 在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形 例14

14、、分解因式x2 4x 3解：原式= X2 +4x+4 _4 +3 = (x + 2)2 _1 =(x+2 +1)(x + 2_1) = (x + 3)(x + 1)(八) 主元法先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè) 字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解例15、分解因式 a2(b _c) +b2(c _a) +c2(a _b) 解：原式=a2(b c) a(b2 c2) (b2c c2b)2二(b c)a - a(b c) bc=(b -c)(a -b)(a -c)(九) 特殊值法將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì) 因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一 個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的

15、形式，將2或10 還原成x，即得因式分解式.例16、分解因式 X3 9x2 23x 15解：令-2，則x3 + 9x2 +23x +15 = 8 + 36 + 46 + 15=105將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105 = 3 5 7 注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為 1 ,而3、5、 7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值貝0 x3 9x223x 15 =(x 1)(x 3)(x 5)(十)待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng) 整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式 因式分解例17、分解因式 x4 _x3 _5x2 _6x -4解：由分析知，這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因

16、而只能分解為兩個(gè)二次因式，于是設(shè) x4 -x3 -5x2 -6x -4 二(x2 ax b)(x2 cx d)432=x (a c)x (ac b d)x (ad bc)x bd所以|a c八1ac b d = -5Iad+bc=6bd =4角軍彳得a=1 , b=1 , c = 2 , d=4所以x4 _x3 _5x2 _6x _4 =(x2 x 1)(x2 _2x_4)例 18、分解因式 x2 xy -6y2 X 13y -6分析：原式的前3項(xiàng)x2 xy _6y則原多項(xiàng)式必定可分為(X 3y m)(x 2y n) 解：設(shè)x2 xy-6y2 x13y6 = (x 3y m)(x - 2y n

17、)*/ (x 3y m)(x _2y n) =x2 xy -6y2 (m n)x (3n - 2m)y - mn x xy 6yx 13y 6 =xxy 6y (m n)x (3n 2m)y -mn| m n = 1 對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得3n2m = 13 ,解得 n = 3 mn _ _6二原式=(x 3y-2)(x-2y 3)例19、( 1)當(dāng)m為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2y2 mx 5y6能分 解因式，并分解此多項(xiàng)式(2)如果x3 ax2 bx 8有兩個(gè)因式為x 1和x 2，求 a b的值.(1)分析：前兩項(xiàng)可以分解為(x y)(x-y)，故此多 項(xiàng)式分解的形式必為(x 十y + a)(

18、x y +b)角軍設(shè)x2 - y2mx 5y-6 =(xy a)(x - y b)貝Ux2 -y2mx 5y6 =x2- y2 (a b)x (b -a)yab|a b = m|a = -2a = 2比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得：(b a=5，解得：* b = 3或b = 3 、ab = -6m = 1m = -1.當(dāng)m = _1時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng) m =1 時(shí)， 原式=(x y 2)(x y 3)；當(dāng) m 1 時(shí)，原式=(x y 2)(x_y_3)(2)分析：x3 ax2 bx 8是一個(gè)三次式，所以它應(yīng)該分成三個(gè)一次式相乘，因此第三個(gè)因式必為形如X+C的一次二項(xiàng)式。解：設(shè) x3 ax2 bx 8 = (x 1)(x 2)(x c)貝U x3 ax2 bx 8 = x3