有限元與數值方法-講稿19 彈塑性增量有限元分析課件

1、材料非線性問題有限元方法教學要求和內容1. 掌握彈塑性本構關系和塑性力學的基本法則;2. 掌握彈塑性增量分析的有限元格式;3. 學習常用非線性方程組的求解方法:(1 直接迭代法;(2 Newton-Raphson 方法,修正的 N -R 方法;(3 增量法等。請大家預習,爭取對相關內容有大概的了解和把握。彈塑性增量有限元分析彈塑性材料進入塑性的特點:存在不可恢復的塑性變形;卸載時:非線性彈性材料按原路徑卸載;彈塑性材料按不同的路徑卸載, 并且有殘余應變,稱為塑性應變。 1 彈性階段 : 卸載時不留下殘余變形 ;2 初始屈服:s =3 強化階段:超過初始屈服之后 , 按彈性規(guī)律卸載,再加載彈性范

2、圍擴大:ss '>, s'為相繼屈服應力。4 鮑氏現象(Bauschinger :1.初始屈服準則: 00(, 0ij F k = 已經建立了多種屈服準則:(1 V . Mises 準則:000(, ( 0ij ij F k f k =-=220011( (, ( 23ij ij ij s f s s J k =第二應力不變量 1122221, ( 3ij ij ij m m s =-=+偏應力張量:平均應力: (2 Tresca 準則(最大剪應力準則 :0max ( 0ij s F S =-= 6V . Mises 流動法則:0(, ( ij ij pij ijij F

3、 k f d d d =, 0d > 待定有限量 塑性應變增量 pij d 沿屈服面當前應力點的法線方向增加。因此,稱為法向流動法則。3.硬化法則:(1各向同性硬化:(, ( 0ij ij F k f k =-= 7 21(, 3p p s k = 等效塑性應變, 可由 單拉試驗確定 。 (2運動硬化法則:* Prager運動硬化準則;Zeigler 修正的運動硬化準則。(3混合硬化法則: 84.加載卸載準則:(1若 (, 0ij F k =,且 ( 0ij ij ij f >,則繼續(xù)塑性加載9 (2若 (, 0ij F k =,且 (0ij ij ijf <,則按彈性卸載

4、(3若 (, 0ij F k =,且 (ij ij ij f =,1對理想塑性材料,則繼續(xù)塑性流動;2對硬化材料,則 繼續(xù)塑性加載,但塑性應變增量為零。 0p d =10(1一致性條件:塑性加載時,應力仍在屈服面上(2流動法則:新的塑性應變增量, p ij d , 在屈服面上的原應力點 的外法線方向。(3彈性應力應變關系:應變增量的彈性應變部分與應力關系仍 服從胡克定律。(1 一致性條件(, (, (, i j i j i j i j d F F d d F =+-=,ij ij F F dF d d =+= 具體形式:203sij s p ij p f d d -=, s ppE = 單向拉

5、伸試驗測得。(2流動法則:( ij pijijf d d =, 1( 2ij ij ijf s s = 23pp s d d = (3應力應變關系:e p ij ij ijd d d =+( e p p ij ijkl kl ijkl kl kl ijkl kl ijkl kld D d D d d D d D d =-=-注意:屈服條件是已知的,我們應該將塑性應變通過已知量表示出來。 根據流動規(guī)則,( ij p ijijf d d =,需要確定 d 。249eijkl klijeijkl s p ij kl f D d d f f D E =+, spp E =( ij p ijijf d

6、d =2(9e e p ij ijklklijkl kl kle ijklkl kle mnqre e mnijklkl ijklqre klmnqrs pmnqr e p ep ijkl kl ijklkl ijklkl d D d D d d f D d d fDf D d Dd DE D d D d D d =-=-=-+=-=彈性張量:, e e e ijkl ij ijkl klD d D d =塑性張量:29eeijpqmnklpq mn pijklemnqr s pmn qr f f D D D D E =+, 249Teepe s p f f D D D f f D E =+

7、彈塑性張量:epe p ijkl ijkl ijklD D D =-e p ep ij ijkl kl ijkl kl ijklkl d D d D d D d =-=寫成矩陣形式:epe pd D dD d D d =-=四.彈塑性增量有限元格式 1 彈塑性問題的增量方程將物體的作用荷載分成很多階段, 以模擬加載歷史。 假設在 t 時刻作 用的荷載:t(體積力 , t(表面力 , t(已知位移 , 以及所對 應的響應(應力 t ij ,應變 tij ,位移 ti u 已知。求 t t +時刻對應的響應:t tt +=+,t T +=+,t tt+=+t ttij ij ij +=+,t tt

8、ij ij ij +=+,t tti i i u u u +=+16由虛功方程(虛位移原理描述的控制方程為:( ( ( ( ( ( 0t t tij ij ij i i s dx u dx u ds +-+-+=( ( ( ( ( ( ij ij i i s t t tij ij i i s dx u dx u dsdx u dx u ds -=-+( ( ( ( ( ( tep ijklkl ij i i s t t tij ij i i s D dx u dx u dsdx u dx u ds -=-+17寫成矩陣形式t ep s ttts D dx u dx u dsdx u dx u

9、ds TTTTTT-=-+將物體離散成有限單元,單元內任意點的位移增量通過形函數用單元 節(jié)點位移增量表示: 位移:eu N a = 應變:eB a = 帶入虛功原理:tK a Q =18,ettetetepet t t t t t e t t e K K K B D B dxQ Q Q Q Q T+=-=-eee eet e t ept te t tt ts t etts K B D B dxQ N dx N dxQ N dx N dxT+T+T+TT=+=+19采用純增量法作彈塑性有限元分析的步驟以下僅限于簡單加載過程(無反復加卸載過程和 Mises 各向同 性強化材料 :1. 開始,輸入初

10、始參數(幾何;材料性質, 0s, P E ;邊界條件;外載荷2. 將外載荷一次加上作線彈性分析 max q (Mi. 條件 如果 0max s 不存在塑性區(qū)則為彈性問題 直接輸出結果 結束! 否則0max s >作彈塑性分析3. 計算彈性極限 e Q 設 0max /s=, 則 e Q P =20并可輸出彈性極限載荷 e Q 下的結果 e e e q 、 。 4. 對剩余載荷 r e Q Q Q =-作彈塑性分析如果采用等增量步格式,則將 r Q 等分為 N 個增量步,即每一增量 步載荷為:rQ Q N=。下面 5. 中是對 N 個增量步循環(huán)。5. 在 i 步上施加一個增量載荷 i Q 。已知當前狀態(tài)下(i -1步終 ,各單 元的(or 高斯點 , , s 。判斷三種類型的單元:1彈性 2 塑性 3過渡單元。對本增量步內所有過渡單元經過 23次迭代得到合適的 ep ,計算各單元的 t k ,并集合所