八個(gè)有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(學(xué)生版)

1、八個(gè)有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球,三棱錐與長(zhǎng)方體的外接球相同）類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑圖1方法:例1A.(2)(3)b2找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R） =a（1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4 ,16二 B 20二C 24 二Dc2，即 2R = a2 b2 c2，求出 R體積為16，則這個(gè)球的表面積是（ 32 二若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為.3，則其外接球的表面積是在正三棱錐 S-ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且 AM _ MN ,若側(cè)棱SA = 2、3,則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是解：

2、引理：正三棱錐的對(duì)棱互垂直 ，證明如下：如圖(3) -1，取AB, BC的中點(diǎn)D,E，連接AE,CD , AE, CD交于H，連 接SH，則H是底面正三角形 ABC的中心， SH _平面ABC, SH _ AB ,AC 二 BC , AD 二 BD , CD _ AB , AB _ 平面 SCD , . AB _ SC ,同理：BC _ SA, AC _ SB，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖(3) -2 ,- AM _MN , SB/MN ,AM _SB, AC_SB , SB_平面 SAC ,SB_SA, SB_SC, SB_SA, BC _ SA,C(3)題-1SA_ 平面 SBC,S

3、A_SC ,故三棱錐S - ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互垂直，(2R)2 =(2、.3)2 - (-.3)2 (2、.3)2=36，即 4R36 ,外接球的表面積是 36 二題-2（4）在四面體S-ABC中，SA_平面ABC , . BAC =120 ,SA二AC = 2, AB = 1,則該四面體的外接球的表面積為（)A.11-：10小 40B.7 二C.D.-33（5） 如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是 （6） 已知某幾何體的三視圖如圖上右所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形,貝U該幾何體外接球的體積為類型二、垂面模型（一條

4、直線垂直于一個(gè)平面）1.題設(shè)：如圖5, PA_平面ABC解題步驟：第一步：將AABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直 徑AD，連接PD，貝V PD必過球心O ;第二步：01為 ABC的外心，所以O(shè)O! _平面ABC，算出小圓01的半徑O1D =r （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得sin A sin B = 2r), OO1 =】PA ；sinC2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 =PA2(2r)2 =2R 二.PA2(2r)2 ； R2 二 r200；= R = r2 OO122.題設(shè)：如圖6, 7, 8, P的射影是ABC的外心=三棱錐P-AB

5、C的三條側(cè)棱相等 =三棱錐P _ABC的底面. ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取=ABC的外心01，則P,OQ三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 01的半徑AOr，再算出棱錐的高POh （也是圓錐的高）第三步：勾股定理：OA2 =OiA2 0i02= R2 =（h-R）2 r2，解出 R.方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為A. 3 二B. 2 二C估D3.以上都不對(duì)類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）圖9-1圖9-2圖9-3pOACBOi圖9-41.題設(shè)：如圖9-1，平面PAC _平面ABC，

6、且AB _ BC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心 O必是 PAC的外心，即 PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC = 2r ;第二步：在 ¥AC中，可根據(jù)正弦定理 bc 2R，求出R。sin A sin B sin C2.如圖9-2，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC為小圓的直徑）oc2 BC2 OQ2 u R2=r2 OQl AC=2. R2_OQ23.如圖9-3，平面PAC _平面ABC，且AB_ BC （即AC為小圓的直徑），且P的射影是:ABC的外 心:二 三棱錐P - ABC的三條側(cè)棱相等二 三棱P - ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)

7、 P點(diǎn)也是圓 錐的頂點(diǎn)解題步驟： 第一步：確定球心 O的位置，取 ABC的外心O1，則PQOj三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 O1的半徑AOr，再算出棱錐的高 POj =h （也是圓錐的高）第三步：勾股定理：OA2 =OiA2 OiO2= R2 =（h-R）2 r2，解出R4.如圖9-3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC為小圓的直徑），且PA _ AC，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2二PA2 （2r）2二2R= . PA2 （2r）2 ； R2 二 r2 OOi2 = Rr2 OO12例3 （1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2.3

8、 ,則該球的表面積為(2)(3)在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC= 3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為（A.二B.)JiC. 4D.3（4）已知三棱錐 S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球徑,且SC = 2;則此棱錐的體積為（3O的求面上，厶ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直）Bi C6類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）正四棱錐S -ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 .2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為OCBBiCi圖 10-1AAiOi圖 10-2B1題設(shè)：如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱

9、，棱柱的上下底面可以 是任意三角形) 第一步：確定球心 0的位置，01是 ABC的外心，貝U 00“ _平面ABC ； 第二步：算出小圓 0“的半徑AOr , OOAAlh( AA, =h也是圓柱的高)；第三步：勾股定理:0A2 =01A2 010= R2/h222 /h 2= (?)R= . r (2)，解出2 2例4(1) 一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，9且該六棱柱的體積為 -，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為8(2)直三棱柱 ABC -ABG的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB = AC =人人=2, BAC =120，則此球的表面積等于。(

10、3) 已知.EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA二EB = 3, AD = 2, AEB = 60，則多面體E -ABCD的外接球的表面積為 。(4) 在直三棱柱 ABC -ABG中，AB =4, AC =6, A, AA 4則直三棱柱 ABC -人石心的外接球3的表面積為。類型五、折疊模型第一步：先畫出如圖所示的圖形，將. BCD畫在小圓上，找出. BCD和：A BD的外心 比和H2第二步：過 Hi和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心0，連接OE,OC ；2 2 2 第三步：解 OEHi，算出OHi，在Rt OCH i中，勾股定理： OHi CH

11、i = OC例5三棱錐P - ABC中，平面PAC _平面ABC， PAC和厶ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱 錐P-ABC外接球的半徑為 .類型六、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等， 求外接球半徑（AB二CD，AD = BC，AC = BD） 第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為 a,b, c， AD = BC = x， AB = CD = y， AC = BD = z，列方程組，2ae2b2c2a22=X2/cr»22 丄2 丄 2=y = (2R) a b c =x2y2z2補(bǔ)充：V

12、a_bcd1i=abc abc 4 abc63第三步：根據(jù)墻角模型,2R = a2 b2 c2AxDycyzxa圖12R2X2y2z2R= x2 y2z2，求出R，例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例6（ i）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是(1)題（2） 個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為i的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是()A.3 3B._2c<3D.343412(3) 在三棱錐 A-BCD中，若AB二CD = 2, AD二BC = 3, AC二BD =4,則三棱錐 A-

13、BCD外接球的表面積為。(4) 在三棱錐 A-BCD中，AB二CD =5,AC二BD =6,AD二BC = 7,則該三棱錐外接球的表面積為.(5) 正四面體的各條棱長(zhǎng)都為2，則該正面體外接球的體積為 類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐)模型C題設(shè)： APB =/ACB =90，求三棱錐P - ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O ,連接1OP,OC，貝y OA =OB =OC =OP AB， - O為三棱錐P - ABC外接球球心，然后在 OCP中求出2半徑)例7 (1)在矩形ABCD中，AB=4, BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面

14、角 B - AC - D , 則四面體ABCD的外接球的體積為()A.12(2)在矩形ABCD中,的外接球的表面積為125_.廠125125C .D .963AB =2 , BC =3,沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC ,所得三棱錐 A - BCD類型八、錐體的內(nèi)切球問題ACBP圖141題設(shè)：如圖14，三棱錐P _ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心;1第二步：求DH BD，P0二PH-r，PD是側(cè)面 ABP的高；3第三步：由 P0E相似于 PDH，建立等式：0E =-P0，解出rDH PD2. 題設(shè)：如圖15，四棱錐PABC上正四棱

15、錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,0, H三點(diǎn)共線；1第二步：求FH）BC , po二PH-r , PF是側(cè)面 PCD的高；2OG po第三步：由APOG相似于 PFH，建立等式：，解出HF PF3題設(shè)：三棱錐 P - ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；D第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式：VP山BC=VOBCVoab-VO-PAC -Vo-_ 11VP -ABCS 'ABC r SPAB331r 3Spac1r3 Spbc1r 6(S abc'S 'PAB ' SPAC第三步:解出r3V P ABCSo SBC ' So -PAB ' So _PAC ' So _PBC習(xí)題：1. 若三棱錐S - ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA = 2 , SB二SC = 4 ,則該三棱錐的外接球半徑為 （）A. 3B. 6C. 36D. 92. 三棱錐S - ABC中，側(cè)棱SA_平面ABC，底面ABC是邊長(zhǎng)為 3的正三角形，SA= 2、3，則該三 棱錐的外接球體積等于.3. 正三棱錐S - ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為 3