第四章機(jī)械的振動(dòng)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案習(xí)題四4-1符合什么規(guī)律的運(yùn)動(dòng)才是諧振動(dòng)?分別分析下列運(yùn)動(dòng)是不是諧振動(dòng)：(1) 拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)；(2) 如題 4-1 圖所示，一小球在一個(gè)半徑很大的光滑凹球面內(nèi)滾動(dòng)( 設(shè)小球所經(jīng)過的弧線很短) 題4-1 圖解：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一，描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長 等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二，系統(tǒng)是在 自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用或者說，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用d220dt 2描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)(1) 拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)第一，球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置

2、； 第二，球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線 性回復(fù)力(2) 小球在題 4-1 圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動(dòng)，是諧振動(dòng) 顯然， 小球在運(yùn)動(dòng)過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng) ( 指小球凹槽、 地球系統(tǒng) ) 的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn)O ；而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為mg sin，如題 4-1 圖 (b) 所示題 中所述， S R ，故S0，所以回復(fù)力為mg. 式中負(fù)號(hào)，表示回復(fù)RO 點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性力的方向始終與角位移的方向相反即小球在的若以小球?yàn)閷?duì)象，則小球在以 O 為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，

3、在凹槽切線方向上有mR d 2mgdt 2令2g，則有Rd 220dt 24-2勁度系數(shù)為 k1 和 k2 的兩根彈簧，與質(zhì)量為m 的小球按題 4-2 圖所示的兩種方式連接，試證明它們的振動(dòng)均為諧振動(dòng)，并分別求出它們的振動(dòng)周期精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案題4-2圖解： (1) 圖 (a) 中為串聯(lián)彈簧，對(duì)于輕彈簧在任一時(shí)刻應(yīng)有FF1F2 ，設(shè)串聯(lián)彈簧的等效倔強(qiáng)系數(shù)為 K串 等效位移為 x ，則有Fk串 xF1k1 x1F2k2 x2又有x x1x2FF1F2xk1k2k串所以串聯(lián)彈簧的等效倔強(qiáng)系數(shù)為k串k1k 2k1k 2即小球與串聯(lián)彈簧構(gòu)成了一個(gè)等效倔強(qiáng)系數(shù)為kk1k 2 /(k1 k2 ) 的彈簧

4、振子系統(tǒng)，故小球作諧振動(dòng)其振動(dòng)周期為2mm(k1k2 )T22k1k2k串(2) 圖 (b) 中可等效為并聯(lián)彈簧，同上理，應(yīng)有FF1F2 ，即 x x1x2 ，設(shè)并聯(lián)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為 k并 ，則有k并 x k1 x1k2 x2故k并 k 1k2同上理，其振動(dòng)周期為mT2k1k24-3如題 4-3 圖所示，物體的質(zhì)量為m ，放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角為，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為 k ，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I ，半徑為 R 先把物體托住，使彈簧維持原長，然后由靜止釋放，試證明物體作簡諧振動(dòng)，并求振動(dòng)周期精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案題4-3圖解：分別以物體m 和滑輪為對(duì)象，其受力如題4-3 圖 (b) 所示，

5、以重物在斜面上靜平衡時(shí)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為x 軸正向，則當(dāng)重物偏離原點(diǎn)的坐標(biāo)為x 時(shí)，有mg sinT1m d2 xdt 2T1R T2 RId2 xRT2k( x0x)dt 2式中 x0mg sin / k ，為靜平衡時(shí)彈簧之伸長量，聯(lián)立以上三式，有( mRI ) d2 xkxRRdt 2令2kR 2mR2I則有d 2 x2x0dt 2故知該系統(tǒng)是作簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期為T22mR2 I ( 2m I / R2 )kR2K4-4 質(zhì)量為 10 10 3 kg 的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按 x0.1cos(82 ) (SI) 的規(guī)律3作諧振動(dòng)，求：(1) 振動(dòng)的周期、振幅和初位相及速度

6、與加速度的最大值；(2) 最大的回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢(shì)能，在哪些位置上動(dòng)能與勢(shì)能相等?(3) t 2 5s 與 t1 1s 兩個(gè)時(shí)刻的位相差；解： (1) 設(shè)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為xAcos( t0 ) ，則知：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案A0.1m,8,T21s, 0 2 / 34又vmA0.8m s 12.51 m s 1am2 A63.2 m s 2(2)Fmam0.63NE1 mvm23.16 10 2 J21E pEkE1.5810 2J2當(dāng) EkE p 時(shí)，有 E2E p ，即1 kx 21( 1 kA2 )222x2 A2 m220(3)(t2t1 )8(51)324-5一個(gè)沿

7、x 軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為A ，周期為 T ，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示如果 t 0 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：(1) x0A ；(2) 過平衡位置向正向運(yùn)動(dòng)；(3)過 xA處向負(fù)向運(yùn)動(dòng)；2(4)過 xA處向正向運(yùn)動(dòng)2試求出相應(yīng)的初位相，并寫出振動(dòng)方程解：因?yàn)閤0Acos 0v0A sin 0將以上初值條件代入上式，使兩式同時(shí)成立之值即為該條件下的初位相故有1xAcos( 2t)T23xAcos( 2t3)2T23xA cos( 2t3)3T45xA cos( 2t5)4T4精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4-6一質(zhì)量為 1010 3 kg 的物體作諧振動(dòng)，振幅為24cm ，周期為 4.0s ，當(dāng) t0

8、時(shí)位移為 24cm 求：(1) t 0.5s 時(shí)，物體所在的位置及此時(shí)所受力的大小和方向；(2) 由起始位置運(yùn)動(dòng)到 x 12cm 處所需的最短時(shí)間；(3) 在 x 12cm 處物體的總能量解：由題已知A2410 2 m, T4.0s20.5rad s 1T又， t0 時(shí)，,00x0A故振動(dòng)方程為x2410 2 cos(0.5 t) m(1) 將 t 0.5s 代入得x0.524 10 2 cos(0.5 t)m 0.17mFmam2 x1010 3( )2 0.174.2 10 3 N2方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿x 軸負(fù)向(2) 由題知， t0時(shí)， 00 ，t t 時(shí) x0A0,故 t,且 v23

9、2 st/323(3) 由于諧振動(dòng)中能量守恒，故在任一位置處或任一時(shí)刻的系統(tǒng)的總能量均為E1kA21m2 A22211010 3()2 (0.24)2227.1 10 4J4-7有一輕彈簧， 下面懸掛質(zhì)量為 1.0g 的物體時(shí)， 伸長為 4.9cm 用這個(gè)彈簧和一個(gè)質(zhì)量為 8.0g 的小球構(gòu)成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開1.0cm 后 ，給予向上的初速度v05.0cm s 1，求振動(dòng)周期和振動(dòng)表達(dá)式解：km1 g1.0 10 3 9.8 0.2 N m 1x14.9 10 2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案而 t0 時(shí)， x01.010 2 m,v05.0 10 2 m s-1(設(shè)向上為正 )又k0

10、.25,即T21.26sm8 103Ax02( v0 ) 2(1.010 2)2(5.0102) 25210 2 mtan 0v05.01025x01.01021,即 045x2 10 2 cos(5t5)m44-8圖為兩個(gè)諧振動(dòng)的xt 曲線，試分別寫出其諧振動(dòng)方程題4-8 圖解：由題 4-8 圖 (a) ， t0 時(shí)， x00, v00,03 , 又 , A 10cm,T 2s22即rad s 1T3故xa0.1cos(t)m2由題 4-8 圖 (b) t 0時(shí)， x0A , v00,0523t10 時(shí)， x1 0,v10,12255又112536故xb0.1cos(5t5)m63m 的物體

11、4-9一輕彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k ，其下端懸有一質(zhì)量為M 的盤子現(xiàn)有一質(zhì)量為從離盤底 h 高度處自由下落到盤中并和盤子粘在一起，于是盤子開始振動(dòng)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(1) 此時(shí)的振動(dòng)周期與空盤子作振動(dòng)時(shí)的周期有何不同?(2) 此時(shí)的振動(dòng)振幅多大 ?(3) 取平衡位置為原點(diǎn)，位移以向下為正，并以彈簧開始振動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求初位相并寫出物體與盤子的振動(dòng)方程解： (1) 空盤的振動(dòng)周期為2M，落下重物后振動(dòng)周期為2M mk，即增大k(2) 按 (3)所設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)及計(jì)時(shí)起點(diǎn)，t0 時(shí)，則 x0mg 碰撞時(shí)，以 m, M 為一系統(tǒng)k動(dòng)量守恒，即m2gh(m M )v0則有v0m2ghmM于是A2v0)2m

12、g2(m2 2gh)2x0()(mM )kmg1(m2khkM ) g（3） tan 0v02kh(第三象限 ) ，所以振動(dòng)方程為x0( Mm) gxmg 12khcosktarctan2khk( m M ) gm M(M m) g4-10有一單擺，擺長 l1.0m ，擺球質(zhì)量 m1010 3 kg ，當(dāng)擺球處在平衡位置時(shí)，若給小球一水平向右的沖量Ft1.010 4 kgm s1 ，取打擊時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn) (t0) ，求振動(dòng)的初位相和角振幅，并寫出小球的振動(dòng)方程解：由動(dòng)量定理，有Ftmv0vFmt 1.0 10 40.01m s-11.010 3按題設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)，并設(shè)向右為x 軸正向，則知 t0

13、時(shí)， x00,v0 0.01ms 1 003 / 2又g9.83.13rad s 1l1.0精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2v0)2v00.013.2103mAx0(3.13故其角振幅A3.2 10 3 radl小球的振動(dòng)方程為3.210 3 cos(3.13t3) rad20.20m ，位相與第一振動(dòng)4-11 有兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，其合成振動(dòng)的振幅為的位相差為，已知第一振動(dòng)的振幅為0.173m ，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅以及第一、第二兩振6動(dòng)的位相差題4-11 圖解：由題意可做出旋轉(zhuǎn)矢量圖如下由圖知A22A12A22 A1 Acos30(0.173) 2(0.2)22 0.1730.23 / 20

14、.01A20.1m設(shè)角 AA O為 ，則1A2A12A222 A1 A2 coscosA12A22A2( 0.173)2(0.1) 2(0.02) 2即2A1 A220.173 0.10即，這說明， A1 與 A2 間夾角為，即二振動(dòng)的位相差為.2224-12 試用最簡單的方法求出下列兩組諧振動(dòng)合成后所得合振動(dòng)的振幅：x15 cos(3t)cmx15 cos(3t)cm(1)3(2)3x27)cmx24)cm5cos(3t5 cos(3t33解： (1)2172 ,33精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案合振幅AA1A2 10cm(2) 4,33合振幅A04-13一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡諧振動(dòng)，振動(dòng)

15、方程為x10.4 cos(2t6) mx20.3 cos(2t5)m6試分別用旋轉(zhuǎn)矢量法和振動(dòng)合成法求合振動(dòng)的振動(dòng)幅和初相，并寫出諧振方程。解：A1 sin1A2 sintanA2 cosA2 cos 1(5)66A合A1A20.1m0.4sin50.3 sin326620.4 cos530.3 cos666其振動(dòng)方程為x0.1cos(2t)m6( 作圖法略 )* 4-14如題 4-14 圖所示，兩個(gè)相互垂直的諧振動(dòng)的合振動(dòng)圖形為一橢圓，已知x 方向的振動(dòng)方程為 x6 cos 2 tcm ，求 y 方向的振動(dòng)方程題 4-14 圖解：因合振動(dòng)是一正橢圓，故知兩分振動(dòng)的位相差為2或 3；又，軌道是按順時(shí)針方向旋2轉(zhuǎn)，故知兩分振動(dòng)位相差為. 所以 y 方向的振動(dòng)方程為2y 12 cos(2 t)cm2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解 : (1)振動(dòng)是指一個(gè)孤立的系統(tǒng)( 也可是介質(zhì)中的一個(gè)質(zhì)元) 在某固定平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)任一質(zhì)元離開平衡位置的位移既是坐標(biāo)位置x ，又是時(shí)間t 的函數(shù)，即yf (x,t )