向量在物理中的應(yīng)用舉例

1、2 5.2 向量在物理中的應(yīng)用舉例1. 經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程.2.體會向量是一種處理物理問題的重要工具.3.培養(yǎng)運用向量知識解決物理問題的能力知識點一向量的線性運算在物理中的應(yīng)用1 用向量解決力的問題，通常把向量的起點平移到同一個作用點上2向量在解決涉及速度、位移等物理量的合成與分解時，實質(zhì)就是向量的線性運算知識點二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用物理上力的做功就是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，即W=|F|s|cosF, s>,功是一個實數(shù)，它可正可負(fù)，也可以為零力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，它的實質(zhì)是向量F與s的數(shù)量積.知識點三向

2、量方法解決物理問題的步驟用向量理論討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題思考 物理問題中有哪些量是向量？它們與向量的哪些運算相關(guān)？答案 物理中的向量：物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它們都是向量.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它們也符合向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；力、 速度、 加速度、位移的分解也就是向量的分解，運動的疊加也用到了向量的加法.動量mv是

3、數(shù)乘向量.力所做的功就是作用力F與物體在力F的作用下所產(chǎn)生的位移 s的數(shù)量積.1 .功是力F與位移s的數(shù)量積.（V ）2 .力的合成與分解體現(xiàn)了向量的加減法運算.（V ）3 .某輪船需橫渡長江，船速為 vi,水速為V2,要使輪船最快到達(dá)江的另一岸，則需保持船頭方向與江岸垂直.（V ）4 .求力Fi和F2的合力可按照向量加法的平行四邊形法則.（V ）題型一向量的線性運算在物理中的應(yīng)用例1 （1）在重300 N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分 別為30°， 60° （如圖），求重物平衡時，兩根繩子拉力的大小考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求分力解如圖，兩

4、根繩子的拉力之和 OA+OB = OC,且 |OC|= |OG|=300 N , /AOC=30°, / BOC = 60°.在OAC 中，Z ACO = Z BOC = 60 °, / AOC = 30 ；則 / OAC= 90 ；從而 |OA|= |OC| cos 30 = 1506(N),|AC|= |OC| sin 30 = 150(N),所以 |OB|=|AC|= 150(N).答 與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是 150m N,與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是 150 N.(2)一條寬為 炳km的河，水流速度為2 km/h,在河兩岸

5、有兩個碼頭 A, B,已知AB = « km,船在水中最大航速為 4 km/h,問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達(dá)彼岸B碼頭？用時多少？考點 向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度解如圖所示，設(shè)AC為水流速度，AD為航行速度，以 AC和AD為鄰邊作？ACED ,當(dāng)AE與AB重合時能最 快到達(dá)彼岸，根據(jù)題意 AC± AE,在Rt ADE和？ACED中，|DE|=|AC|=2, |AD|=4, ZAED = 90 , .|AE|= ：|AD|2|DE|2=2 ,3.又 AB=M3, . .用時 0.5 h. 1 sin/EAD = 2，0</EAD<90；

6、 Z EAD=30 .答 船用最大速度航行， 方向與水流方向成120。角時能最快到達(dá) B碼頭，此時實際航行速度 大小為2# km/h ,用時0.5 h.反思感悟利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當(dāng)?shù)幕?，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量運算法則、運算律或性質(zhì)計算.第二種是坐標(biāo)法，通過建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.跟蹤訓(xùn)練1河水自西向東流動的速度為10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中的速度為10乖km/h ,求小船的實際航行速度.考點 向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度解 設(shè)a, b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)一

7、點 。作OA=a, OB=b,一 .、7 .一以O(shè)A, OB為鄰邊作矩形 OACB,連接OC,如圖，則OC=a+ b,并且OC即為小船的實際航行速度.|OC|= 4 a+b 2 =42+、= 20(km/h),tan /AOC：10：*,，/AOC = 60；，小船的實際航行速度為 20 km/h,按北偏東30°的方向航行.題型二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用例2 已知力F的大小|F|=10,在F的作用下產(chǎn)生的位移 s的大小|s|=14, F與s的夾角為60°,則F做的功為()A. 7 B. 10 C. 14 D. 70考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求做功答案 D1解析 F 做的功

8、為 Fs=|F|s|cos 60 = 10x14x3=70.反思感悟物理上的功實質(zhì)上就是力與位移兩矢量的數(shù)量積.跟蹤訓(xùn)練2質(zhì)量m=2.0 kg的木塊，在平行于斜面向上的拉力F=10 N的作用下，沿傾斜角0= 30°的光滑斜面向上滑行 同=2.0 m的距離.(g=9.8 N/kg)(1)分別求物體所受各力對物體所做的功；(2)在這個過程中，物體所受各力對物體做功的代數(shù)和是多少？考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求做功解(1)木塊受三個力的作用，重力 G,拉力F和支持力Fn,如圖所示,拉力 F 與位移 s 方向相同，所以拉力對木塊所做的功為Wf= F s= |F|s|cos 0 = 20(J);

9、支持力Fn與位移方向垂直，不做功，所以 Wn = F N s= 0 ；重力 G 對物體所做的功為Wg= G s= |G|S|cos(90 早 0)=- 19.6(J).(2)物體所受各力對物體做功的代數(shù)和為W= Wf + Wn+ Wg = 0.4(J).平面向量在物理中的應(yīng)用典例 如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻 速靠岸過程中，下列說法中正確的是 .（寫出所有正確的序號）繩子的拉力不斷增大；繩子的拉力不斷變??；船的浮力不斷變??；船的浮力保持不變.答案解析 設(shè)水的阻力為f,繩的拉力為F , F與水平方向夾角為9（0線則|F|cos 0= f|,-JfL

10、cos 8（增大,cos。減小，|F|增大.又sin。增大，|F|sin。增大，船的浮力減小.素養(yǎng)評析本題主要考查用平面向量知識解決物理中力學(xué)問題.旨在培養(yǎng)學(xué)生在物理情境 中將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，這正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的具體體現(xiàn)1 . 一質(zhì)點受到平面上的三個力Fi, F2, F3（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知 Fi,F2成90°角，且Fi, F2的大小分別為2和4,則F3的大小為（）A. 6 B. 2 C. 2乖 D. 2市考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求合力答案 C解析 由題意知F3=（F1+F2）,所以 F32=（Fi + F2）2=F2+ F2+2Fi F

11、2=4+16=20,|F3|=2 5.2 .船在靜水中的速度是 vi,水速為V2,則逆水行駛的速度為（）A. vi V2B. V2 viC. Vi+V2D. vi | v2|考點 向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度答案 C解析由題易知，選項C正確.3.用兩條成i20。角的等長的繩子懸掛一個燈具，如圖所示，已知燈具重i0 N,則每根繩子的拉力大小為 N.考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求分力答案 10解析 設(shè)重力為G,每根繩的拉力分別為Fi, F2,則由題意得Fi, F2與一G都成60°角，且|Fi|=|F2|, Fi+F2+G = 0.|Fi|= |F2|= |G|= 10 N,每根繩子的拉力

12、都為10 N.4. 一條河寬為800 m, 一船從A處出發(fā)想要垂直到達(dá)河正對岸的B處，若船速為20 km/h,水速為12 km/h,則船到達(dá)B處所需時間為 min.考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求時間答案3解析由題意作出示意圖，如圖， V 實際=v 船+ v 水=vi+ V2,|vi|= 20 km/h, |V2| =12 km/h,|v 實際 |=小if |V2|2 =202 122 = 16(km/h).0.8 .所需時間 t=0.05(h) = 3(min). 該船到達(dá)B處所需的時間為 3 min.5. 一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡.根據(jù)測量，這一天水流速度為3 km/h,方向正東，風(fēng)吹向

13、北偏西30°,受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3 km/h,若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2小km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向.考點 向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度解 如圖，設(shè)水的速度為 V1,風(fēng)的速度為V2, Vi+V2=a.可求得a的方向是北偏東 30°, a的大小是3 km/h.設(shè)船的實際航行速度為v,方向由南向北，大小為2/3 km/h.船本身的速度為V3,則a+v3=v,即v3= v a,由數(shù)形結(jié)合知，V3的方向是北偏西 60 °,大小是 我km/h.(2)模型的建立，建立以向(4)問題的答案，回到物理現(xiàn)用向量理論討論物理中相關(guān)問題的

14、步驟一般來說分為四步：(1)問題的轉(zhuǎn)化，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題量為主體的數(shù)學(xué)模型(3) 參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象一、選擇題1 .兩個大小相等的共點力Fi, F2,當(dāng)它們夾角為90°時，合力大小為20 N,則當(dāng)它們的夾角為120°時，合力大小為()A. 40 NB. 10>/2 NC. 20m ND. 10吸 N考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求合力答案 B解析|F1|= |F2|= |F|cos 45 =10*,當(dāng)0= 120 ；由平行四邊形法則知|F 合|= |F1|= |F2|= 10+ N.2.已知三個力 F1=(-2

15、, 1), F2=(3,2), F3=(7, 3)同時作用于某物上一點，為使該物體保持平衡，再加上一個力F4,則F4等于()A. (-2, - 2)B. (2, 2)C. (-1,2)D. (-2,2)考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求合力答案 D解析由物理知識，知物體平衡，則所受合力為0,所以F + F2+F3+F4=0,故F4=- (F1 + F2+F3)=( 2,2),故選 D.3.已知作用在點A的三個力F1=(3,4), F2 = (2, 5), F3= (3,1)且A(1,1),則合力F=F1 +F2+F3的終點坐標(biāo)為()B. (1,9)D. (0,9)A. (9,1)C. (9,0)考點

16、向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求合力答案 A解析 F = Fi+F2+F3=(3,4)+(2, 5)+(3,1)=(8,0),設(shè)合力 F 的終點為 P(x, y),則O)P=亦+ F = (1,1)+(8,0) = (9,1).4.質(zhì)點P在平面上作勻速直線運動，速度向量尸(4, 3)(即點P的運動方向與 y相同，且每秒移動的距離為|丫|個單位).設(shè)開始時點 P的坐標(biāo)為(一10,10),則5秒后點P的坐標(biāo)為 ()A. (2,4)B. (30,25)C. (10, 5)D, (5, 10)考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求位移答案 C解析 設(shè)點(10,10)為點A,5秒后P點的坐標(biāo)為 A1(x, y),則aA

17、=(x+10, y- 10),“一乙由題意可知，AA1 = 5 v,即(x+ 10, y-10) = (20, 15),x+ 10=20,x=10,所以解得y10= 15,y=- 5.5.已知兩個力F1, F2的夾角為90°,它們的合力大小為 10 N,合力與F1的夾角為60°,那 么F1的大小為()A. 5而 NB. 5 NC. 10 ND, 572 N考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求分力答案 B1解析 如圖，有 |F1|=|F|cos 60 = 10X2= 5(N).6.河水的流速為5 m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小

18、為（）A. 13 m/sB. 12 m/sC. 17 m/sD. 15 m/s考點 向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度答案 A解析 設(shè)小船在靜水中的速度為V1,河水的流速為V2,V1與V2的合速度為V,為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即小船在靜水中的速度V1斜向上游方向，河水速度V2平行于河岸，合速度 V指向?qū)Π叮o水速度 |V1|= 7|v|2+ |V2|2= q122+ 52= 13（m/s）.7 .當(dāng)兩人提起重量為 G的旅行包時，夾角為 0,兩人用力大小都為|F|,若|F|=|G|,則。的值為（）A. 30° B. 60° C. 90° D, 120&

19、#176;考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求夾角答案 D解析 作O）A=F1, OB=F2, OC= g（圖略），一，f f f則 OC = OA+ OB,當(dāng)|Fi|=|F2|= |G|時，OAC為正三角形，所以 /AOC = 60 °,從而 / AOB= 120 .8 .共點力Fi=(lg 2, 1g 2), F2=(lg 5, 1g 2)作用在物體 M上，產(chǎn)生位移 s= (2lg 5,1),則共 點力對物體做的功亞為()A. 1g 2B. 1g 5C. 1D. 2考點向量在力學(xué)中的作用題點求做功答案 D解析 因為 Fi+F2= (1,21g 2),所以 W= (F1+ F2) s=(1

20、,21g 2) (21g 5,1) =21g 5 +21g 2=2.二、填空題9 .飛機以300 km/h的速度斜向上飛行，方向與水平面成30°角，則飛機在水平方向的分速度大小是 km/ h.考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度答案 150 .3解析如圖所示，|vi|= |v|cos 30 = 300X 當(dāng)=150V3(km/h).10 . 一物體在力Fi = (3, 4), F2=(2, 5), F3= (3,1)的共同作用下從點A(1,1)移動到點B(0,5).在這個過程中三個力的合力所做的功為 .考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求做功答案 -40解析 F1 = (3, -4), F2=

21、(2, 5), F3=(3,1),合力 F = F1+F2+F3=(8, 8).又. ABnB1,5 1)=(1,4),F AB = 8X(1)+(8)X4=-40,即三個力的合力做的功等于一40.11 . 一個重20 N的物體從傾斜角為 依斜面長1 m的光滑斜面頂端下滑到底端，若重力做的 功是10 J,則0=.考點向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點求方向答案 30°解析 Wg= G -s= |G|s| cos(90 - = 20X1Xcos(90 ° 0=10 J,1cos(90 = 2, 1- 0= 30 .12 .一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于對岸的方向行駛，若船在靜水中的

22、速度大小為20 m/s,則水的流速為.考點向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度答案 10 .3解析 設(shè)河水的流速為 V1,小船在靜水中的速度為V2,船的實際速度為 V,則V=Vi+V2, |V2|=20 m/s, | v| = 10 m/ s.所以 |vi|= 1|V2|2 |v|2= 10鏡(m/s).三、解答題13 .在水流速度為 4千米/時的河流中，有一艘船沿與水流垂直的方向以8千米/時的速度航行，求船實際航行的速度的大小.考點 向量在運動學(xué)中的應(yīng)用題點求速度 解 如圖，用V0表示水流速度，V1表示與水流垂直的方向的速度.則V0 + V1表示船實際航行的速度，|vo|= 4, |vi|= 8,，|vo+vi|=142+ 82=4泌.故船實際航行的速度為4近千米/時.14 .已知兩恒力Fi=(3,4), F2=(6, 5)作用于同一質(zhì)點,使之由點A(20,15)移動到點B(7,0).(1)求力Fi, F2分別對質(zhì)點所做的功；(2)求力F