相似三角形典型模型及例題

1、:相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（平行）（蝴蝶型）（三）母子型（四）一線三等角型:為背景，一個(gè)與等腰三三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示:（五）一線三直角型:三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這

2、往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。（六）雙垂型:二：相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到8字型拓展AABC共享性一線三等角的變形一線三直角的變形2:相似三角形典型例題（1）母子型相似三角形如圖,梯形 ABCDK AD/ BC對(duì)角線 AC BD交于點(diǎn)0, BE/ CD交CA延長線于E.求證:0C20A 0E .已知:如圖, ABC中，點(diǎn) E在中線 AD上 ,DEB ABC .DB2DE DA;(2) DCE DAC .求證:(1)例 3 :已知：如圖，等腰 ABC中, AB= AC ADI BC于 D, CG/ AB BG分別交 AD AC于 E、F.求證：BE2

3、 EF EG .1、如圖，已知 AD ABC勺角平分線，EF為AD的垂直平分線求證： FD 2 FB FC .2、已知：AD是 Rt ABC中/ A的平分線，/ C=90 , EF是AD的垂直平分線交 AD于 M EF、BC的延長線交于一點(diǎn) No求證： AM0A NMD; （2）ND 2 =NCNB3、已知：如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , 求證：EB- DF=AE DBCDI AB于 D, E 是 AC上一點(diǎn)，CFI BE于 F。4.在 ABC 中，AB=AC 高 AD與 BE交于 H,EF BC，垂足為F,延長AD到G使DG=EF M是AH的中點(diǎn)。求證：GBM 90BG=2, AC

4、=4, P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDL AB交5已知：如圖，在 Rt ABC中，/ C=90°,邊AC于點(diǎn)D （點(diǎn)D與點(diǎn)A C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且/ EPD/ A.設(shè)A P兩點(diǎn)的距離為x, BEP的面積為y. (1)求證：AE=2PE(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;(3)當(dāng) BEP與 ABC相似時(shí),求 BEP的面積.(2) 雙垂型BD CE分別是AC AB上的高1、如圖，在 ABC中，/ A=60° ,求證：() ABDA ACE (2) ADEA ABC (3)BC=2ED2、如圖，已知銳角 ABC AD CE分別是BC AB邊上的高， A

5、BCD BDE的面積分別是 27和3,DE=6U2，求：點(diǎn)B到直線AC的距離。(3) 共享型相似三角形、 ABC是等邊三角形，DBCE在一條直線上，/ DAE=120 ,已知BD=1, CE=3求等邊三角形的邊長.2、已知：如圖，在 Rt ABC中, AB=AC / DA匡45°.求證：(ABEA ACD(2) BC2 2BE CD .若點(diǎn)P在線段CB上(如圖)，且BP 6，求線段CQ的長;若BP x , CQ y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;CC(2)正方形ABCD的邊長為5 (如下圖)，點(diǎn)P、Q分別在直線CB、DC上(點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合)，且保持 APQ90

6、.當(dāng)CQ 1時(shí)，求出線段BP的長.例 3 :已知在梯形 ABCDK AD/ BC AD< BC 且 AD= 5, AB= DO 2.(1)如圖8, P為AD上的一點(diǎn)，滿足/ BPC=/ A.求證； ABPA DPC求AP的長.(2)如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)(點(diǎn) P與點(diǎn)A D不重合)，且滿足/ BP目/ A, PE交直線BC于點(diǎn)E,同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q那么 當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長線上時(shí)，設(shè)AP= X, CQ= y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;當(dāng)CE= 1時(shí)，寫出 AP的長.C例4：如圖，在梯形 ABCD中，AD 中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作 EMF B , 結(jié)EF .(1) 求證： MEF

7、 BEM ;(2) 若 BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長;(3) 若 EF/ BC , AB CD BC 6 , AD 3 點(diǎn) M 為邊 BC 的 射線ME交腰AB于點(diǎn)E ,射線MF交腰CD于點(diǎn)F，聯(lián)1、如圖，在CD，求BE的長.ABC中, AB AC 8 , BC 10 , D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) E在AC邊上,(1)ADE求證：ABDhA DCE如果BDx, AE y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x的定義域;當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，試說明 ADE是什么三角形，并說明理由.2、如圖，已知在 ABC中, AB=A(=6, BC=5, D是AB上一點(diǎn)，BD=2, E是BC上

8、一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié) DE并作DEF B，射線EF交線段AC于F.(1)(2)(3)求證： DBk ECF當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí)，求線段 BE的長； 聯(lián)結(jié)DF如果 DEF與 DBE相似，求FC的長.3、已知在梯形 ABCD中, AD/ BC AD< BC 且 BC=6 , AB=DC=4,點(diǎn) E是 AB的中點(diǎn).(1) 如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且 BP=2.求證：CPDAD于點(diǎn)M那么CD的延長線上時(shí)，設(shè) BP=x , DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函(2) 如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)(點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合)，且滿足/ EPF=/C, PF交直線CD于點(diǎn) F,同時(shí)交直線 當(dāng)點(diǎn)F在線段 數(shù)的定義域

9、；BEP時(shí)，求BP的長.9 當(dāng)S DMF S44、如圖，已知邊長為3的等邊 ABC，點(diǎn)F在邊BC上，CF 1，點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，以線段EF為邊向右側(cè)作等邊 EFG，直線EG,FG交直線AC于點(diǎn)M ,N寫出圖中與 BEF相似的三角形;證明其中一對(duì)三角形相似;設(shè)BE X，MN y，求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍;若AE 1，試求GMN的面積.(5) 一線三直角型相似三角形 例1、已知矩形ABC中, CD=2 AD=3點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn)A,D不重合，過點(diǎn)P作PE CP , 交邊AB于點(diǎn)E,設(shè)PD X, AE y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值范圍。例2

10、、在 ABC中， C 90o,AC 4,BC 3,O是AB上的一點(diǎn)，且AC 2A 2，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ OP交線段BC于點(diǎn)Q (不與AB 5點(diǎn)B,C重合)，設(shè)APx,CQ y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域。1.在直角 ABC中,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，(1) 、求AC和BC的長(2) 、當(dāng) EF/BC 時(shí)，3C 90o, AB 5,ta nB -,點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn),4DF DE交射線AC于點(diǎn)F求BE的長。(3) 、連結(jié)EF,當(dāng) DEF和 ABC相似時(shí)，求BE的長。2.在直角三角形 ABC中, C 90o, AB BC,D是AB邊上的一點(diǎn)，E是在 AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),(與A,C不重合)，DF DE, DF與射線BC相交于點(diǎn)F.(1) 、當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證:(2) 、當(dāng)型 m，求匹的值DBDFAD(3)、當(dāng) AC BC 6,DBDEAEDFx,BF3.如圖，在 ABC中，C一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作 DEF 90 ,By,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域390 , AC 6 , tanB - , D是BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上的4EF交射線BC于點(diǎn)F .設(shè)BEBED的面積為y .求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;如果以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與BED相似，求4.如