因式分解知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及鞏固練習(xí)

1、一、知識(shí)梳理1. 因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式,這種變形叫因式分解.即：多項(xiàng)式 幾個(gè)整式的積11.1 ,例：一axbx x(a b)333因式分解是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形,是整式乘法的逆過(guò)程.2. 因式分解的方法：(1)提公因式法： 定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有 公因式,可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式,這個(gè)變形就是提公因式法分解因式.公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式.公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母,也可 以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.系數(shù)一一取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)字母一一取各項(xiàng)都含有的字母指數(shù)取相同字母的最低次驀3QQ 9QADD 3c 3i 234.

2、 2 2/ > t r、.例：12a b c 8a b c 6a b c 的公因式是 .解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩局部來(lái)考慮,系數(shù)局局部別是12、-8、6,它們的最大公約3 33 2 34223 2數(shù)為2；子母局部 abc, abc,abc都含有因式 a b c ,故多項(xiàng)式的公因式是3了2 a b c . 提公因式的步驟第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個(gè)因式,提公因式時(shí),可用原多項(xiàng)式除以公因式,所得商即是提公因式后剩下的另一個(gè)因式.注意：提取公因式后,對(duì)另一個(gè)因式要注意整理并化簡(jiǎn),務(wù)必使因式最簡(jiǎn).多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號(hào)的,要先提取符號(hào).例 1：把 12a2b 18ab2 2

3、4a3b3 分解因式.解析：此題的各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是6,相同字母的最低次藉是 ab,故公因式為6ab.解：12a2b 18ab2 24a3b36ab(2a 3b 4a2b2)例2：把多項(xiàng)式3(x 4) x(4 x)分解因式解析：由于4 x (x 4),多項(xiàng)式3(x 4) x(4 x)可以變形為3(x 4) x(x 4),我們可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有公因式(x 4),所以我們可以提取公因式 (x 4)后,再將多項(xiàng)式寫成積的形式.解：3(x 4) x(4 x)= 3(x 4) x(x 4)=(3 x)(x 4)例3：把多項(xiàng)式x2 2x分解因式解：x2 2x= (x2 2x) x(x 2)(2)

4、運(yùn)用公式法定義：把乘法公式反過(guò)來(lái)用,就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式,這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.a.逆用平方差公式：a2 b2 (ab)(a b)b.逆用完全平方公式:a2 2abb2 (a b)2c.逆用立方和公式：33a b (ab)(a2 abb2)(拓展)d.逆用立方差公式：33a b (a2b)(a abb2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式.選擇使用公式的方法： 主要從項(xiàng)數(shù)上看,假設(shè)多項(xiàng)式是二項(xiàng)式可考慮平方差公式；假設(shè)多項(xiàng)式是三項(xiàng)式,可考慮完全平方公式.例1:因式分解2 a14a49解：a214a49 =(a7)2例2:因式分解2 a2a(bc)

5、(bc)2解：a22a(bc)(bc)2 =2(a b c)(3)分組分解法(拓展)將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解;例：把多項(xiàng)式ab a b 1分解因式1) (a 1)(b 1)解：ab a b 1 = (ab a) (b 1) = a(b 1) (b將多項(xiàng)式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解例：將多項(xiàng)式a2 2ab 1 b2因式分解解：a2 2ab 1 b2= (a2 2ab b2) 1(a b)2 1 (a b 1)(a b 1)(4)十字相乘法(形如x2 (p q)x pq(x p)(x q)形式的多項(xiàng)式,可以考慮運(yùn)用此種方法)方法：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)因數(shù)p和q,這兩數(shù)的和p q為一次項(xiàng)系數(shù)

6、2,、X (p q)x pq2x (p q)x pq (x p)(x q)例：分解因式x2 x 30補(bǔ)充點(diǎn)詳解 我們可以將-30分解成px q的形式,使 p+q=-1, p x q=-30,我們就有 p=-6,q=5 或 q=-6,p=5 .q=50所以將多項(xiàng)式x2 (p q)x pq可以分以分解為(x p)(x q)分解因式x2 52x 100補(bǔ)充點(diǎn)詳解我們可以將100分解成px q的形式,使 p+q=52, p X q=100,我們就有 p=2,或 q=2,p=50.一,一.2.所以將多項(xiàng)式x (p q)x pq可解為(x p)(x q)-650X2 x 30 (x 6)(x 5)X2 5

7、2x 100 (x 50)( x 2)3. 因式分解的一般步驟：如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式,沒(méi)有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法；假設(shè)是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式,通常采用分組分解法,最后運(yùn)用十字相乘法分解因式.因此,可以概括為：“一提、“二套、“三分組、“四十字.注意：因式分解一定要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止,否那么就是不完全的因式分解,假設(shè)題目沒(méi)有明確指出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分解,應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解,因此分解因式的結(jié)果,必須是幾個(gè)整式的積的形式.二、例題解析提公因式法提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,一般要將公因式提到括號(hào)外面確定公因式的方法：系數(shù)一一取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大

8、公約數(shù)；字母(或多項(xiàng)式因式)一一取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最低次藉.【例1】分解因式： ,、2n 12n15a a b 10ab b a ( n為正整數(shù))2n1.mn2.m1,4a b 6a b ( m、n為大于1的自然數(shù))【穩(wěn)固】分解因式：(x2n y)1 (x z)(xy)2n 2(y2n x)(y z),n為正整數(shù).【例2】先化簡(jiǎn)再求值,y xy x yx2 y x ,其中x2 , y - 2【穩(wěn)固】求代數(shù)式的值：(3x_ 2 -2) (2x 1)(3x2)(2 x1)2x(2x,21)(2 3x),其中 x -3【例3】：b c a2,求a(a b3c)b(-c32 a3fb)1-c(2b 2c 2a)的值.3【穩(wěn)固】分解因式：x3(xyz)(y z a)2 xz(z xy)x2y(zx y)(x z a).公式法平方差公式：a2 b2 (a b)(a b) 公式左邊形式上是一個(gè)二項(xiàng)式,且兩項(xiàng)的符號(hào)相反； 每一項(xiàng)都可以化成某個(gè)數(shù)或式的平方形式； 右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和與它們差的積,相當(dāng)于兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積完全平方公式：a22abb2(ab)22.22a22abb2(ab)2 左邊相當(dāng)于一個(gè)二次三項(xiàng)式； 左邊首末兩項(xiàng)符號(hào)相同且均能寫成某個(gè)數(shù)或式的完全平方式； 左邊中間一項(xiàng)為哪一項(xiàng)這兩個(gè)