定積分的概念和性質(zhì)公式

1、DDY整理n懐二書1.曲邊梯形的面積及曲線、 設(shè)在區(qū)間上，則由直線 、，=3 所圍成的圖形稱為曲邊梯形，下面求這個曲邊梯形的面積匕IIII 亡III勺 | 切；|Ei :；6 葉° a=xo X1 X2 Xi-i Xi Xnl xn=b X 圖7-1分成在區(qū)間分割求近似：中任意插入若干個分點將n個小區(qū)間DDY整理ZX =召- gQ =12衛(wèi))W二忌 < 丙陀 < %一1 < 甘 B ，小區(qū)間的長度.上任取一點 作乘積在每個小區(qū)間其中2.變速直線運動的路程耳石v(/) Z0 v=v«取極限則面積求和取極限： ，即小區(qū)間長度最大者趨于零。，設(shè)某物體作變速直線運

2、動，速度的連續(xù)函數(shù)，且是上求在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程_ +.+.-j 1 . 將其分成分割求近似：在內(nèi)插入若干分點筑石-石 兇心I兔E耳0 "2川。任取，小區(qū)間長度，n個小區(qū)間1 ； ' v：r :J=1取極限則路程求和取極限:血DDY整理/W 力叵切1中任意插入若干個分點設(shè)函數(shù)在上有界，在定義« = <.葢& = b7HVi|I- Vi 見切，在每個小區(qū)間，其長度為n個小區(qū)間 將 分成（3 1,2,川）1，作乘積，并求和，上任取一點1丄一|廠 V上的，如果不論對怎樣分法，也不論小區(qū)間記工于（印如1=1總趨于確定的極限，則稱這個極限點時，和怎樣取法

3、，只要當函數(shù)上的定積分，記作，即在區(qū)間（*）.'叫積分變量，叫積分下限,叫積分和式。叫積分上限，在區(qū)間）式右邊極限存在，稱其中叫被積表達式，說明：廠 可積，下面兩類函數(shù)在區(qū)間叫被積函數(shù)， 叫積分區(qū)間。1.如果（* /W加m M |畑匕旬上連續(xù)，則 在區(qū)可積。（2在區(qū)間（可積，1） 在/-上可積。在間有界且只有有限個間斷點，則2.由定義可知，定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量無關(guān)，所以DDY整理規(guī)定3.時圖72b尸買x）+DDY整理I，伝）"入 3 /WlL/W 2 o =b A兩條直線、 時，表示曲線 在上、忑 軸所圍成的曲邊梯形的面積；與詞y - JW 咖&

4、quot;麗a = 口 I 、兩條直線在上時，表示曲線A = E I兀AI軸的下方）曲邊梯形在 軸所圍成的曲邊梯形的面積（此時， ；與第一節(jié)第二節(jié)耐_定舸分的幾何恚義例1利用定積分的幾何意義寫岀下列積分值乙y*02bb/W-sWI可積設(shè)伍士曲】為=“如士伍詁ij tf（方心=£（ / （兀）心性質(zhì)I"T仙嗣心妙推論.- .L'-.上的最大 在區(qū)間M設(shè)及m分別是函數(shù)（定積分的估值） 性質(zhì)6性質(zhì)4f/Wig（A）arh ，則上，性質(zhì)5如果在區(qū)間DDY整理，有對任何三個不同的數(shù) 性質(zhì)3 （定積分對區(qū)間的可加性）2） （ 1 （半圓面積）（三角形面積）（圖性質(zhì)社87-72解

5、得，令X彳（1 +扎）血值及最小值，則恥呵纟（定積分中值定理）性質(zhì)7 . ,. : ./'.成立 使DDY整理DDY整理上至少有一點，上連續(xù)，則在在區(qū)間如果函數(shù)（沐"町與-:.，設(shè) 解 .- '- .' ,單調(diào)增0,1）內(nèi)，在（y（K）計一（1 +打 0 k藝0 1214劃 即有當，時,所以，在區(qū)間上6，由性質(zhì)例2比較下面兩個積分的大小f 護必 (1 +/（0） = U/（+）弋汁5由性質(zhì),尹E 嚴伽-Dl /V)-o的值3例估計積分' '. J 設(shè)，只需求岀在區(qū)間上的最大值、最小值即可（幾）出山訶/W辭一定存在，在區(qū)間設(shè)，則定積分上連續(xù)人;的

6、函數(shù)，稱為 的變上限積分函數(shù)，上變動時，它構(gòu)成了一個在當丄（巧=O） = /（對CT 7W在 在區(qū)間 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)如果函數(shù) 定理.上具有導數(shù)，且導數(shù)是，即 說明：DDY整理的一個原函數(shù)，因此，此公式，是連續(xù)函數(shù)1.由原函數(shù)的定義知揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。2.當積分上限的函數(shù)是復合函數(shù)時，有負f S（級f *（耳肘（耳£（；"冋叮1（工）（對-/皿）0（/） 更一般的有血叫5（M如兀=&in 曲 =-f sin= -（ f sin tdty = -sin 工 “、則：，（例 1 1 ） A丄'JaQO），則：）（2sin tdt = (a3

7、) = g(w)(w =f sin tdi,= = sini/ (2x) = 2xsin xa 則=sin z2 dx du dxdzsin tdl =sin tdl +sin tdl），則：4（Qr) = I sin tdt)'十 sin tdi)' = (sin x2) 2x - (sm 2石總汀=2jsih F - 2 sin中（力-xsm t , 盤 1 + cos21dx，求 （5 ）設(shè) :2；為定積分的積分變量，因而是兩個函數(shù)乘積的形式此題中 由求導法則.DDY整理為函數(shù)的自變量,smf * 總1 + CDS tdx* sinf1 + cos21 sin f,dir

8、sm zg 1 + C<"S f1 cos3 *2x6）故導數(shù)為零）sm = Ci=0 （因定積分的結(jié)果為一常數(shù)，是方程所確定的函數(shù)，求（7）解利用隱函數(shù)求導法則和變限積分求導法則有)00-12第羊dx例5Ina0上求7例(2，貝9 1為連續(xù)函數(shù)，（）若,解利用定積分的可加性分段積分,求4例DDY整理貳2齊-1）dz設(shè)例3型不定式，用羅必塔法則這是 解二呻）Lf®是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間定理（牛頓一一萊公式）如果函數(shù)十 40 =。，求例2設(shè)/w-式也稱為微積分基本公式。=anrigx£ = arclgi3 厲尸盤g(T) =DDY整理kmfz k -逢 h上的一個原函數(shù)，則I畑& =麗-Fg上的定積分等于它的任一個原函數(shù)在該區(qū)間此公式表明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 上的增量，此公f 一日注解原式例6解原式業(yè);=hl-ln2 = -ln2J_例內(nèi), = 2 0J,在積分區(qū)間被積函數(shù)是分段函數(shù)，分段點 解- l)”01 j<2 丄S "12lf2xQx-1禺rt"+ =1/4=原式rr