立體幾何問(wèn)題

1、立體幾何問(wèn)題考法分析:1考兩個(gè)小問(wèn)題，第一問(wèn)還是考線面位置關(guān)系的證明；第二問(wèn)還是求空間角或距離(體積)，偏重考角。2難度與去年持平，不會(huì)有太大變化。1如圖，四邊形 ABCD為正方形，PD丄平面ABCD ,1PD / QA , QA=AB= PD.2(I)證明：平面 PQC丄平面DCQ ;(n)求二面角 Q BP C的余弦值。解析：如圖，以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段 DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng), 射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D xyz.(I)依題意有 Q ( 1, 1, 0), C (0, 0, 1),P (0, 2, 0) I所以 PQ QQ = 0, PQ DC = 0.則 DQ =(1,1,0

2、), DC =(0,0,1), PQ =(1,1,0).即PQ丄DQ , PQ丄DC.故PQ丄平面 DCQ.又PQU平面PQC,所以平面 PQC丄平面DCQ.T(II)依題意有 B (1, 0, 1),畝(21-設(shè)n =(x,y,z)是平面PBC的法向量，則n CB",即x ",n "BP =0, I-x + 2y -z = 0.因此可取n =(0, 1,2).設(shè)m是平面PBQ的法向量，則Im 占P =0,m、PQ = 0.可取 m =(1,1,1)所以 cos <故二面角Q BPC的余弦值為715m, n >=57155 .兀2.在直角梯形 P BC

3、D中，N D =NC =, BC =CD =2 ,P D=4 , A為PD的中點(diǎn)，如下左2E在 SD上，且 8SD ,3解法一：(1)證明：在上左圖中，由題意可知,圖。將也PAB沿AB折到也SAB的位置，使SB丄BC，點(diǎn)如下右圖。(I)求證：SA丄平面ABCD(n)求二面角 E AC- D的正切值;BA丄PD,ABCD為正方形，所以在上右圖中，SA丄AB,SA = 2,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以BC丄平面SAB又SA U平面SAB 所以BC丄SA 又SA丄AB,所以SA丄平面ABCD因?yàn)橐驗(yàn)镾B丄BC，AB丄BC- 1-在AD上取一點(diǎn)0,使AO =丄AD，連接3一 1 SE = 3

4、 SD ,所以 EO/SA3所以過(guò)O作OH丄AC交AC于H,連接EH 則AC丄平面EOH所以AC丄EH所以N EHO為二面角EAG- D的平面角,2 4EO = SA =.在 RMAHO 中，3 3E0丄平面ABCDSEEO/ fD喙、9 分2ZHAO =45： HO = AO sin45°=*342'2 tanNEHO =電=22 ,3OH即二面角E-AC D的正切值為2J2.解法二：(1)同方法一(2)如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,A( 0, 0 , 0), B ( 2 , 0 , 0), C (2 , 2 , 0), D (0 , 2 , 0), S( 0 , 0 ,

5、 2), E (0 ,-,-)3 3易知平面ACD的法向?yàn)锳S = (0,0,2)設(shè)平面2 4Ac=(2,2,0),Ae=(0,3,3)X + y = 0所以J y ，可取ly +2z = 0X = 2 y = -2Z =1所以 n =(2,/,1).所以 cos V n, AS>=|n |AS|22x3_ 1一3所以tan V n, AS >= 2邁，即二面角e ac-d的正切值為2j2小結(jié)：立體幾何題第一問(wèn)一般是對(duì)線面、 面面位置關(guān)系的考查，要求考生對(duì)熟練運(yùn)用相關(guān)的定理對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行證明， 證明時(shí)要注意定理運(yùn)用的條件要充分，書(shū)寫(xiě)要規(guī)范合理。第二問(wèn)一般涉及到空間角、距離、表面積、

6、體積的相關(guān)計(jì)算，一般情況下可利用空間向量作為工具轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來(lái)進(jìn)行。3.如圖，三棱柱 ABC AiBiCi 中，AC = AA i=2 , AB=BC=2 邁，/AA iCi=60o ,平面 ABC i 丄 平面AA iCiC,AC i與AiC相交于點(diǎn)D.(1)求證：BCi丄平面AA iCiC.求二面角 Ci-AB-C的余弦值.【解析】（I ）證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為M,連VA（；-AA, =2,ZAA,C, =60°,四邊形AAiGC為菱形，AAACI；為正三角形，GM| ACTAB-nC 2血，M I AC.而 ”MneM=M,:.AC 1 平面 BC：, M, AC 1 BC.丁

7、四邊形AAiC,C為菱形，則有CD丄人（：1.又平面 ABCi I 平面 AA,G C,平面 ABC', fl 平面 AA,C, C=AC,/.CD丄平面ABCi,CD I又 VA（；ri（；D=C,/-23（；,丄平面 AAiCjC. (H )如圖，VAC； 1 C.M.AA.G 1 GM.以C,為原點(diǎn)，以GAi、GM、GB所在直線分別為J軸、y軸、z軸建 立空何A甫坐標(biāo)系.A(：_AAi=2,/AAiG=6(r,AB-BC=2 忌”G=2.從而，有 4(l,y3,0),M(0,y3,0),/K0,0,2),Ai(2,0,0),C(1,73,0).1,0,0) ,B/Cf-(0,73,-2).設(shè)面ABC的法向董為n = Cr,yJ),n A/Cfx=0/?一R-(0,±l),n 1$