雙曲線知識點總結及練習題

1、一、雙曲線的定義1、第一定義：到兩個定點a與b的距離之差的絕對值等于定長（<歷后1）的點的軌跡（歸/一歸引| = 2.<歸心| （為常數(shù)）。這兩個定點叫雙曲線的焦點。 要注意兩點：（1）距 離之差的絕對值。（2） 2t/<IFiF2lo當IMF】ITMF2l=2a時，曲線僅表示焦點B所對應的一支;當IMFilTMF2l=-2a時，曲線僅表示焦點Fi所對應的一支;當時，軌跡是一直線上以為、R為端點向外的兩條射線；用第二定義證明比較簡單或兩邊 之差小于第三邊當2aAFRI時，動點軌跡不存在,2、第二定義：動點到一定點E的距離與它到一條定直線/（準線上）的距離之比是常數(shù)9>1

2、）時，這個動點的軌跡是雙曲線。這定點叫做雙曲線的焦點，定直線/叫做雙曲線的準線,二、雙曲線的標準方程（=，焦點在 x軸上：二一二=1 （a>0, b>0） cr b-22焦點在 y軸上：二一二=1 （a>0, b>0） b-（1）如果一項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上：如果V項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上。a不一定大于b。判定焦點在哪條坐標軸上，不像橢圓似的比較x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的 系數(shù)的符號，焦點在系數(shù)正的那條軸上（2）與雙曲線二-二二1共焦點的雙曲線系方程是二- = 1 a2 b1a2+k 一k（3）雙曲線方程也可設為：= l（n/n>0）

3、m ii三、雙曲線的性質雙曲線標準方程(焦點在X軸)X2 V2r -= 1(" > 0, /? > 0)cr b-標準方程(焦點在y軸)y2 X2；=1( > O.b > 0)cr b-定義第一定義：平而內(nèi)與兩個定點片，工的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于仁入|） 的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。 的M娟-明聞=（2“<|耳為）J¥六"X第二定義：平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/的距離的比是常數(shù)。，當6>1時， 動點的軌跡是雙曲線。定點尸叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常 數(shù)e （e&g

4、t;l）叫做雙曲線的離心率。J 范圍N >a , ye/?y>a , xeR對稱軸入軸，y軸：實軸長為2a,虛軸長為2%對稱中心原點0(0,0)焦點坐標4(-c,0)5(c,0)”(0,-c) 口0,)焦點在實軸上，c = ja +b :焦距：忻瑪| = 2c頂點坐標（一。）（,0）(0, 一。,)(0, a )離心率e = -（e>）, c2=a2+b e越大則雙曲線開口的開闊度越大 a準線方程CC準線垂直于實軸且在兩頂點的內(nèi)側；兩準線間的距離：至 C頂點到準線的距離頂點兒（4）到準線的距離為上£（'頂點A（ a2）到準線。（/1）的距離為+” C焦點到準

5、線的距離焦點耳（鳥）到準線4（/2）的距離為c一=以 CC焦點匕（F2）到準線，2（6）的距離為C + CC漸近線方程+ b (虛)/廠y = ± x (b -c, c,4實(1 "口1 Cl Jx=士：y 堂將右邊的常數(shù)設為0,即可用解二元二次的方法求出漸近線的解共漸近線的雙曲線系方程MP 5)直線和雙曲線的位置雙曲名利用，二次722戈二二=1與直線y = kx+b的位置關系：cr /廠）2土-2L=i戶F"轉化為一元二次方程用判別式確定。y = kx + b寧程二次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長卜叫=Jl + 二+x2）2 -4x1x22h2通徑

6、：|A用=帆）1| =彳-與橢圓一樣過雙曲線上一點的切線或利用導數(shù)"gj或利用導數(shù)(x = a- sec 0k y = b-tan 0橢圓為x = ci- cos 0、y = sin 0四、雙曲線的參數(shù)方程:五、弦長公式1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設直線與橢圓交于A （xbyi） B（X2W）兩點，則= J(l+k'M+ X2)- 4再占k為直線斜率)；+)2一町為提醒解決直線與橢圓的位置關系問題時常利用數(shù)形結合法、根與系數(shù)的關系、整體代入、設而不求的 思想方法。2b22、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點，則弦長IA8I=oa3、特別地，焦點弦

7、的弦長的計算是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解六、焦半徑公式22雙曲線二一二=1(a>0, b>0)上有一動點M(x。,%)a- b-左焦半徑：u I ex+a |'，右焦半徑：u I ex-a |巾e/當(4,')在左支上時上一"。一 1=-咐)+。' ) 一 一/v當 M (x0,y0)在右支上時 IMFX1= ex0 + a,MF2 1= ex0 - a左支上絕對值加-號，右支上不用變化雙曲線焦點半徑公式也可用“長加短減”原則：(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號)構成滿足前/_|時兒| = 2注：焦半

8、徑公式是關于/的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當在左支端點時I MF2 =c + a ,當 M(x0,yo)在左支端點時I A/耳 =c + a , IMF2 =c -a七、等軸雙曲線22二一二=1 (a>0, b>0)當 =/;時稱雙曲線為等軸雙曲線 一 - K -lo a = b ；2o離心率c = J5：3。兩漸近線互相垂直，分別為y=±x：4。等軸雙曲線的方程/一丁2 =入，20；八、共規(guī)雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共規(guī)雙曲線，通常稱它們互 為共筑雙曲線。與互為共筑雙曲線，它們具有共同的漸近線：4-4=0-M h2 a2 b-a2 b1

9、九、點與雙曲線的位置關系，直線與雙曲線的位置關系1、點與雙曲線2222點尸(為,打)在雙曲線二一二=1(。> 0/> 0)的內(nèi)部o *-工> 1代值驗證，如/一)，2 = 1abcrtr點 P*0 ,九)在雙曲線-iT = 1(4 > 0, b > 0)的外部 O 7-T- < 1alrtrb-2222點 P(X。, %)在雙曲線-；-T = 1® > 0/ > 0) t <=> T-7 = 1cr lrb-2、直線與雙曲線代數(shù)法：X2 V2設直線/:y =丘+機，雙曲線r 一 = 1(。>。/>0)聯(lián)立解得a

10、b"(b2 -a2k2)x2 -2a2mkx-a2m2 -a2b2 =0(1)"7 = 0時，上<k < + ,直線與雙曲線交于兩點(左支一個點右支一個點)： a ak>-, k<-9或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點： a a(2) "7W0時，攵存在時，若/H, k=±-9直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點； a相交若M -a2k2 ¥ 0, = -2a2mk)2 一4( -a2k2)(-a2m2 -orb1) = 4a2b2(m2 +b2-a2k2) >0時，?2+一。2公>。，直線與雙曲線

11、相交于兩點； <0時，?2+。2-412<0,直線與雙曲線相離，沒有交點: = o時/+/一。2尸=0, G ="二二直線與雙曲線有一個交點:a相切k不存在，。時，直線與雙曲線沒有交點；m >?；騧 < -a直線與雙曲線相交于兩點；十、雙曲線與漸近線的關系22221、若雙曲線方程為二一二= 1（。>0/>0）=漸近線方程：4-4 = 0< y = ±-x。一夕cr b-a22222、若雙曲線方程為二一二=1 （a>0> b>0）=>慚近線方程：二一=0 y = ±£xcr lrcr b&#

12、39;b223、若漸近線方程為）±210£±上=0=雙曲線可設為二一二=入，義工。67 a bcr b-22224、若雙曲線與二-二=1有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為二一二=九（九>0,焦點在x軸 a- b-a- b-上，X <0,焦點在y軸上）十一、雙曲線與切線方程2 21、雙曲線二一二=1（ > 0力0）上一點P（x0, y0）處的切線方程是野、£ = 1。cr b-cr2、過雙曲線二一二=1（>0力>0）外一點尸（即知）所引兩條切線的切點弦方程是辱一邛 =L crcr Ir3、雙曲線二一二=1（。> 0/ &

13、gt; 0）與直線Aat By + C = 0相切的條件是A2a2 - B2b2 = cr Ir.橢圓與雙曲線共同點歸納十二、頂點連線斜率雙曲線點與兩頂點連線的斜率之積為K時得到不同的曲線。橢圓參照選修2-1P41,雙曲線參照選修2-1P55。1、A、B兩點在X軸上時(1)當先0時軌跡是雙曲線，除去A, B兩點，與雙曲線的標準方程克A,比較如”所以上與(2)當4二-1時軌跡是圓，除去A, B兩點;(3)當-1立0時，軌跡是焦點落在x軸上的橢圓，除去A,B兩點，其中女(4)當歸-1時，軌跡是焦點落在y軸上的楠圓，除去A, Bb2a2 .2、A、B兩點在Y軸上時結論3設點A, B的坐標分別為包一或

14、(。，直線AM, BM相交于點M,且它們的斜率之積是人所求點M的軌跡方程是全白舊。)。 a D結論4設點A, B的坐標分別為(0,-%0,«),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是所求點M的b軌跡方程是540十三、面積公式雙曲線上一點P與雙曲線的兩個焦點 構成的三角形稱之為雙曲線焦點三角形,。i! a3 pr A* =0 cot "4匕2面積公式推導：解：在中，設/白。尼=，|尸耳| = 4，歸6| =5，由余弦定理得c°s.=附加尸呼平葉 J +仁(24 21P國卡可Qj +2/y; -4c2 _ (2a)2 +2rr2 -4c22rr22/r2rz;

15、-2(c2 a2)/:r, 一2b°，7M cos a = r1r2 -2b22b21 一 cos ac11S'PF島=-fr2sina = -x2b21-COS6Zxsina =b2sine? , a= Z?- cot 1 - cos a 2橢圓上一點與橢圓的兩個焦點FpF2構成的三角形PFF2稱之為橢圓焦點三角形.Sw、= b' tan §面積公式推導cos a =|P5十|尸鳥一想引22冏|阿圖1解：在AP"巴中，設N"P尸2=a, |尸"| =小|P周=5，由余弦定理得(4十弓)2 2耳£4c2 _ (2a)2

16、 -2t72 -4c22%2桃4(t/2-c2)-2/;/2 _ Hr-rxr2/. fr2 cos a = 2b2 - rr22b21 + cos a.c 1.12b2.sincr . a Se" = rr,sina = xxsina =/r= lr tan 2 2 1 + cos a1 + cos a2十四、（雙曲線中點弦的斜率公式）：2212設M（工0，0）為雙曲線r 一"=1弦AB AB不平行y軸）的中點,則有= er Zrer證明：設 A（X，X）, B*2, 丫2），則有 £18 = n _ "兩式相減得:因為M（玉）,腎）是弦,匚;v;二天

17、=0整理得:21121 = /L ,即(+ 為)(.'1一為) cr b-x： -.vf a2 (x + x2)(x -x2)A8的中點，所以%,=& =2=21土匹，所以的.加=匕 x（）2x0 Xj + x2cr橢圓中線弦斜率公式=-二雙曲線基礎題1 .雙曲線2-¥2=8的實軸長是（）A. 2 B. 22 C. 4 D. 422 .設集合尸=錯誤!，Q=（x，y）lx2y+l=0,記從=2門。，則集合A中元素的個數(shù)是（）A. 3 B. 1 C. 2 D. 4x2 y23 .雙曲線而一 g= 1的焦點到漸近線的距離為（）A. 2 B. 3 C. 4 D, 5y2 x

18、24 .雙曲線三一g=l的共挽雙曲線的離心率是.能力提升5 .中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（4, 一2）,則它的離心率為（） A# B.鄧 C* D乎x2 y26 .設雙曲線二一二=13>0）的漸近線方程為3x±2y=0,則的值為（） a2 9A. 4 B. 3 C. 2 D. 1x2 y27 .從一一=1（其中，*£-123）所表示的圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）方程中任取一 m n個，則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為（）3D-4142A- B- C-273y2 x28 .雙曲線二一二"=1的漸近線與圓（%3）2+產(chǎn)=/（

19、。0）相切，則,=（）63A.琳 B. 3 C. 4 D. 69. 如圖 K51-1,在等腰梯形 ABCD 中，AB/CD 且 AB=2AD,設ND48=6,0 ,：,以A、8為焦點且過點。的雙曲線的離心率為白，以。、。為焦點且過點A的橢圓的離心率為微，則臼,x2 y210 .己知雙曲線二一Unia。，/»0）的右焦點為凡 若過點F且傾斜角為60。的直線與雙曲線的 a2 b2右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是.x2 y211 .已知雙曲線二一二=1（>0,歷>0）的一條漸近線方程為丫=73X，它的一個焦點為F（6.0）,則 a2 b2v雙曲線的方程為.x2

20、 y212. （13分）雙曲線。與橢圓3+公=1有相同焦點，且經(jīng)過點（、向，4）.（1）求雙曲線。的方程；（2）若Q,尸2是雙曲線C的兩個焦點，點P在雙曲線C上，且NQPF2=120。，求QPB的面積.難點突破x2 y2x2 y213.（1）（6分）已知雙曲線二一二=1和橢圓二十=1（心0,的離心率互為倒數(shù)，那么以a2 b2m2 b2a，機為邊長的三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形或鈍角三角形（2）（6分）已知Fi、&為雙曲線C x2-y2=l的左、右焦點，點尸在雙曲線C上，且NRPJ=60% 則PFil.PBI=（）A. 2 B. 4 C. 6 D.

21、 8雙曲線綜合訓練一、選擇題（本大題共7小題，每小題5分，滿分35分）1 .動點P到點M（1,O）及點N（3,0）的距離之差為2,則點P的軌跡是（）A.雙曲線B.雙曲線的一支C.兩條射線D. 一條射線2 .設雙曲線的半焦距為c,兩條準線間的距離為"，且c = 4,那么雙曲線的離心率。等于（）A. 2 B. 3 C. 41 D. V33 .過雙曲線的一個焦點心作垂直于實軸的弦PQ, K是另一焦點，若NPRQ = £,則雙曲線的離 心率e等于（）A. -y/o, 1 B. y/2, C. V2 +1 D. y/2. + 24 .雙曲線狀2+）,2=1的虛軸長是“實軸長的2倍，則

22、.=（）A.B. -4 C. 4 D.445.雙曲線二一二=1（>0）的左、右焦點分別為R, F2,點P為該雙曲線在第一象限的點， cr b一PF1F2面積為1，且tan/PfJF? =g,tan/P8耳=-2,則該雙曲線的方程為（）A.12/-3y2 =1B.5x212一 3y2 =1C 3T = ID.二一空=13126.若凡為雙曲線=1的左、右焦點，o為坐標原點，點在雙曲線的左支上，點"在雙曲線的右準線上且滿足麗=麗.麗=九（答+菖）（2>0）,則該雙曲線的離心率為（）|OFi| |叫A.金B(yǎng). V3C. 2D. 37 .如果方程E+E=i表示曲線，則下列橢圓中與該

23、雙曲線共焦點的是（）一 p q丫2 .222A. - +匕=1B. _ + '=一12q + q2q + p pC.上+ E = 1D.上+2p + q q2p + q q二、填空題：（本大題共3小題，.每小題5分，滿分15分）8 .雙曲線的漸近線方程為*±2y = 0,焦距為10,這雙曲線的方程為9 .若曲線十二二=1表示雙曲線，則攵的取值范圍是4+k l-k10 .若雙曲線二一22 = 1的漸近線方程為），=±也工，則雙曲線的焦點坐標是.4 m2三、解答題：（本大題共2小題，滿分30分）11 .（本小題滿分10分）雙曲線與橢圓有共同的焦點”（0,-5）,5（0,

24、5）,點尸（3,4）是雙曲線的漸近線 與橢圓的一個交點，求漸近線與“橢圓的方程。12 .（本小題滿分20分）已知三點P （5, 2）、F （一6, 0）、&（6，0） °（1）求以Fr&為焦點且過點P的橢圓的標準方程：（2）設點P、F?關于直線y=x的對稱點分別為P、F】、求以耳、F?為焦點且過點的雙曲線的標準方瓦【基礎熱身】x2 y21. 一解析I雙曲線方程可化為17 r所以44,得“=2,所以勿=4.故實軸長為4.x22. B 解析由于直線x-2.v+l=0與雙曲線1一/=1的漸近線y=,平行，所以直線與雙曲線 只有一個交點，所以集合A中只有一個元素.故選B.x2

25、 y23.B 解析雙曲線二一二=1的一個焦點是(50), 一條漸近線是標一4)，=0,由點到直線的距離16 9|3x5-0|公式可得d=-=3.故選B. 54y2x2x2y2r4-解析雙曲線:一f=l的共規(guī)雙曲線是N一：=1,所以”=3, h=yJ7,所以c=4,所以 JrV/v/I4 離心率e =.3【能力提升】x2 y2b5. D 解桐設雙曲線的標準方程為一:一二=1(心0,歷>0),所以其漸近線方程為y=±r,因為點 a2 b2ab 1c2 - a2 15#(4, 一2)在漸近線上，所以一=工根據(jù)/=/+按，可得=-解得/=：,所以-=+，故選D. a 2a2 4423的

26、漸近線方程得：y=±r,即“y±3x=0.又已知雙曲線的漸近 ax2 y2故選C.則數(shù)組（，）只有 7 種：（2, 1）, （3, - 1）, （一 1, -1）,46. C 解析根據(jù)雙曲線二一二=1 a2 9線方程為3x±2y=0且>0,所以有a=2,7. B 解析若方程表示圓錐曲線,(2,2), (3,3), (2,3), (3,2),其中后4種對應的方程表示焦點在x軸上的雙曲線，所以概率為尸=1,故選B.廠l士/x3 - 0| 廣8. A 解析雙曲線的漸近線為，=±12一圓心為(3,0),所以半徑尸 ”南=46.故選A.9. 1 解析作。A/

27、J_A8于M,連接8D,設AB = 2,則。M=sin6,在RtZkBM。中，由勾股定理 得BD=yj54cos6,所以|AB|2I|BD| - |AD|CD|AC| + |AD| 方,所以4cos0 +1b1 。.+8) |解桐依題意，雙曲線的漸近線中，傾斜角的范圍是6。，9。)，所以/6。=S,即環(huán)23辟,24屆，所以622.x2 y2b （-廠11 .=1 解析一=«3,即=p3“，而 c=6,所以 b2=31=3（36反），得?=27,9 27a y'x2 y29,所以雙曲線的方程為不一不=1.9 2712 .解答(1)橢圓的焦點為點(0, -3),尸2(0,3).y

28、2 x2設雙曲線的方程為不一六=1,則2+/=32=9. a2 b2/16 15又雙曲線經(jīng)過點C/l5, 4),所以石一石=1，解得“2=4,6=5或東=36,6=-27(舍去),y2 x2所以所求雙曲線C的方程為:一二=L 45(2)由雙曲線。的方程，知=2, b=鄧,c=3.設IPFi I=】，PFiI=，則麻一川=2/=4,平方得戶一 2】+“2= 16.在ZkFi尸尸2中，由余弦定理得(2c)2=，+n2在"】cos 120°=m2+m2+mn = 36.20由得?=1，15s所以RPA 的面積為 5=>:nsinl20°=【難點突破】、a2 + b

29、2、/m2 - b213 . (1)B (2)B 解析(1)依題意有3- =1,化簡整理得故選B.(2)在中，由余弦定理得，|PF1|2 + |PF2|2 - |F1F2|22|PF1|PF2|=錯誤!，4a2 - 4c2-4b2cos60° = +1 = +1. 2|PF1|PF2|2|PF1|PF2|因為b=L所以IPBUP尸R=4.故選B.一、選擇題1. D PMPN = 2,而MN = 2,二。在線段MN的延長線上2. C *=32=2",/=二=2,6 = & ccr=>/2 + l3. C A。耳乃是等腰直角三角形，”=65=2c/6=2"

30、;,P" - PF? = 2a. 2>/2c- 2c = 2a, e =4. A.5. A【思路分析】：設（%,兒），則包_ = "_ = 2,c%=l, x（） +c 2 X。- cy/35a/32V3 c = -, yQ = 263【命題分析】：考察圓錐曲線的相關運算6. c【思路分析】：由月5 =所知四邊形EQMP是平行四邊形，又麗=以" 阿+答）知OP平分N£QW ,即"QMP是菱形，設OF1=c,則尸巧=c.又|PF?口尸用=2八.|夕見=%+ <7,由雙曲線的第二定義知：e = W±£ = ： + l,且6>1, e = 2,故選C.【命題分析】：考查圓錐曲線的第一、二定義及與向量的綜合應用，思維的靈活性.7. D.由題意知，?7>0.若>0,夕>0,則雙曲線的焦點在y軸上，而在選