對稱性在各種積分中的定理

1、對稱性在積分計算中的應用定理2.1.1 設函數(shù)f (x, y)在xoy平面上的有界區(qū)域D上連續(xù)，且D關于 x軸對稱.如果函數(shù)f(x, y)是關于y的奇函數(shù)，即f (x,_y) =-f(x,y) ,(x,y)D， 則 JJf(x, y)db =0 ;如果 f(x,y)是關于 y 的偶函數(shù)，即 f(x,y) = f (x, y)，DD1其中D1是D在X軸上方的平面區(qū)域.(X, y)迂 D，貝U JJ f (x, y)db =2JJf(X, y)dcr .D同理可寫出積分區(qū)域關于y軸對稱的情形.則由定理 2.1.1 知 JJy'sin2xdb=0.D由定理2.1.1可得如下推論.推論2設函數(shù)

2、f (x, y)在xoy平面上的有界區(qū)域D上連續(xù)，若積分區(qū)域D既 關于x軸對稱，又關于y軸對稱，則 若函數(shù)f (X, y)關于變量X, y均為偶函數(shù)，則f(X, y)db =4 f(X, y)dcr .DD1其中D1是區(qū)域D在第一象限的部分，D1 =(x,y嚴D|x>0,yX0. 若函數(shù)f (x, y)關于變量x或變量y為奇函數(shù)，貝U JH(x,y)db=0.D當積分區(qū)域關于原點對稱時，我們可以得到如下的定理.定理2.1.2 H設函數(shù)f(x, y)在xoy平面上的有界區(qū)域D上連續(xù)，且D關于原點對稱.如果 f(X, y) =f(X, y)， (x, D，貝 U JJ f(x, y)d=0;

3、如果 Df(-x,-y) = f (x, y)， (x,y)亡 D，貝U JJ f(x,y)db =2口 f (x, y) =2jj f (x, y)db， DD1D2其中 D1 =(x,y)-D|x>0，D2 =(x,y)-D|y>0.為了敘述的方便，我們給出區(qū)域關于 x,y的輪換對稱性的定義.定義2.1.1設D為一有界可度量平面區(qū)域(或光滑平面曲線段)，如果對 于任意(X, y)-D，存在(y,x)-D，則稱區(qū)域D (或光滑平面曲線段)關于x,y具 有輪換對稱性.關于區(qū)域的輪換對稱性，有如下定理.定理2.1.3 5設函數(shù)f (X, y)在xoy平面上的有界區(qū)域D上連續(xù)，且D關于

4、X, y 具有輪換對稱性，則 JJ f(X, y)db = JJf (y,x)dcr .D定理2.2.1 6設函數(shù)f (x,y,z)是定義在空間有界區(qū)域O上的連續(xù)函數(shù)，且0關于坐標平面x=0對稱，則(1) 若f (x, y,z)是關于變量x的奇函數(shù)，貝U川f(X, y, z)dV =0 ；Q(2) 若f(x,y,z)是關于變量X的偶函數(shù)，貝U川 f(X, y, z)dV = 2 川 f(x, y,z)dV .QQ其中Q是O的前半部分，01眾(x,y,z)% |xk0.同理可寫出0關于坐標平面y=0 (或z = 0)對稱時的情形.與二重積分類似，我們也可得到如下結論.定理2.2.2 設函數(shù)f(x

5、,y,z)是定義在空間有界區(qū)域0上的連續(xù)函數(shù)，且O 關于原點對稱，則(1) 若 f(x,y,z) =_f(x,y,z)，(x,y,z)fi，貝U 川 f(x,y,z)dV=0 ;Q(2) 若 f (X,y,z) = f(x, y,z)，(x,y,z)0，貝U川 f (x,y,z)dV =2 川 f (X, y,z)dV =2 川 f (x, y,z)dV = 2 川 f (x,y,z)dV .QQQQ其中 0=(x, y,z)IX 3。, Q2 = (X, y, z)忘0 I y -0，3 = (x, y,z)0 |z 二 o為了方便敘述，我們先給出一個空間幾何體關于x,y,z的輪換對稱性定義

6、.定義2.2.1 7設0是一有界可度量的集幾何體(0可為空間區(qū)域、空間曲線或曲面塊)，且它的邊界光滑，若對任意的(X, y,z)O，都存在(y z,x)W，存在(Z, X, y)O，則稱0關于X, y,z具有輪換對稱性.關于空間區(qū)域的輪換對稱性，我們有如下的定理定理2.2.3 設函數(shù)f(x,y,z)是定義在空間有界區(qū)域。上的連續(xù)函數(shù)，且0 關于 X, y,z 具有輪換對稱性，貝 U JJJ f (x,y,z)dV = JJJ f (y, z, x)dV =川 f( z, x, y)dV .QQQ3.1對稱性在第一型曲線積分計算中的應用本文只討論平面曲線，對于空間曲線有類似的結論定理3.1.1

7、9設平面分段光滑曲線L關于y軸(或X軸)對稱，且f(x,y)在L上有定義、可積，則(1)若f (x,y)為關于X (或y )的奇函數(shù)，貝U JLf(x, y)ds=0 ; 若f (X, y)為關于X (或y )的偶函數(shù)，貝U J f(x, y)ds=2J f (x,y)ds. L" L1其中 J = (X, y)忘 L IX > 0(或y > 0).由定理3.1.1可得如下推論.推論3設平面分段光滑曲線L關于X軸對稱且關于y軸對稱，且f(X, y)在L上有定義、可積，則 若 f (x, y)關于 X, y 均為偶函數(shù)，則 J f(x, y)ds = 4j f(x,y)ds

8、，L"Li其中 Li =(x,y)亡 L|x>0,y >0.(2)若f(x, y)關于X或y為奇函數(shù)，即f (x,-y) = - f (x, y)或f (x, y) = -f (X, y)，(x,y) L，貝U JL f (x, y)ds = 0 .當曲線L關于原點對稱時，我們可以得到如下的定理定理3.1.2設平面分段光滑曲線L關于原點對稱，且f(x, y)在L上有定義、 可積，則(1)若 f(X,y) =f(x, y)，(x,y)亡 L，貝U JLf(x,y)ds = 0 ; 若 f(X,y) = f(X, y)，(x,y嚴 L，則 jf(x,y)ds = 2j f(x

9、, y)ds.LL1其中L1為L的上半平面或右半平面.關于曲線的輪換對稱性，我們有如下結論.定理3.1.3設平面分段光滑曲線L關于x,y具有輪換對稱性，且f(x,y)在L上有定義、可積，則(f(x,y)ds = ( f(y,x)ds.定理3.2.1設L為平面上分段光滑的定向曲線，P(X, y),Q(x, y)為定義在L上的連續(xù)函數(shù);當L關于X軸對稱時:若P(x,y)是關于y的偶函數(shù)，則L P(x,y)dx = 0 ；若P(x, y)是關于y的奇函數(shù)，則JLP(x,y)dx=2L P(x, y)dx，若Q(x,y)是關于y的奇函數(shù)，則Q(x,y)dy =0 ；若Q(x,y)是關于y的偶函數(shù)，則l

10、LQ(x,y)dy = 2 JLQ(x,y)dy ；其中L1是L位于x軸上方的部分.當L關于y軸對稱時:若P(x, y)是關于x的奇函數(shù)，則P(x, y)dx =0 ；若P(x, y)是關于x的偶函數(shù)，則r P(x,y)dx=2f P(x,y)dx ；L若Q(x, y)是關于x的偶函數(shù)，則JLQ(x, y)dy = 0 ；若Q(x,y)是關于x的奇函數(shù)，則fLQ(x, y)d2 Q(x, y)dy ； 其中L1是L位于y軸右方的部分.當L關于原點對稱時: 若 P(x, y),Q(x,y)關于(x, y)為偶函數(shù)，即 P(-x,-y) = P(x, y) 且 Q(X,y) =Q(x, y)， (

11、x, y)亡 L，貝U P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ； 若 P(x, y),Q(x,y)關于(x, y)為奇函數(shù)，即 P(-x,-y)=-P(x, y) 且 Q(X,y) = Q(x, y)，則(P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 2 P(x, y)dx + Q(x,y)dy .其中L1為對于輪換對稱性，我們有如下定理.定理3.2.2 設L為平面上分段光滑的定向曲線，P(X, y),Q(x, y)為定義在L 上的連續(xù)函數(shù).若曲線L關于x,y具有輪換對稱性，則P(X, y)dx= (P(y,x)dy.L的右半平面或上半平面部分.4.1對稱性在第一型曲面積分計算

12、中的應用在第一型曲面積分的計算中，經(jīng)常會碰到積分曲面關于某個坐標面對稱的情 形，與前幾節(jié)類似，我們可以利用積分區(qū)域的對稱性(關于坐標面、原點、輪換 對稱)及被積函數(shù)的奇偶性來簡化第一型曲面積分的計算，下面給出相應的定理 及例題.定理4.1.1 11設分片光滑曲面邑關于坐標面x=0對稱，且f(x,y,z)在H上有定義、可積，則 若f(x, y,z)為關于x的奇函數(shù)，貝U JJf (x,y,z)dS = 0 ;(2)若 f(x, y,z)為關于 x 的偶函數(shù)，貝U JJf (x,y, z)dS=2 JJ f(x, y,z)dS .1S其中=(x, y, zT |x >0同理可寫出曲面工關于坐

13、標面y=0 (或z = 0)對稱的相應結論.對于輪換對稱性，我們有如下定理.定理4.1.2設分片光滑曲面E關于x,y,z具有輪換對稱性，且f(x,y,z)在 上有定義、可積，則 JJ f (x,y,z)dS = JJ f (y, z,x)dS= JJf(z, x, y)dS .Ill4.2對稱性在第二型曲面積分計算中的應用與第二型曲線積分一樣，我們可以根據(jù)第二型曲面積分積分的定義及物理背 景(計算流體流量)，同樣可以得到對稱性在第二型曲面積分計算中的相關結論定理4.2.1問 設積分曲面：E光滑或分段光滑，且壬=爲+壬2，曲面爲和F 2的法線方向相反，若曲面1,和爲關于xoy面對稱，則 若 R(x, y,-Z)= R(x, y, Z)，則 J J R( x, y,z)dxdy = 0 ； I 若 R(x, y,z) =R(