實驗五__用matlab求解常微分方程

1、實驗五用matlab求解常微分方程1. 微分方程的概念未知的函數(shù)以及它的某些階的導(dǎo)數(shù)連同自變量都由一已知方程聯(lián)系在一起的方程稱為 微分方程。如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，稱為常微分方程0常微分方程的一般形式為F（心八八嚴(yán)）=0如果未知函數(shù)是多元函數(shù)，成為偏微分方程。聯(lián)系一些未知函數(shù)的一組微分方程組稱為 微分方程組微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階解數(shù)稱為微分方程的階。若方程中 未知函數(shù)及貝各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，稱為線性常微分方程，一般表示為yg + (f+ +(r)y+a 八(t)y = b(t)若上式中的系數(shù)（ = 1,2,均與f無關(guān)，稱之為常系數(shù)。2. 常微分方程的解析解dy=y +1有些微分

2、方程可宜接通過積分求解例如，一解常系數(shù)常微分方程力可化為dy=（itJy+1，兩邊積分可得通解為一1苴中C為任意常數(shù)有些常微分方程可用一些技巧,如分離變量法，積分因子法，常數(shù)變異法，降階法等可化為可積分的方程而求得解析解 線性常微分方程的解滿足疊加原理，從而他們的求解可歸結(jié)為求一個特解和柑應(yīng)齊次微 分方程的通解一階變系數(shù)線性微分方程總可用這一思路求得顯式解。高階線性常系數(shù)微分 方程可用特征根法求得柑應(yīng)齊次微分方程的基本解，再用常數(shù)變異法求特解。一階常微分方程與髙階微分方程可以互化，已給一個階方程宀Twy，嚴(yán)）設(shè)兒=”匕=,兒=ySi,可將上式化為一階方程組*1 -*2兒T =兒.兒=/（人片*

3、2,兒）反過來，在許多情況下 一階微分方程組也可化為髙階方程。所以一階微分方程組與高 階常微分方程的理論與方法在許多方而是相通的，一階常系數(shù)線性微分方程組也可用特征根 法求解。3.微分方程的數(shù)值解法除常系數(shù)線性微分方程可用特征根法求解，少數(shù)特殊方程可用初等積分法求解外，大 部分微分方程無限世界，應(yīng)用中主要依靠數(shù)值解法.考虎一階常微分方程初值問題卩(/) = /(人曲)0 v/s=dsolve(，Df=f+g，jDg=g-f，Jf (0)=1，Jg(0)=l，) y (s f jl%s 是一個結(jié)構(gòu)3implif y (s g)結(jié)果為ans =exp(t)*cos(i)+exp(l)*sin(l)

4、ans =-exp(t)*sin(t)+exp(i)*cost)例2求解微分方程yJ-y+r + h y(0) = 1,先求解析解，再求數(shù)值解，并進行比較。由clear ;s=dsolve(，Dy=-y+t+l，Jy(0)=1，Jt，)3implif y (s)可得解析解為=+廣1下而再求其數(shù)值解先編寫M文件funS.m%M 函數(shù) funS.mfunction f=fun8(t,y)f=-y+t+l;再用命令clear ; close ; t=0 : 0.1:1;y=t+exp (-t); plot (t, y); %化解析解的圖形hold on; %保留已經(jīng)畫好的圖形，如果下面再畫圖，兩個圖

5、形和并在-起 t,y=ode45*fun8 0,1,1);plot(t,y, *ro*); %iSj數(shù)值解圖形，用紅色小圈畫xlabel ( P , ylabel ( 了)結(jié)果見圖71圖1661解析解與數(shù)值解 由圖1661可見，解析解和數(shù)值解吻合得很好。例3求方程mg sin 3. &(0) =O(0) = 0的數(shù)值解不妨取/ = hg=9&(0) = 15 則上而方程可化為0= 98sm0 6*(0) = 15, 6(0) = 0先看看有沒有解析解運行MATLAB代碼clear ;3=d3olve (* D2y=9.8 *3in (y) *y(0)=15 *Dy(0)=0)3implif y

6、 (s)知原方程沒有解析解下而求數(shù)值解令門可將原方程化為如下方程組yi-vi y2=9.8sin(y|)X (0) = 15,2 (0) = 0建立M文件fun9m如下%M 文件 fun9 mfunction f=fun9(t,y)f=y(2), 9.8*3inyl)%f 向量必須為列向量運行MATLAB代碼clear; close;t,y=ode45(* funS *, 0,10, 15,0);plot (t, y (: z 1); %iSJ &隨時間變化圖，y (：2)則衣示&的值xlabel ( P , ylabelyl J 結(jié)果見圖7216.51615.515910圖7.2數(shù)值解由圖72可見，&隨時間f周期變化。L求下列微分方程的解析解y + 2j/ 3卩=界” y-3y = 20 sinx(4)y + ay = sinx (a 0) 刃-宀1 = Q(5)才必+ 2(5?_期2妙=0, y(6)y + /-i-y=GQSX, 7PS-OCT)+ y = / + os卷 7h + 2尹+才=0 7y=2$-0_32=12.求方程(l + x-)y= 2xy y(0) = L y(0) = 3的解析