實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組(一)(提高)知識(shí)講解

1、初一數(shù)學(xué)下優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編（附詳解）實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組（一）（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 以含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解 方程組和檢驗(yàn)結(jié)果”的過(guò)程，體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中含有多個(gè)未知數(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型;2. 熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實(shí)際問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、常見(jiàn)的一些等量關(guān)系（一）1. 和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量=原有量X增長(zhǎng)率較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)X倍量.2. 產(chǎn)品配套問(wèn)題：解這類問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.3. 工程問(wèn)題：工作量=工作效率X工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和=總量.利潤(rùn)4. 利潤(rùn)問(wèn)題：

2、商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)X100% .進(jìn)價(jià)要點(diǎn)二、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組1. 列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和 未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的等量關(guān)系.一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程， 所列方程必須滿足：方程兩邊表示的是同類量：同類量的單位要統(tǒng)一； 方程兩邊的數(shù)要相等.2. 列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟： 設(shè)：用兩個(gè)字母表示問(wèn)題中的兩個(gè)未知數(shù)； 列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形；答：寫(xiě)出

3、答案.要點(diǎn)詮釋：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的 結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱；（3 ）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.【典型例題】 類型一、和差倍分問(wèn)題申F 1.在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，甲、乙兩校各有100名同學(xué)參加測(cè)試.測(cè)試結(jié)果顯示，甲校男生的優(yōu)分率為60 %，女生的優(yōu)分率為 40%，全校的優(yōu)分率為 49.6 %;乙校男生的優(yōu)分率為 57%,女生的優(yōu)分率為 37%.（男（女）生優(yōu)分率=男（女生優(yōu)分人數(shù)X100%，全校優(yōu)分率=全校測(cè)分人數(shù)X 100%）（1）求甲校參加測(cè)試的男

4、、女生人數(shù)各是多少？（2）從已知數(shù)據(jù)中不難發(fā)現(xiàn)甲校男、女生的優(yōu)分率都相應(yīng)高于乙校男、女生的優(yōu)分率，但最 終的統(tǒng)計(jì)結(jié)果卻顯示甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低，請(qǐng)舉例說(shuō)明原因.【思路點(diǎn)撥】（1）求甲校參加測(cè)試的男、 女生人數(shù)需設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，故可建立二元一次方程組求解.（2）由于甲校男、女生的優(yōu)分率相應(yīng)高于乙校的男、女生的優(yōu)分率，要使乙校的全 校優(yōu)分率比甲校的全校優(yōu)分率高，此時(shí)，只有乙校的男生較多時(shí)，才能提高全校的優(yōu)分率.【答案與解析】解：（1）設(shè)甲校參加測(cè)試的男生人數(shù)是x人，女生人數(shù)是 y人.由題意可列方程組：fx + y =100x =48J =52 答：甲校參加測(cè)試的男生有48人，女生有

5、52人.女口：乙校男生有70人，女生有30人，則乙校的全校優(yōu)分率為7"57%+3"37%咒100%=51% . 51%> 49.6 %解之得:60%x +40%y =49.6%如00100（說(shuō)明：只要所舉例子中男生人數(shù)多于63人，且女生優(yōu)分率合適，即可得全分.）【總結(jié)升華】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系， 列出方程組，再求解.本題的第（2）問(wèn)也可以用不等式求出甲乙兩校男生人數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)，才滿足甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低.舉一反三：2009年正式開(kāi)始.某經(jīng)銷商在政960臺(tái)，政策出臺(tái)后的第一個(gè)月售出【變式】為了拉動(dòng)內(nèi)需，

6、全國(guó)各地汽車購(gòu)置稅補(bǔ)貼活動(dòng)在 策出臺(tái)前一個(gè)月共售出某品牌汽車的手動(dòng)型和自動(dòng)型共 這兩種型號(hào)的汽車共 1228臺(tái)，其中手動(dòng)型和自動(dòng)型汽車的銷售量分別比政策出臺(tái)前一個(gè)月 增長(zhǎng)30%和25%（1）在政策出臺(tái)前一個(gè)月，銷售的手動(dòng)型和自動(dòng)型汽車分別為多少臺(tái)？（2）若手動(dòng)型汽車每臺(tái)價(jià)格為 8萬(wàn)元，自動(dòng)型汽車每臺(tái)價(jià)格為9萬(wàn)元.根據(jù)汽車補(bǔ)貼政策,政府按每臺(tái)汽車價(jià)格的5%給購(gòu)買(mǎi)汽車的用戶補(bǔ)貼，問(wèn)政策出臺(tái)后的第一個(gè)月，政府對(duì)這1228臺(tái)汽車用戶共補(bǔ)貼了多少萬(wàn)元？【答案】解：（1）設(shè)政策出臺(tái)前一個(gè)月銷售的手動(dòng)型汽車為x輛，自動(dòng)型汽車為 y輛，由題意可得：x+y=9601(1 + 30%)x + (1 + 25%)

7、y = 1228解之得:x=560-畀=400答：政策出臺(tái)前一個(gè)月銷售的手動(dòng)型汽車為560輛，自動(dòng)型汽車為 400輛.560 X （1+30 % ） X 8+400 X （1+25 %） X 9 X 5%= 516.2（萬(wàn)元）答：政策出臺(tái)后的第一個(gè)月，政府對(duì)這1228臺(tái)汽車用戶共補(bǔ)貼了516.2萬(wàn)元.類型二、配套問(wèn)題2.某班學(xué)生到農(nóng)村勞動(dòng)， 一名男生因病不能參加， 另有三名男生體質(zhì)較弱， 教師安排 他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔(dān)，兩只筐），這樣安排勞動(dòng)時(shí)恰需筐68個(gè)，扁擔(dān)40根，問(wèn)這個(gè)班的男女生各有多少人？【答案與解析】解：設(shè)女生x人，男生y人，由題意得：X +3

8、+ y 一4 =402X +3+2(y -4) =682解得:x=21y =32答：這個(gè)班的男生有 32人，女生有21人.【總結(jié)升華】?jī)扇颂列枰桓鈸?dān)，一只筐；一人挑土需要一根扁擔(dān)，兩只筐.題中的等量關(guān)系是：參加勞動(dòng)的同學(xué)一共用去籮筐68個(gè)和40根扁擔(dān)，從而列出方程組，解出即可.409143 例2練習(xí)】【高清課堂：實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組（一）舉一反三：【變式】某工廠有工人 60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓和兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn) 螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓， 多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和 螺母剛好配套？【答案】解：設(shè)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，則根據(jù)題意

9、可得：jx + y =60 20yj14x =- 2|x=25J =35答：應(yīng)分配25人生產(chǎn)螺栓，35人生產(chǎn)螺母. 類型三、工程問(wèn)題3. （2015春?定陶縣期末）一家商店進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元，若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做 6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可以 完成，需付費(fèi)用3480兀，冋：（1 ）甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付多少錢(qián)？（2） 已知甲單獨(dú)完成需 12天，乙單獨(dú)完成需 24天，單獨(dú)請(qǐng)哪個(gè)組，商店所需費(fèi)用最少？（3） 若裝修完后，商店每天可贏利200元，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店？請(qǐng)你幫助 商店決策.（可用（1） （2）問(wèn)的條件及結(jié)論）【

10、思路點(diǎn)撥】（1）本題的等量關(guān)系是：甲做 8天需要的費(fèi)用+乙作8天需要的費(fèi)用=3520元.甲組6天需付的費(fèi)用+乙做12天需付的費(fèi)用=3480元，由此可得出方程組求出解.12天（2）根據(jù)（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的費(fèi)用，然后分別計(jì)算出甲單獨(dú)做 需要的費(fèi)用，乙單獨(dú)做 24天需要的費(fèi)用，讓兩者進(jìn)行比較即可.（3）本題可將每種施工方法的施工費(fèi)加上施工期間商店損失的費(fèi)用，然后將不同方案計(jì)算 出的結(jié)果進(jìn)行比較，損失最少的方案就是最有利商店的方案.【答案與解析】元.解：（1）設(shè)：甲組工作一天商店應(yīng)付x元，乙組工作一天商店付 y由題意得沈+旳=3520l6x+12y=3480解得仟300ly=140答

11、：甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付300元和140元.（2）單獨(dú)請(qǐng)甲組需要的費(fèi)用：300 X 12=3600 元. 單獨(dú)請(qǐng)乙組需要的費(fèi)用：24 X 140=3360元.答：?jiǎn)为?dú)請(qǐng)乙組需要的費(fèi)用少.（3 ）請(qǐng)兩組同時(shí)裝修，理由：甲單獨(dú)做，需費(fèi)用 乙單獨(dú)做，需費(fèi)用 甲乙合作，需費(fèi)用3600 元,3360 元,3520 元,少贏利少贏利少贏利200X 12=2400元，相當(dāng)于損失200X 24=4800元，相當(dāng)于損失200X 8=1600元，相當(dāng)于損失6000 元;8160 元;5120 元；因?yàn)?5120< 6000 < 8160,所以甲乙合作損失費(fèi)用最少. 答：甲乙合作施工更有利于商店

12、.【總結(jié)升華】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系： 甲做8天需要的費(fèi)用+乙作8天需要的費(fèi)用=3520元.列出方程組，再求解.類型四、利潤(rùn)問(wèn)題 4. （2016?黃岡模擬）甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤(rùn)，將甲服157元求甲、乙兩件服裝的成本各是多少元？x元，則乙服裝的成本是 y元，根據(jù)“甲、乙兩件服裝共獲50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按 40%的利潤(rùn)定價(jià)，兩件服裝均按定價(jià)的9157元”，列方程組解決問(wèn)題.裝按50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按 40%的利潤(rùn)定價(jià).在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均 按定價(jià)的9折出售，這樣商店共獲利【思路點(diǎn)撥】設(shè)甲服裝的成本是利157元、將甲服裝按 折出售，這樣商店共獲利【答案與解析】x元，則乙服裝的成本是y元，依題意有解：設(shè)甲服裝的成本是x+y=5000. 9（l+50%）x+0. 9CH40«y- 500=15解得：（5°ly=200答：甲服裝的成本為 300元，乙服裝的成本為 200元.【總結(jié)升華】 考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程組，再求解.舉一反三：【變式】（20