一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.8.3圓錐曲線的范圍問題練習(xí)

1、983圓錐曲線的范圍問題核心考點精準研析5*考點一幾何法求范圍*題組練透*1.已知直線I i：mx-y+m=O與直線l2：x+my-1=0的交點為Q,橢圓三+y2=1的焦點為F1,F2,則4|QF1|+|QF 2|的取值范圍是（）A.2,+ S)C.2,4D.2 遁,42.（2020 綿陽模擬）設(shè)點P是拋物線C:y 2=4x上的動點,Q是C的準線上的動點，直線I過Q且與OQ（C為坐標原點）垂直，則點P到I的距離的最小值的取值范圍是A.(0,1)B.(0,1C.0,1D.(0,22 23.過雙曲線一-石=1（a>0,b>0）的右頂點且斜率為 2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點，則此雙

2、曲線離心率的取值范圍為【解析】1.選D.橢圓l+y2=1的焦點為:F 1（- 苗,0）,4-F2（甘3,0）,由I1與I 2方程可知I 1± I 2,直線I i：mx-y+m=0與直線I 2：x+my-1=0的交點為Q,且兩條直線分別經(jīng)過定點（-1,0）,（1,0）,所以它們的交點 Q滿足:x 2+y2=1（x豐-1）,當(dāng)Q與(1,0)重合時,|QFi|+|QF 2|取最小值為|FiF2|=2V3,當(dāng)Q與短軸端點重合時,|QF 1|+|QF 2|取最大值為2a=4,所以|QF1|+|QF 2|的取值范圍是2*34.2.選B.拋物線C的準線方程是x=-1,若點Q的坐標為(-1,0),此

3、時直線I的方程為x=-1,顯然點P到直線I的距離的最小值是1, 若點Q的坐標為(-1,t), 其中t豐0,L0則直線OQ的斜率為 k。=-t,-L-0直線I-1 1的斜率為kI=,直線I1 2的方程為 y-t=(x+1),即 x-ty+t +1=0,t設(shè)與直線I平行且與拋物線C相切的直線方程為x-ty+m=0，代入拋物線方程得y2-4ty+4m=0, 所以 =16t2-16m=0,解得m=t2,所以與直線I平行且與拋物線 C相切的直線方程為 x-ty+t 2=0,所以點P到直線I的距離的最小值為直線2 2x-ty+t +1=0與直線 x-ty+t =0的距離，即因為t豐0,所以0<d&l

4、t;1.綜合兩種情況可知點P到直線I的距離的最小值的取值范圍是(0,1.3.由過雙曲線44=1(a>0,b>0)的右頂點且斜率為2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點可得-<2.所以e二 F 節(jié) <<1 + 4=百,因為e>1,所以1<eV5 ,所以此雙曲線離心 n口 V a率的取值范圍為(1, 答案：(1，甘5)律方法1.當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決,然后利用平面幾何中的2.利用圓錐曲線的定義、幾何意義等轉(zhuǎn)化為平面圖形中的范圍問題定理、性質(zhì)等進行求解.*考點二 代數(shù)法求范圍問題 命i考什么：(1)范圍問題主要有：涉

5、及距離、 面積的范圍以及與之相關(guān)的一些范圍問題； 題i求直線或圓錐曲線中幾何元素的范圍；求目標代數(shù)式的取值范圍(2)考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想等怎么考：以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為背景，考查參數(shù)取值范圍或目標代數(shù)式的取值:范圍問題.新趨勢：范圍問題與不等式、函數(shù)值域等問題相結(jié)合! 1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題的5種常用解法1 (1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.|(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等,求其值域,從而確定參數(shù)! (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式 ，從而

6、求出參數(shù)的取值范圍1(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式 ，從而求出參數(shù)的取值范圍! (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù) !i的取值范圍.S2.交匯問題i與不等式、函數(shù)問題交匯時，要注意參數(shù)取值范圍的限制對解不等式、求函數(shù)值域的影-命®*度構(gòu)造不等式求范圍【典例】(2019 宜昌模擬)在直角坐標系xOy中，橢圓C的方程為；亍転=1(a>b>0),左右焦點分別為F1,F2,R為短軸的一個端點，且 RFF2的面積為7坷'.設(shè)過原點的直線I與橢圓C交3于A,B兩點,P為橢圓C上異于A,B的一點，且直線PA,PB的斜率都存在,k pA<p薩-；.

7、4-(1)求a,b的值.設(shè)Q為橢圓C上位于x軸上方的一點,且QF丄x軸,M,N為橢圓C上不同于 Q的兩點,且/MQ匡/ NQF,設(shè)直線MN與y軸交于點D(O,d),求d的取值范圍.【解題導(dǎo)思】序號題目拆解(1)求參數(shù)a,b3點差法轉(zhuǎn)化 kPAkPEF-,結(jié)合 RFF2的面積列出方程4組求解(2)設(shè)直線QM勺方程將兩角相等轉(zhuǎn)化為兩直線 QM,QN斜率之間的關(guān)系求直線MN的斜率將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，分別求出M N點的橫坐標，利用兩點坐標表示出直線 MN的斜率.求d所滿足的不等式將直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立，由位置關(guān)系列出 不等關(guān)系解不等式求氾圍解所得不等式即可求得 d的取值范圍【解析】 設(shè)

8、A(xi,y 1),P(x 2,y 2),則 B(-x i,-y 1),疋1蚯 透vj 進一步得 V=1V=1,兩個等式相減得，注尹牛尹=0,所能所以kpA 力2kpE=-=,因為kpA -3kpEF-,*1所以-即£蘭設(shè) bt,a=2t(t>0), CT 2因為 a2=b2+c2,所以 c=t,由REF2的面積為、尿，丁刊3即bcV3,即問2=3曰，所以a=2，b=®(2)設(shè)直線QM的斜率為k,因為/ MQF=/NQF,所以QM,QN關(guān)于直線QF對稱,所以直線QN的斜率為-k,算得 F1(-1,0),Q (-1,寸;3所以直線QM的方程是y-=k(x+1),2設(shè) M

9、(X3,y 3),N(x 4,y 4)由丫 2消去y得,y二心 + 1>, 2(3+4k2)x 2+(12+8k)kx+(4k 2+12k-3)=0,所以-1 X3嚴 +空羅,所以X3=°"將上式中的k換成-k得,x 4=所以kM=/a評+%旳呂+丸)+ 2丿 1所以直線MN的方程是1y=-?x+d,=1 得,x 2-dx+d 2-3=O,2 2 尤V 代入橢圓方程+4 32 2所以 =( -d) -4(d -3)>0,所以-2<d<2, 又因為MN在Q點下方,3 1所以二 >-7 x(-1)+d,2 2所以-2<d<1.-命氈構(gòu)造

10、函數(shù)法求范圍【典例】(2019 日照模擬)已知點E,F分別是橢圓c44=1(a>b>0)的上頂點和左焦點，42 2若EF與圓x+yh相切于點T,且點T是線段EF靠近點E的三等分點.3(1)求橢圓C的標準方程.(2)直線I :y=kx+m與橢圓C只有一個公共點 P,且點P在第二象限,過坐標原點0且與I垂直的直線I '與圓x 2 2(3k +1)x +6kmx+3m6=0.+y2=8相交于A,B兩點,求PAB面積的取值范圍.【解題導(dǎo)思】序號題目拆解(1)求參數(shù)a,b根據(jù)已知分別求出a,b的值.(2)建立k,m的關(guān)系式直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用方程只有一解即可建立兩者的關(guān)系式求

11、P到直線1 的距離求P點坐標，代入距離公式求解表示 PAB面積利用三角形面積公式建立目標函數(shù)求取值范圍根據(jù)目標函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,利用基本不等式求解最值，從 而確定其取值范圍2124【解析】OT =ET - TF-a 孑Va2=6,b2=0E=012+E=2,r橢圓C的標準方程為+=1.g 2因為直線 I :y=kx+m 與橢圓 C相切于點 P,所以 =(6km) -4(3k +1)(3m -6)=12(6k +2 -m )=0,即 m=6k2+2,解得 x=字,y=7,S口 1預(yù)即點P的坐標為 因為點P在第二象限，所以k>0,m>0, 所以m6fr2 + 2,所以點P的坐標為贏T贏帚

12、丿，設(shè)直線1 '與1垂直交于點Q，則|PQ|是點P到直線I '的距離， 設(shè)直線l 的方程為y=-F,9則IPQF L賈心忍冰5所以 Sapae=-x4 2 X |PQ|= < =石=鈿'3 -4,2仆圭V4+2V3 V3+1當(dāng)且僅當(dāng) 3=吉，即¥乜,k2=時，取得最大值43-4,所以 PAB面積的取值范圍為-3 (0,4 34.1.已知橢圓C:一h+7=1(a>b>0)的焦距為 2 節(jié)"3, 且C與y軸交于A(0,-1),B(0,1) 兩點.(1)求橢圓C的標準方程.設(shè)P點是橢圓C上的一個動點且在 y軸的右側(cè)，直線PA,PB與直線x

13、=3交于M,N兩點.若以MN為直徑的圓與x軸交于E,F兩點，求P點橫坐標的取值范圍.【解析】（1）由題意可得,b=1,c= 苗, 所以a=2,橢圓C的標準方程為蘭L+y2=1.4(2)方法一：設(shè) P(xo,y o)(0<x o< 2),A(0,-1),B(0,1),所以kPA=i,直線PA的方程為y如土ix-1,同理得直線PB的方程為y西2x+1,直線PA怎00芒0與直線x=3的交點為 M（3孔+ D_1）,直線PB與直線x=3的交點為3, 3 （珈T）+ ）線段MN的中點G嚴）,所以圓的方程為E+(y-警)0-寸.令 y=0,則(x-3)2+磚=（1 一旦）,因為Y阮=1,所以（

14、X-3）2罟上,因為這個圓與13 6x軸相交，所以該方程有兩個不同的實數(shù)解，貝y ->0,又0<X0< 2,解得X0 心兀0蘭2 .13方法二：由題意設(shè)直線 AP的方程為y=kix-1（k 1>0）,與橢圓x2+4y2=4聯(lián)立得：(1+4 ft?)x -8k ix=0,x214十同理設(shè)直線 BP的方程為y=k2X+1,可得X吋,由可得 4klki 所以 M（3,3kl-1），N（3,3k 2+1）,MN 的中點為（3班）,所以以 MN為直徑的圓為L. 3(珀19/ 2 -2 .(X-3) 2+當(dāng) y=0 時,(x-3) 2+蘭9,所以（x-3）2 3廣"卜 F

15、因為MN為直徑的圓與x軸交于E,F兩點，所以（&k坊（-駅2-2）0,代入(3亞1-1)(耳火1-3)134kik2=-1 得:<0,所以一<kik,34所以單調(diào)遞增，在（孑f威1!Xp丁二 i?。﹩握{(diào)遞減,所以xp （今'2 .4/Vi3 "2.（2019 焦作模擬）已知橢圓C竺+亡1與直線l1交于A,B兩點，l1不與x軸垂直,圓432 2M:x +y -6y+8=0. 若點P在橢圓C上，點Q在圓M上,求|PQ|的最大值.（2）若過線段AB的中點E且垂直于AB的直線12過點（扌0）,求直線l1的斜率的取值范圍.【解析】 依題意,圓M:x2+y2-6y+8

16、=0,即圓M:x2+（y-3） 2=1,圓心為M（0,3）.所以 |PQ| < |PMI+1.設(shè) P(x,y),2 2則 |PM| =x +(y-3)222八小、=x +y -6y+9.(*)2 2主陽2而+=1,所以 x =4-4339-9代入(*)中，可得 |PM| =4+y -6y+93=-6y+13,y卜十3甘3.所以|PM爲(wèi)=12+63即 |PM| ma)= 3+13,所以 |PQ| ma>=4W 3 .依題意，設(shè)直線I i：y=kx+m.消去 y 整理得(3+4k )x +8mkx+4rm12=0.因為直線與橢圓交于不同的兩點 所以 =64mk2-4(3+4k 2)(4

17、m2-12)>0,整理得 m<4k2+3.設(shè) A(xi,yi),B(x 2,y 2),Bmk 477/-12貝 y X1+X2=- ,x 1X2=r .3 + 4，3 + 4 好設(shè)點E的坐標為(x o,y 0),4TTlfe則X0=-齊克47713m所以 y0=kx0+m= +m=孑,3 nt所以點E的坐標為I一卄4泌“齊正刃.2 4771；所以直線l2的斜率為k、衛(wèi)口G穌妒.芬活Sm一-又直線l 1和直線|2垂直，則-罷血- k=-1,所以3 + 4fe 將 m=-代入式，可得(譽/ <4k2+3.解得k>或10k<-.1013所以直線li的斜率的取值范圍為1.

18、(2020 南昌模擬)已知橢圓C:訴+ 臣=1(a>b>0)的離心率為丁,短軸長為2.-£(1)求橢圓C的標準方程.a設(shè)直線I :y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點，0為坐標原點，若koM-辰書，求原點0到直線I的距離的取值范圍.【解析】（1）由題知e,2b=2,a 2又 a2=b2+c2,所以 b=1,a=2.所以橢圓C的標準方程為 +y2=1.4 設(shè) M(xi,y i),N(x 2,y 2),y - kx + TO,l+y? = 1,得(4k 2+1)x 2+8kmx+4n2-4=0,222依題意, =(8km) -4(4k +1)(4m -4)>0,化簡得m&

19、lt;4k2+i，SkmXi+x2=-,x 1X2= r ,比宀T4爐+12 2yiy2=(kx i+m)(kx 2+m)=k xiX2+km(xi+X2)+m .若 koM- ko=,貝yh,4主1圍2； 4即 4yiy2=5xiX2,所以(4k2-5)x iX2+4km(xi+X2)+4m2=0,4fc + i所以(4k2-5).忖24km(一 聲)+4m=0,2 2即(4k -5)(m -1)-8k2222八八m+m(4k +1)=0,5化簡得nf+k2h,6由得0W15vk2w7.4I ni因為原點O到直線I的距離d= 吞豆,所以02二=遼=-1 + 又<k2,所以 0w d222047所以原點0到直線I的距離的取值范圍是2.已知橢圓cW+咯(a>b>0)的離心率是邏,且橢圓經(jīng)過點(0,1).(1)求橢圓C的標準方程. 若直線 li：x+2y-2=0 與圓 D:x+y-6x-4y+m=0 相切.(i )求圓D的標準方程.(ii)若直線l 2過定點(3,0),與橢圓C交于不同的兩點E,F,與圓D交于不同的兩點M,N,求 |EF|