因式分解地常用方法(目前最牛最全地教案設(shè)計)

1、實用標準文檔因式分解的常方法多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進一步的介紹用方法一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如

2、：（ 1） (a+b)(a-b) = a2-b 2 -a2-b 2 =(a+b)(a-b) ；(2) (a± b) 2 = a2± 2ab+b2 a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3) (a+b)(a2-ab+b 2 ) =a 3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b 2) ；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b 3 -a3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再補充兩個常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；333222；(6)a +b +c -3abc=(a+b+

3、c)(a+b +c -ab-bc-ca)例 . 已知 a，b，c 是ABC 的三邊，且 a2b2c2ab bc ca ，則ABC 的形狀是（）A. 直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解： a2b2c2abbcca2a22b22c22ab 2bc 2ca(a b)2(b c)2(c a)20a b c三、分組分解法 .（一）分組后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有 a，后兩項都含有 b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮

4、兩組之間的聯(lián)系。解：原式 =( aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每組之間還有公因式！文案大全實用標準文檔=( mn)( ab)例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。解：原式 = (2ax10ay)(5bybx)原式 = (2axbx)( 10ay5by)=2a( x5 y)b( x5 y)=x(2ab)5 y(2ab)=( x5y)( 2ab)=(2ab)( x5 y)練習(xí)：分解因式1、 a 2abacbc2、 xyxy1（二）分組后能直接運用公式例 3、分解因式：x 2y 2axa

5、y分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式 =( x 2y2 )(axay)=( xy)( xy)a(xy)=( xy)( xya)例 4、分解因式： a 22abb2c2解：原式 =( a22abb2 )c2=( ab) 2c2=( abc)(abc)練習(xí)：分解因式3、 x 2x9 y 23y4 、 x 2y2z22yz綜合練習(xí)：（ 1） x 3x 2 yxy 2y3（ 2） ax 2bx 2bxaxab（ 3） x26xy9 y 216a 28a1（ 4） a 26ab12b9b24a（ 5） a42a 3a29（

6、 6） 4a2 x 4a2 y b2 x b 2 y（ 7） x22xyxzyzy2（ 8） a 22ab 22b2ab1（ 9） y( y2)( m1)(m1)（10） ( ac)(ac)b(b2a)（ 11） a2 (b c)b2 (ac)c 2 (ab)2abc （ 12） a 3b3c 33abc四、十字相乘法 .（一）二次項系數(shù)為1 的二次三項式直接利用公式x 2( pq) xpq( xp)( x q) 進行分解。文案大全實用標準文檔特點：（ 1）二次項系數(shù)是1；（ 2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（ 3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例 . 已知 0 a

7、5，且 a 為整數(shù)，若 2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合條件的 a .解析：凡是能十字相乘的二次三項式 ax2 +bx+c，都要求b2 4ac >0 而且是一個完全平方數(shù)。于是9 8a 為完全平方數(shù)， a1例 5、分解因式： x 25x6分析：將6 分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于 6=2× 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2× 3 的分解適合，即 2+3=5。12解： x25x6= x 2(2 3)x 2 313=( x2)( x 3)1× 2+1

8、5; 3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例 6、分解因式： x 27x6解：原式 = x 2( 1)(6) x(1)(6)1-1=( x1)( x6)1-6（-1 ）+（-6 ）= -7練習(xí) 5、分解因式 (1)x214x24(2)a 215a36 (3)x 24x5練習(xí) 6、分解因式 (1)x2x2(2)y22 y15(3)x 210 x24（二）二次項系數(shù)不為1 的二次三項式 ax2bx c條件：（ 1） a a1 a2a1c1（ 2） c c1c2a2c2文案大全實用標準文檔（ 3） b a1 c2a2 c1b a1c2 a

9、2 c1分解結(jié)果： ax 2bxc = (a1 xc1 )(a2 x c2 )例 7、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1 -23-5（-6 ） +（-5 ） = -11解：3 21110= ( x2)(3x5)xx練習(xí) 7、分解因式：（ 1） 5x 27 x6（ 2）3x 27x 2（3） 10x217 x3（ 4）6y 211y 10（三）二次項系數(shù)為1 的齊次多項式例 8、分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：將 b 看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a 的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a28ab128b 2 = a 28b

10、(16b) a8b(16b)=(a8b)(a 16b)練習(xí) 8、分解因式 (1)x23xy2 y 2(2)m 26mn8n2(3)a 2ab 6b 2（四）二次項系數(shù)不為1 的齊次多項式例 9、 2x 27xy6 y2例 10、 x2 y 23xy21-2y把 xy 看作一個整體 1-12-3y1 -2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)(2x3 y)解：原式 = (xy1)( xy2)練習(xí) 9、分解因式：（ 1） 15x27xy 4 y 2（ 2） a 2 x26ax8綜合練習(xí) 10、（ 1） 8x 67x 31（ 2） 12x 211xy

11、15 y 2（ 3） ( x y)23(x y) 10（ 4） (a b) 24a 4b 3（ 5） x2 y 25x2 y 6x 2（6） m24mn 4n 23m6n 2文案大全實用標準文檔（ 7） x24xy4 y 22x4 y3 （ 8） 5( a b)223(a2b 2 ) 10(ab) 2（ 9） 4x 24xy6x3yy 210 （ 10） 12( xy) 211( x2y 2 ) 2(xy)2思考：分解因式：abcx 2( a 2b2c2 )x abc五、換元法。例 13、分解因式（1） 2005 x2( 200521)x2005（ 2） (x 1)(x2)( x3)( x6)

12、x2解：（ 1）設(shè) 2005= a ，則原式 =ax 2(a 21) xa=( ax1)( xa)=( 2005x 1)( x2005)（ 2）型如 abcde的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式 = ( x27x 6)( x25x 6) x2設(shè) x25x6 A ，則 x 27 x 6 A 2x原式 =(A2x) A x2= A22Axx2=( A x) 2 = ( x26x 6) 2練習(xí) 13、分解因式（ 1） ( x2xyy 2 ) 24xy( x 2y2 )（ 2） ( x 23x2)(4 x28x3) 90（ 3） ( a21)2( a25)24(a 23) 2例 14

13、、分解因式（1） 2x 4x 36x2x2觀察：此多項式的特點是關(guān)于x 的降冪排列， 每一項的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成 “軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式 = x2 (2x 2x611) = x2 2(x 21 ) ( x1 )6xx 2x2x設(shè) x1t ，則 x21t 222x2x 222原式 =x22)t6= x2tt10（ t=x225t2= x22x25x1tx2x=x·2x25 ·x·x12= 2x 25x 2 x22x 1xx=( x 1) 2 ( 2x 1)( x2)文案大全

14、實用標準文檔（ 2） x44x3x24x12(x24x141= x2x214 x1解：原式 = xx2 )x21xx設(shè) x1y ，則 x21y 22xx2原式 = x2 ( y24 y3) = x2 ( y1)( y3)=x2 (x11)( x13) = x 2x 1 x 23x 1xx練習(xí) 14、（1） 6 x47x 336 x27x6（ 2） x42 x3x21 2(x x 2 )六、添項、拆項、配方法。例 15、分解因式（1） x33x24解法 1拆項。解法 2添項。原式 = x31 3x23原式 = x 33x 24x 4x 4= ( x1)( x 2x 1)3( x1)( x1)=x

15、( x 23x4) ( 4x 4)= ( x 1)( x 2x 1 3x3)=x( x 1)( x 4) 4( x 1)= ( x 1)( x24x 4)=( x 1)( x24x 4)= ( x 1)( x 2) 2=( x 1)( x 2) 2（ 2） x9x6x33解：原式 =( x91) ( x61) (x31)=( x31)( x6x31) (x 31)( x31) ( x31)=( x31)( x6x 31x31 1)= ( x1)( x 2x1)( x 62x33)練習(xí) 15、分解因式（ 1） x39 x8（2） (x 1) 4( x21) 2(x 1) 4（ 3）x47x21（

16、 ）x4x22ax1a24（ 5） x4y 4( xy) 4（ 6） 2a 2 b22a 2 c22b 2 c2a 4b4c4七、待定系數(shù)法。例 16、分解因式 x 2xy6 y 2x 13 y 6分析：原式的前3 項 x 2xy6 y 2 可以分為 ( x 3y)( x2y) ，則原多項式必定可分為(x 3 y m)( x2yn)文案大全實用標準文檔解：設(shè) x 2xy6 y 2x13 y6 =( x3ym)( x2 yn) ( x3 ym)( x 2 yn) = x2xy6y 2(mn) x (3n 2m) y mn x 2xy6 y 2x13 y6 = x2xy6 y 2(mn)x(3n

17、2m) y mnmn1m2對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得3n 2m13 ，解得n3mn6原式 = (x 3 y 2)( x 2 y 3)例 17、（ 1）當 m 為何值時，多項式x2y 2mx5y6 能分解因式，并分解此多項式。（ 2）如果 x 3 ax 2bx8 有兩個因式為 x1 和 x2 ，求 a b 的值。（ 1 ） 分 析 ： 前 兩 項 可 以 分 解 為 (xy)( x y) ， 故 此 多 項 式 分 解 的 形 式 必 為( xya)( xyb)解：設(shè) x2y 2mx5y6 = ( xya)( xyb)則 x2y 2mx5y6 = x 2y2( a b) x (b a) y a

18、babma2a2比較對應(yīng)的系數(shù)可得：ba5 ，解得：b 3 或 b3ab6m1m1當 m1 時，原多項式可以分解；當m 1時，原式 =( xy2)( xy3)；當 m1時，原式 = ( xy2)( xy 3)（ 2）分析： x3 ax 2 bx 8 是一個三次式，所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如 x c 的一次二項式。解：設(shè) x3ax 2bx8 =( x1)( x 2)(x c)則 x3ax 2bx8 = x3 (3 c) x2(2 3c)x 2ca3ca7 b23c解得 b14 ，2c8c4 a b =21練習(xí) 17、（1）分解因式 x23xy10 y2x9 y2（ 2）

19、分解因式 x 23xy2y 25x7 y6（ 3） 已知： x 22xy 3 y 26 x 14 yp 能分解成兩個一次因式之積，求常數(shù) p并且分解因式。（ 4） k 為何值時， x22xyky 23x5 y 2 能分解成兩個一次因式的乘積，文案大全實用標準文檔并分解此多項式。第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一：一、填空題1. 把一個多項式化成幾個整式的 _的形式，叫做把這個多項式分解因式。2 分解因式： m3-4m=.3. 分解因式： x 2-4y 2= _.4、分解因式：x24x4 =_ _。n2+y 2)(x+y)(x-y)，則 n 的值為.5. 將 x -y n 分解因式的結(jié)果為 (x6、若 x

20、y5, xy6 ，則 x2 y xy2=_， 2x22 y2=_。二、選擇題7、多項式 15m3 n25m2n20m2 n3的公因式是 ()A、 5mnB、 5m2n2C 、 5m2nD、 5mn28、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是()A、 a 3 a 3 a29B 、 a2b2a b a b24a5 a a45m22m3m m 23C、aD、m10. 下列多項式能分解因式的是（）(A)x 2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4211把（ x y） （ y x）分解因式為（）A（ x y）（ x y 1）C（ y x）（ y x 1）B （ y x）（ x y

21、1）D （ y x）（ y x 1）12下列各個分解因式中正確的是（）A 10ab 2c6ac2 2ac 2ac（ 5b23c）B（ a b）2（ b a） 2（ a b） 2（ a b 1）C x（ b c a） y（ a b c） ab c（ b c a）（ x y1）2D（ a 2b）（ 3a b） 5（ 2ba） （ a 2b）（ 11b 2a）文案大全實用標準文檔13.若 k-12xy+9x 2 是一個完全平方式，那么k 應(yīng)為（）A.2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：14、 nxny15、 4m29n 216、 m mnn nm17、 a32a2 bab 218、

22、x222416x19、 9( m n) 216(m n) 2；五、解答題20、如圖，在一塊邊長a =6.67cm 的正方形紙片中，挖去一個邊長b =3.33cm 的正方形。求紙片剩余部分的面積。21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑d45cm ，外徑D 75cm，長 l 3m 。利用分解因式計算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？ (取 3.14 ，結(jié)果保留2 位有效數(shù)字 )l文案大全D d實用標準文檔22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第(5) 個等式。(1) x21x1x 1(2)x41x21x1x1(3) x81x41x21x1x1(4)x161x81

23、x41x21x 1 x1(5)_經(jīng)典二：因式分解小結(jié)知識總結(jié)歸納因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識時，應(yīng)注意以下幾點。1. 因式分解的對象是多項式；2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式；文案大全實用標準文檔6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；7. 因式分解的一般步驟是：（ 1）通常采用一“提” 、二“公” 、三“分”、

24、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；（ 2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項（添項）等方法；下面我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。1. 通過基本思路達到分解多項式的目的例 1. 分解因式 x5x 4 x3x 2x1分析：這是一個六項式， 很顯然要先進行分組，此題可把 x 5x4 x 3和 x 2x 1分別看成一組， 此時六項式變成二項式，提取公因式后， 再進一步分解； 也可把 x 5x 4 ，x 3x 2 ， x 1分別看成一組，此

25、時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。解一：原式 (x 5x4x 3 )(x 2x)1x 3 (x 2x1)(x 2x1)(x 31)( x 2x1)(x1)( x 2x1)( x 2x1)解二：原式 =( x 5x 4 )( x3x 2 )(x)1x 4 ( x1)x 2 (x1)(x1)(x1)( x 4x1)(x1)( x42 x21)x 2 (x1)( x 2x1)( x2x1)2. 通過變形達到分解的目的例 1.分解因式 x 33x 24解一：將 32拆成2x2x2，則有x文案大全實用標準文檔原式x32x2( x24)x2 (x 2 ) ( x 2)( x 2)( x2)(

26、x 2x2)( x1)( x2) 2解二：將常數(shù)4 拆成13 ，則有原式x31(3x 23)( x1)( x 2x1)( x 1)( 3x 3)( x1)( x 24x4)( x1)( x2) 23. 在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項式( x24)( x 210x21)100 的值一定是非負數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明： (x 24)( x 210x)10021( x2)( x 2)( x3)( x7)100( x2)( x 7)( x2 )(x3)100( x25x14)( x 25x6)100設(shè) yx

27、25x ，則原式( y14)( y6)100y28 y16 ( y4) 2無論 y取何值都有(y4) 20( x24)(x 210x21)100的值一定是非負數(shù)4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式： ( a 2 bc) 3( ab) 3( b c) 3分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b， b+c 與 a+2b+c 的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解：設(shè) a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B文案大全實用標準文檔原式 (AB) 3A 3B 3A 33A2B3AB 2B 3A 3B 33A 2B3AB 23AB(A B)3(ab )(bc)( a2 bc)說明：在分解因式

28、時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要的。中考點撥例1.在ABC 中，三邊 a,b,c滿足 a216b 2c2ab10bc06求證： ac2b證明：a216b 2c2ab10bc06a26ab 9 b 2c210bc25b 20即 (a3b) 2(c 5b) 20(a 8bc)( a2bc)0abca8bc，即 a8bc0于是有 a2 bc0即 a c 2b說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。例 2. 已知： x12，則 x 31_xx 3解： x 3 1( x1 )( x 211)x 3xx( x11221)( x)xx212說明：利用 x21(x122

29、等式化繁為易。x 2)x文案大全實用標準文檔題型展示1. 若 x 為任意整數(shù)，求證：(7x)( 3x)( 4 x2 ) 的值不大于 100。解： (7x)(3x)(4x2 )100( x7)( x2 )( x 3)( x2)100( x25x14)( x 25x6)100( x25x)8( x 25x)16( x25x4) 20( 7 x)( 3x)( 4x 2 ) 100說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。 一個多項式的值不大于 100，即要求它們的差小于零， 把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。2. 將 a2(a1)2(a2a2分解因式，并用分解結(jié)果計算62

30、72422。)解： a 2(a1) 2(a2a) 2a 2a22a1 (a 2a) 22(a 2a)1( a2a) 2( a2a1) 2627 2422(366124321849)說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計算。實戰(zhàn)模擬1. 分解因式：（ ）3x510x48x33x210x81（ 2） (a23a3)( a23a1) 5文案大全實用標準文檔（ ）x22 xy3y23x 5y 23（ 4） x 37 x62.已知： xy6， xy1，求： x 3y3 的值。3.矩形的周長是28cm，兩邊 x,y 使 x 3x 2 yxy 2y 30 ，求矩形的面積。4.求證： n 35n 是 6 的倍數(shù)。（

31、其中 n 為整數(shù)）5. 已知： a、 b、 c 是非零實數(shù)，且 a2b2c2a1111111， (c) b() c(a)3 ，bcab求 a+b+c 的值。6.已知： a、 b、c 為三角形的三邊，比較a 2b 2c2 和 4a2 b 2 的大小。文案大全實用標準文檔經(jīng)典三：因式分解練習(xí)題精選一、填空：（ 30 分）1、若 x22(m3) x16 是完全平方式，則m 的值等于 _。2、 x2xm( xn) 2 則 m =_ n =_3、 2x3 y2 與 12x6 y 的公因式是4、若 xmyn = (xy 2 )( xy 2 )( x2y 4 ) ，則 m=_， n=_。5、在多項式3 y2

32、 5 y3 15y5 中，可以用平方差公式分解因式的有 _ ，其結(jié)果是 _ 。6、若 x22(m3) x16 是完全平方式，則m=_。7、 x2(_) x2( x2)( x_)8、已知 1xx 2x 2004x 20050, 則 x2006_ .9、若 16(ab) 2M25 是完全平方式M=_。10、 x26x_( x3) 2 ，x 2_9(x3)211、若 9x 2ky2 是完全平方式，則k=_ 。12、若 x 24x4 的值為 0，則 3x212 x5 的值是 _。文案大全實用標準文檔13、若x2ax15(x1)(x15)則 a。=_14、若 xy4, x2y 26 則 xy_。15、方

33、程 x 24x0 ，的解是 _。二、選擇題：（ 10 分）1、多項式a(ax)( xb)ab(ax)(bx) 的公因式是（）A、 a、 B 、a(ax)( xb) C 、 a(ax)D 、a( xa)2、若 mx2kx9(2x3) 2 ，則 m， k 的值分別是（）A、 m= 2， k=6， B、m=2，k=12， C、 m= 4， k= 12、 D m=4， k=12、3、下列名式：x2 y 2 , x 2 y 2 , x2 y 2 , ( x)2 ( y) 2 , x4 y 4 中能用平方差公式分解因式的有（）A、 1 個， B、2 個， C、3 個， D、4 個4、計算(111112 ) 的值是（22 )(133 )(12 )(110）9A 、 1B 、 1 ,C. 1 ,D.112201020三、分解因式： （ 30 分）1 、 x42x335x 22 、3x63x23 、25( x2 y) 24( 2 yx) 24、 x24xy14 y 2文案大全實用標準文檔5、 x5x6、 x317、 ax 2bx8、 x418x22bxaxba81