配方法的拓展與解析

1、配方法的拓展與解析2-1 -配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形（配成 完全平方”）的技巧，通過配方找到已知裂項”與添和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運用湊配法”。項”、配”與 湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。配方法的配方依據(jù)是二項完全平方公式（a+ b）2 = a2 + 2ab+ b2,將這個公式靈活運用， 可得到各種基本配方形式，如:a2 + b2 = (a+ b)2 2ab= (a b)2 + 2ab;2 2 2 2a +ab+ b = (a + b) ab= (a b) + 3ab。配方法在數(shù)學(xué)的

2、教與學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。在初中階段它主要適用于：一元二次方程、 二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解。經(jīng)過幾年的教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)：很多情況下用配方法解一 元二次方程或者求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)要比用公式法簡單實用。在應(yīng)用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0 ）時有兩種做法:一種是先移走常數(shù)項，然后方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，把二次項系數(shù)化為1,再 兩邊同時加上一次項系數(shù) （除以二次項系數(shù)后的） 一半的平方，把原方程化成（X+ m）2 = n（n> 0）的形式，再兩邊同時開方，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元次方程。典型例題：2x2+6x 3=0解法1:移項得：2x2+6x=3兩邊同時除以2得:3兩邊

3、同時加（）2得:2所以：（x+32亠 3X + 3x = 2x2 +3x +(3)222）2 154開方得：X解得：x1-3+V152 ，X2另一種方法是先移走常數(shù)項，然后通過湊”與配”進行配方。解法2:移項得：2x2+6x=3原方程變?yōu)椋?運X)2 +2 .©x 空+(空)2 = 3 + (3)22 2 2即原方程化為：（J2x +迅2）2 = 3024兩邊同時開方得：妊+琴魯或如普一浮解得：xi=4Ix2=412 2與用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函數(shù) y = ax2 + bx + C的頂點坐標(biāo)時，要把二次項和一次項看作一個整體，提出（而不是除以）二次項的系數(shù)，

4、再進行配 方，但配方時與解一元二次方程的配方有所不同。典型例題2 :用配方法求y=2x2+6x-3的頂點坐標(biāo)解: y=2x2 +6x-3= 2(x2 +3x) -323 23 2 1=牛 +3x+(?) -(2)3 29= 2(x + -)2 -322= 2(x+3 )222如上例，用配方法求二次函數(shù)頂點坐標(biāo)時，不是等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，而是在中括號里加上一次項系數(shù)一半的平方，但為了保持原有的二次函數(shù)不變，必須在中括號里再減去一次項系數(shù)一半的平方。這是學(xué)生在以后學(xué)習(xí)用配方法求二次函數(shù)頂點坐標(biāo) 時經(jīng)常與用配方法解一元二次方程相混淆的地方，也是學(xué)生經(jīng)常出錯的地方。另外配方法在二次代

5、數(shù)式的討論與求解中應(yīng)用也非常廣泛。典型例題3:用配方法證明：無論x為何實數(shù)，代數(shù)式 x2 -4x+4.5的值恒大于零。與用配方法求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)類似，此題也是把二次項和一次項看作一個整體，并 對其進行配方。解法如下x? 一4x +4.5= (x2 -4x+22 -22)+4.5=(X -2)2 +0.5 >0.5 >0無論X為何實數(shù)，代數(shù)式 X2 -4X+4.5的值恒大于零。2 2 2 2典型例題4 :若x y -20xy+ x + y + 81 = 0，求x, y的值。此題可以運用 裂項”與 湊”的技巧，把-20xy裂成18xy與2xy的和，來完成配方, 并根據(jù)完全平方式為非

6、負數(shù)的性質(zhì)把二元二次方程化為二元一次方程組。其解法如下:- x2y2 -20xy+X2 +y2 +81=0.- (x2y2 -18xy +81) + (x2 -2xy + y2) = 0即(xy -9)2 +(x -y)2 = 0 xy 9 = 0 , X y = 0典型例題5: (2005卡西歐杯全國初中數(shù)學(xué)競賽)若M=3x2 8xy+9y2 4x+6y+13(x,y-3 -是實數(shù))，則M的值一定是A正數(shù)B負數(shù) C零D整數(shù)精析：先將元多項式轉(zhuǎn)化成幾個完全平方式的和的形式,然后就其結(jié)構(gòu)特征進行合理的分析、推理，可達到目的。解：因為 M=3x2 8xy+9y2 4x+6y+13=2 (x 2y)

7、 2+(X 2)2 2+ (y+3)0并且 2 (X 故選A。2y) 2, (x 2) 2, (y+3) 2這三個式子不能同時為0,所以典型例題6 化簡二次根式 J19 - 8 J3 + J19 + 8 J3精析：復(fù)合二次根式的化簡是競賽中比較常見的問題，化簡的關(guān)鍵是將被開方數(shù)化成完 全平方的形式，要用到配方的思想。解： , _=V (16 -$ =16 -= 4 -同理可得419+83 = 4+所以，原式=8典型例題7已知三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc,請你判斷這個三角形的2 2 2a +b +c =ab+ac+bc形狀。精析：確定三角形的形狀，主要是討論三條邊之間的關(guān)系。代數(shù)式 之中蘊含了完全平方式，我們要重新拆項，組合如下：2222a2+2b2+2c2=2a