解三角形的必備知識(shí)和典型例題及詳解

1、解三角形的必備知識(shí)和典型例題、知識(shí)必備：1 直角三角形中各元素間的關(guān)系:在厶 ABC中，C= 90°, A吐 c, AC= b, BC= a。(1) 三邊之間的關(guān)系：a2+ b2= c2。(勾股定理)(2) 銳角之間的關(guān)系：A+ B= 90°(3) 邊角之間的關(guān)系：(銳角三角函數(shù)定義)sin A= cosB= , cosA= sin B= b , tan A= 。ccb2 斜三角形中各元素間的關(guān)系：在厶ABC中, A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。(1) 三角形內(nèi)角和：A+ B+ C= n。(2) 正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等

2、a _ bsin A sin BcsinC=2R (R為外接圓半徑)(3) 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的 余弦的積的兩倍a2= b2+ c2 2bccosA；b2= c2 + a2 2cacosB；c2= a2+ b2 2abcosC。3 三角形的面積公式：(1) S = - aha = -bhb=丄chc (ha、h、h分別表示 a、b、c 上的高)；2 2 2111(2) S = 一 absin C= 一 bcsin A= acsin B；2224解三角形：由三角形的六個(gè)元素(即三條邊和三個(gè)內(nèi)角)中的三個(gè)元素(其中至少有 一個(gè)是邊)求其他未知元素

3、的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角 形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類型：(1) 兩類正弦定理解三角形的問題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.第2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.(2) 兩類余弦定理解三角形的問題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。(1) 角的變換因?yàn)樵?ABC中,A+B+Cn ,所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= ta

4、nC。.AB C A B . Csincos ,cossin2 2 2 2(2) 判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式6 求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1) 分析：分析題意，弄清已知和所求；(2) 建模：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，寫出已知與所求，并畫出示意圖；(3) 求解：正確運(yùn)用正、余弦定理求解；(4) 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求是否符合實(shí)際意義。二、典例解析題型1:正、余弦定理例1. (1)在 ABC中，已知A=450，B=600，a =25解三角形；(2)在 ABC 中，已知 a=20cm, b=28cm, A = 30°，解三角形題型2:三角形面積

5、例 2 .在 ABC 中，sin A cosA -，AC = 2，AB = 3，求 tan A 的值和厶ABC 的面積。 2題型3:三角形中的三角恒等變換問題例3.在 ABC中, a、b、c分別是/ A、/ B、/ C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2 c2=ac be,求/ A的大小及bsin B廠的值題型4:正、余弦定理判斷三角形形狀例4 .在 ABC中，若2cosBsin A= $鬥6則厶ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形題型5:三角形中求值問題例5. ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，求當(dāng)A為何值時(shí)，cosA 2cos取得最大值，

6、并求2出這個(gè)最大值。題型6:正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例6.如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。 測(cè)量船于水面a處測(cè)得b點(diǎn)和d點(diǎn)的仰角分別為75°，300，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和 D點(diǎn)的仰角均為600，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等， 然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km,2 ”1.414, I 6 : 2.449）、跟蹤訓(xùn)練1. 若厶ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sin A: sin B : sin C = 5:11:13,貝仏ABC(A) 定是銳角三角形(C) 一定是鈍角三角形(B) 定是直角三角形.(D)可

7、能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形2. 在厶 ABC中，內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別是 a,b,c，若 a2-b23bc, si nC=2、3sin B，則 A=()（A）300（ B）600（ C）1200（ D）15003. （2010 湖北理數(shù)）3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60。，則 cosB =A 2、2 b 2 2 C 6 D _633334. 已知 a,b,c 分別是 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊，若 a=1,b=、.3, A+C=2B,則sinC= .5. 在銳角 ABC中，BC = 1,B = 2A,則的值等于， AC的取值范圍為cosA6. 在 AB

8、C中，內(nèi)角A B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、C，已知a2-c2=2b且sin AcosC 二 3cos AsinC,求 b7在 ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tan-tanC. 3tandanP的值2 2 2 28.在ABC 中, A B為銳角，角AB、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且n a | b 丄50(I)求A B的值；(ll )若a - b =柩-1，求a、b c的值9. 在厶ABC中，已知B=45° ,D是BC邊上的一點(diǎn), AD=10,AC=14,DC=,求 AB的長(zhǎng).10. 在厶ABC中，a、b、C分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,且 2a sin A = (2b c)sin B (2c b)sin C(I)求A的大小；(U)若si