球桿系統(tǒng)實驗指導書(1)

1、球桿系統(tǒng)GBB1004實驗指導書V2.03一、系統(tǒng)建模1.球桿系統(tǒng)的機械模型：球桿系統(tǒng)機械結構原理圖如圖1-1:圖1-1球桿系統(tǒng)機械結構 連線（連桿和同步帶輪的連接點與齒輪中心的連線）和水平線的夾角為 0（0的角度存在一定的限制，在最小和最大的范圍之間），它作為連桿的輸入，橫桿的 傾斜角a和0之間的有如下的數(shù)學關系：角度0和電機軸之間存在一個減速比n=4的同步帶，控制器設計的任務是通過 調 整齒輪的角度0,使得小球在某一位置平衡。小球在橫桿上滾動的加速度如下式：J）,-+ m r 亠fg sin G $腫（由）'二 0I疋丿其中：小球在橫桿上的位置r為輸出小球的質量m = 0.11公斤

2、；小球的半徑R = 0.015米； 重力加速度g = -9.8米/秒2;橫桿長L = 0.4米；連桿和齒輪的連接點與齒輪中心的距離為d = 0.04米；小球的轉動慣量J = 2*m*RA2/5牛頓.秒2。我們假設小球在橫桿 上的運動為滾動，且摩擦力可以忽略不計。a在0附近，因此我們可以在0附近對其進行線性化，得因為我們期望角度到近似的線性方程：拉氏變換得：腭-嘩-a =(J、(J、十ML,r十川nJemgd ? 1 = 07 I2 =2L(右 + m) S S1.2在Simulink中建立球桿系統(tǒng)的模型系統(tǒng)方程包含r, d/dt(r), alp ha, and首先，我們要描述系統(tǒng)我們將直接建模

3、運動學的非線性方程， d/dt(alpha)，我們將使用非線性函數(shù)模塊來描述這些函數(shù)， 的輸出r。?在Simulink中打開一個新的模型。?從線性模塊庫中插入一個積分模塊。?在上面的積分模塊右邊再添加一個積分模塊，并把兩個模塊連接起來。?在連接線上加上"d/dt(r)"的注釋，在連接線的附近雙擊就可以添加文字。?從第二個積分模塊的輸出端畫一條線，并標識為"r"?從Connections模塊庫中插入一個Out模塊并和"r"信號線連接。這就是系統(tǒng) 的輸出。?更改"Out"的標識為"r"。 lx11s

4、客7*0圖1-2積分模塊的函數(shù)，輸出現(xiàn)在，我們插入一個包含向量r d/dt(r) al pha d/dt (alp ha)為 d/dt(r)。?模塊庫中插入一個Fen模塊，并把它的輸出和第一個積分模塊的輸入相連。 ?雙擊Fen模塊，修改函數(shù)如下：(-1/ (J/(RA2) +m)*(m*g*sin (u 3)-m*u 1*(u 4)八2)此函數(shù)模塊的輸入為向量u，每個元素被指定u1,u2等，我們設定，u1=r, u2=d/d(r), u3=al pha, 4=d/dt (alp ha).圖 1-3 MODEL FUCITION?關閉對話框，改變 Fen模塊的名稱為"Ball-Beam

5、 Lagrangian Model"。Sb 已 II£il& Edit innUation Format燉411d/d啊£>DalIntegufor圖1-4 ADD MODEL TO THE SYSTE現(xiàn)在，我們將構造函數(shù)的輸入向量u,它可以通過積分器的輸出信號以及使用 一個Mux模塊實現(xiàn)。?模塊庫中插入一個Mux模塊，并把其輸出和Ball-Beam的輸入相連。?雙擊Mux模塊，改變輸入的個數(shù)為4，這樣，Mux模塊就有了 4個輸入。?將Mux模塊的第二個輸入和d/dt(r)信號相連(移動鼠標時按住Ctrl鍵即可 繪制分岔線)。?將Mux模塊的第一個輸

6、入和r信號相連。£il& Idit Simula tier* Form述Mux sd 哋 0 am Integrator Lmprdng 估幣ivlodel3-5添加乘積模塊現(xiàn)在我們通過theta信號構造alpha和d/dtpha） 信號。?在窗口的左邊插入一個模塊，改變名稱為"theta"。?插入一個Gain模塊并和theta模塊相連，改變名稱為"d/L"。?將Gain模塊的輸出和Mux模塊的第三個輸入相連，標注為"alpha".?從Lin ear模塊庫中插入一個Derivative 模塊，并置于alpha信號線的

7、下面。?將Derivative 模塊的輸入和Gain模塊的輸出相連。Mux模塊的第四個輸入相連。?將Derivative 模塊的輸出和圖 1-6 ADD THETA SIGNS TO THE SYSTE 保存模型為"ball.mdl",運行開環(huán)仿真可以得到系統(tǒng)的開環(huán)響應，下一步我們把它封裝為一個子模塊。?創(chuàng)建一個新的模型窗口（從 Simulink的File菜單選擇New或是按下Ctrl- N）o?從” Connections ”模塊庫中插入一個“ Subsystem”模塊。?雙擊” Subsystem"模塊打開，可以看到一個新的模塊窗口，標題 為” Subsyst

8、em”。?打開前面的ball.mdl窗口，選擇所有的模塊和連線。?復制所有的模塊和連線到粘貼緩沖區(qū)中。?粘貼到” Subsystem”窗口中。?關閉” Subsystem”窗口，可以看到一個沒有標題的子模塊，該模塊有一個標識為“theta ”的輸入和一個標識為“ r”的輸出。?選擇模塊并拖動角點，改變模塊的大小，使得?改變“ Subsystem” 的模塊名稱為"Ball a nd Beam Model"。邏 unlitledtheta reall andModel圖 1-7 BUILD BALL AND BEAM MODEL?從“Sources”模塊庫中插入一個“ Step

9、”模塊，并將它和“ Ball and Beam 模塊的輸入相連。?雙擊“ Step”模塊，修改“ Step Time ”為0，然后關閉。?從“ Sinks ”模塊中插入一個“ Scope”模塊，并將它和“ Ball and Beam模 塊相連。file Edit imJaticiri Formai圖 1-8 OP EN-LO OP SYSTEM OF BALL AND BE在Ml 到階躍信號響應前，需要先設置系統(tǒng)的物理參數(shù)，在MATLAB勺命令行中輸入：m = 0.11;R = 0.015;g = -9.8;L = 0.4;d = 0.04;J = 2*m*RA2/5; 現(xiàn)在可以開始仿真，點擊

10、“ Simulation ”菜單的“ Start ” 開始仿真，運行完成后，雙擊“ Scope”打開運行結果。12r10-4hI2TiniE cif險氏.0乂10圖 1-9 RES PO NSE OF OP EN-LO OP SYSTEM從上圖中可以看出，開環(huán)系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，小球將滾動到橫桿的一端，這樣，需要對小球的位置添加一些控制方法，在本手冊中，我們將添加一些控制器。在MATLAB中，這個模型可以轉化為相應的狀態(tài)空間模型或是傳遞函數(shù)模型。通過使用“ In”和“Out”模塊以及MATLABS數(shù)linmod。為了轉化一個模型，需要一個含有“ In ”和“Out”模塊作為輸入輸出的 模型

11、文件，就是前面我們已經(jīng)完成了的Ball.mdl ,在這個模型中，一個輸入為theta (齒輪的轉角)，一個輸出為r (小球的位置)。在MATLAB命令行，鍵入：A,B,C,D= linmod ('ball')num,den= ss2tf (A,B,C,D)ste p(nu m,de n);可以得到如下的開環(huán)響應：JLir. "ine (sec)巳Fl豈些Mu. 1圖1-10系統(tǒng)開環(huán)響應1.3電機模型伺服系統(tǒng)的閉環(huán)結構圖如下:恥）厶芒Ea（f 0$十賂）十口爲&圖1-11閉環(huán)系統(tǒng)結構圖設皮帶輪的減速比為n因為La很小，因此簡化可以得到:上式可以簡化如下:GW-&

12、#163;.= 一 =-=厘.其中 B，傳遞函數(shù)包含一個積分項1/S，具有積分的特性，通常 R、Jo和Tm 都很小，伺服電機可以看作為一個積分器。?球桿系統(tǒng)采用電位計檢測小球的位置，電位計安裝在橫桿上，小球位置對應 的電壓信號輸送給IPM100智能驅動的AD轉換器。圖1-12小球的位置信號采集原理1.4控制結構球桿系統(tǒng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)結 構圖如下：IPM10Q球桿乘統(tǒng)I位辻傳憋圖1-13系統(tǒng)控制結構 直流馬達通過一個減速皮帶輪帶動橫桿運動，IPM100智能驅動器內(nèi)部包一個PID控制算法，用于控制電機的位置，PID控制器的參數(shù)已經(jīng)調整，保證電機具有較快的 響應并沒有超調。系統(tǒng)通過以下步驟來實現(xiàn)控制

13、：通過RS232下載控制程序到智能伺服驅動器的板載內(nèi)部寄存器中。電機編碼器的信號和小球的位置信號每隔一定時間反饋給系統(tǒng)，（伺服時 間可設置，默認為5mS板載的DSP對下載的程序進行解碼，然后計算根據(jù)反饋的位置信息和控 制算法計算控制量。計算得到的控制量被放大并通過IPM的電源驅動模塊作用給電機。 這樣，通過控制電機的位置，使得小球在設定的位置保持平衡。i.ii.iii.iv.v.控制系統(tǒng)的流程圖如圖1-14所示：二、實驗2.1數(shù)據(jù)采集和處理我們將通過IPM Motion Studio和MATLA采集小球的位置信號，以及對其進行 數(shù)字濾波器的設計。小球的位置通過電位計的輸出電壓來檢測，它和 IP

14、M100的AD轉換通道AD5相 連，AD5（ 16位）的范圍為0 65535,對應的電壓為0 5V,相應的小球位置為0 400mm通過IPM Motion Studio 采集數(shù)據(jù)IPM Motion Studio是一個專業(yè)的運動控制開發(fā)平臺，適合于IPM100運動控制器,IPM Motio n Studio 的簡單使用請參見附錄 A，更多的詳細資料請參考P091.069.UM.1001. PDF.根據(jù)附錄A的描述，可以得到反饋的電壓信號，為了得到小球的實際位置，可 以參考以下的步驟：i. 聲明一個實型的用戶變量例如：UserVarii. 賦值：UserVar(L)=AD5iii. UserVa

15、r*400 轉化UserVar為小球的實際位置。運行程序，觀察采集得到的數(shù)據(jù)，更多的濾波器設計請參考“ Application DataCollect ion And Filter Desig n” 。P * Ji bl* b>rr« kAK3tu*liF Yot吐tc+j l.Ww VrLU斗-M111圖 2-1 IPM MOTION STUDIO界面MATLAB Simu ink環(huán)境下的數(shù)據(jù)采集在實驗前，請設置MATLA路徑為球桿系統(tǒng)文件所在的路徑，例如:“C:ball&beam ”1ATLAB珀“ Eiit Vi few WpbHelp G?2- L ?¥

16、;? Current Directory: cvia-C： 'ifflitl 4b6p5ts41bftKC0fteftlT*etVEsllB«inAll FilesFlit TypitLeME店 Ei"14刪遊.mm-file14蚓 AT左.ailm-fiie14迦能PD. Jll14圖2-2 MATLAB路徑MATLA B勺數(shù)據(jù)采集和處理工具箱提供了強大的數(shù)據(jù)采集功能，可以很方便的進 行數(shù)據(jù)采集和處理的工作。請參考以下步驟：i.在 Simulink 中打開” Googol Educational Products ” 工具箱，打開 “ Ball&Beam

17、Control DemoBall&Beam Data Collection And Filter Desig n”演示程序：圖2-3 MATLAB示例圖2-3中各部分的意義如下:“Feedback Voltage ”模塊用于采集IPM100控制器的AD5通道的數(shù)值，“ Real Position ”模塊用于轉化AD5通道的數(shù)值為小球的實際位置（0 400mm, “Noise Filter1 ”為根據(jù)需要而設計的濾波器，點擊“ SCO pe”可以觀測到濾波前后的差異， 可以作為一個在MATLAB Simulink環(huán)境下的濾波器的設計與實時控制的實驗。ii. 運行控制程序，使小球在橫桿上滾

18、動，可以得到如下的實驗結果：0.4a.350.3.15CI.O5 卜冷；:=/ -5"ijJ0,2040.60.0，:薩，球桿系統(tǒng)的開環(huán)模型圖 4-4 EXP ERIMENT RESULT球桿系統(tǒng)是一個典型的單輸入單輸出系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可以近似為一個兩階的 積分器：其中:圖2-5開環(huán)系統(tǒng)為開環(huán)傳遞函數(shù)的拉普拉斯變換。X(S)和0(S)分別為系統(tǒng)輸出(小球的位置)和輸入(齒輪的角度)的拉普拉 斯變換。 開環(huán)系統(tǒng)的階躍響應如圖 2-6所示，可以看出，系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要對其 添加控制器。圖2-6球桿系統(tǒng)的開環(huán)響應假設控制的指標要求如下：?調整時間小于1秒（2%誤差）?超調量

19、小于10%F面將介紹幾種適合于此類問題的控制器設計方法:PID控制根軌跡法頻率響應法雖然IPM100是一個數(shù)字的（離散）智能控制器，為不失一般性，我們還是采用連 續(xù) 的傳遞函數(shù)，相同的設計方法可以很容易的轉化到離散系統(tǒng)中。在MATLAB Simulink環(huán)境的下實例仿真，可以形象地理解系統(tǒng)的特性。2.3球桿系統(tǒng)的PID控制 在這個實驗中，我們將采用PID控制方法設計數(shù)字控制器。PID控制器的傳遞函 數(shù)為：其中，Kp, K和K為PID控制器的比例，積分和微分參數(shù)。2.3.1 P 控希y首先，我們將分析在添加P控制器后，系統(tǒng)的閉環(huán)響應，然后，微分和積分 控制器將在需要時加。理論含有控制器、球桿系統(tǒng)

20、結構和小球位置反饋的系統(tǒng)框圖如下所示：圖2-7閉環(huán)比例控制結構圖其中，Xd(s)為小球目標位置的拉普拉斯變換,P控制器為:GP (s)=K P閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:Jt®G尸叭R也兀 If G卩 F *局可以比較明顯的看出，這是一個二階系統(tǒng)。仿真假設比例增益K = 3,閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以通過以下的MATLAB令進行仿真。m = 0.11;R = 0.015;g = -9.8;L = 0.4;d = 0.04;J = 2*m*RA2/5 ;K = (m*g*d)/(L*(J/RA2+m); %si mp lifies inp utnum = -K;den = 1 0 0;plan

21、t=tf( nu m,de n);kp = 3;sys_cl=feedback (kp*plan t, 1);ste p(0.2*sys_cl)在MATLAB環(huán)境下運行文件。階躍信號的響應如下圖所示:dpnwdLWstep Kponse gf P ControllerQZ5102=1£ 20Tint (mc圖2-8 P控制下的響應可以看出，添加P控制器后，系統(tǒng)并不能穩(wěn)定。改變 定的，可以看出，對于一個慣性系統(tǒng)，在P控制器作用下,Kp的值后，系統(tǒng)還是不穩(wěn)系統(tǒng)會保持一個等幅振蕩。實驗i.按照第二章描述的步驟，在 MATLAB Simuli nk環(huán)境下運行演示程序。piiii ir.AtI

22、D/SI.n trjik c>iiLmiI0毎 U，*nAP當缶富- , -WJ aWWlSUffHIH：rBPL»'tuu nri咖Ge*Wit>s圖2-9 PID控制演示界面ii.將控制器設置為P控制器。圖2-10切換控制器iii.iv.v.設置目標位置為200mm用手指將小球撥動到100mm勺地方。松開小球，系統(tǒng)將對小球的位置進行平衡。vi.改變并觀察其響應，實驗結果如下，比較實驗結果和仿真結果的區(qū)別。（建 議參數(shù)不要設置過大）0.4030020 4D.S OS 11丘 1.41.6 IS £OS2.3.2 PD 控制理論給控制器添加一個微分控制，

23、閉環(huán)系統(tǒng)的結構圖如下:圖2-12 PD控制器閉環(huán)結構PD控制器的傳遞函數(shù)為:GpD（S）= K P + K D s為簡單起見，我們假設固定比例增益 K，調整 的大小。KD.閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:X(S_ 二 Gpd (s)W(s)_ c(K P + K D s)X d (s)1 + G PD (s)W (s)2S + cK D S + cK P仿真將下列程序輸入到MATLAB勺M文件中，運行仿真觀察階躍響應的仿真結果。m = 0.11;R = 0.015;g = -9.8;L = 0.4;d = 0.04;J = 2*m*RA2/5;K = (m*g*d)/(L*(J/RA2+m); %sim

24、 plifies input num = -K;den = 1 0 0;plan t=tf( nu m,de n);kp = 6;kd = 6;con tr=tf(kd kp ,1);sys_cl=feedback(c on tr* pla nt,1); t=0:0.01:5;ste p(0.2*sys_cl)仿真結果如圖2-13所示：可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，但 是超調和穩(wěn)定時間都過大。020110Stei Rs&pon&s of PD ControllerTine (sec)圖 2-13 SIMULATION RESULT OF STEP RESPONSE UND

25、ER PD CONTROLLER實驗i. 按照第二章一一開始使用的內(nèi)容，在 MATLAB Simulink中運行演示程序。ii. 切換控制器為PD控制器，并設置如下的參數(shù)。iii.iv.設置目標位置為200mm移動小球的位置，使其大概在 50mm勺地方。v.松開小球，系統(tǒng)將試圖穩(wěn)定小球的位置。Vi.改變Kp和Kd ,觀察其響應。在PD控制器的作用下，系統(tǒng)可以很快的平衡，但是穩(wěn)態(tài)誤差比較大，分析小球 的位置改變和齒輪轉動角度的變化之間的關系，對比實驗結果和仿真結果的區(qū)別。!1 E.'(1 11: !11Hp1 .:p1- ri- _i1.11ppbj.1P rR1 .

26、dL.! 1,J,r T J c -1 1J'L 1 L 30 JJ_i -:":G -：-! 1 1J1 11Jq/ PLIV.I1 n r 1 r 1J"c 'PLh_ i i1H=jJu=uLrhLi0 02160.811214161.82233 PID控制分析理論下一步的實驗將研究 圖如下：PID控制器的特性，添加PID控制器后，閉環(huán)系統(tǒng)的結構圖2-16 PID控制器閉環(huán)結構圖PID控制器的傳遞函數(shù)為:G PID (S)=K D s2 + K P s + K IKD和K對應于積分和微分控制，KP為比例增益。 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下所示：X(s) =

27、Gpid (s)W (s) =c(K D s2 + K P s + K I )32X d (s) 1 + Gp iD(s)W (s) s +cK D s +cKp s + cK i仿真在MATLAB仿真程序中，設置控制參數(shù)：Q10, K=1, KD =10kp3 = 10; % PID Con trollerkd3 = 10;Ki=1;contrP ID=tf(kd3 kp3 Ki,1 0); sys_cl_PID=feedback(co ntrPID*ball,1);t=0:0.01:10;SUB PLOT(3,1,3)ste p(0.2*sys_cl_PID,t)title('St

28、ep Res ponse of PID Co ntroller')從仿真結果可以看出，增大Kd可以減少超調量，設置Kd=20，系統(tǒng)的階躍信號響 應如圖2-17所示?？梢钥闯?，超調已經(jīng)滿足要求，但是調整時間還需要減少，為減少調整時間, 我們可以稍增大Kpobi&'P' KMponse oi Hiu uoriraier324E9103Time t sec)圖217 PID控制器下的仿真結果253Br4£S7Hrw (sfr-c)圖2-28調整參數(shù)后的PID控制器仿真結果Step Response ©f Pit Controlter3 2 1>

29、;6 D &可以增大微分控制Kd以減少因增大引起的超調，在對參數(shù)進行多次調整，并 觀 察仿真結果，可以得到如圖 2-8所示的階躍響應，Kp= 15，Kd= 4 0。系統(tǒng)的參 數(shù)可 以基本認為是正確的。10實驗PIDi.按照前面的實驗步驟，參考前面的示例進行球桿系統(tǒng)的實驗，選擇 控制器為：Kp =10, K =1, Kd =10,實際的控制效果如下：0401002C.406 OS12141.6 l.e 2圖2-39 PID控制實驗結果1ii.改變控制器參數(shù)，設 & =15, K =0.5, Kd =10,結果如下。0.41Ii1IIii1111103- - £ '

30、; :J ： U.Zy- - - *：.: 1 ：H0.1:-;：- 1 =.-* _ 1 "-IPF1 P J.0.1na11j0.20 4060811.214leIS2圖2-20 PID控制實驗結果2可以看出，明顯的減少了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，基本上滿足了設計要求，對于這個 特定的控制問題，不需要積分控制就可以穩(wěn)定系統(tǒng)，但是，對于一個控制系統(tǒng)，往 往會有很多的控制器設計方法，可以嘗試不同的控制參數(shù)，直到得到滿意的控制效 果。2.4根軌跡控制根軌跡的主要思想就是通過分析系統(tǒng)的開環(huán)零極點位置，來分析 閉環(huán)系統(tǒng)的特性，通過增加極點或零點的方法（校正器），根軌跡以及閉環(huán)系統(tǒng)的響應都將發(fā)生 改變

31、。添加控制器后，一個典型的閉環(huán)系統(tǒng)如下：圖2-21典型的閉環(huán)系統(tǒng)設計要求如下：調整時間少于1s超調少于10%在MATLAB建立一個新的M文件，以便仿真和繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。m = 0.11;R = 0.015;g = -9.8;L = 0.4;d = 0.04;J = 2*m*RA2/5K = (m*g*d)/(L*(J/RA2+m); %si mp lifies inp utnum = -K;den = 1 0 0;plan t=tf( nu m,de n);rlocus( plant)在MATLAB Simulink環(huán)境下運行M文件，可以看出，系統(tǒng)具有兩個極點，其根 軌 跡從原點開始沿虛軸

32、指向無窮。-1-0.8-O.e-0.4-C 200衛(wèi)0.40.G0.8Reel AxisRow Locus 07 uncompenseitKj DaHSBeani Systemos5 陛遵 A町匚-Ebe-”1圖2-22系統(tǒng)根軌跡圖球桿系統(tǒng)的根軌跡校正可以轉化為如下的問題: 對于傳遞函數(shù)為：J'的系統(tǒng)，設計控制器，使得校正后系統(tǒng)的要求如下:調整時間；ts=1s(2 %)最大超調量MpX 10 %根軌跡設計步驟如下：1) 確定閉環(huán)期望極點的位置，由最大超調量陽=百7匚亍廬10%可以得到：Z =0.591155，近似取 Z =0. 6。 由Z二Cos( 0 )可以 得到：0 =0.9383

33、06 (弧度)其中0為位于第二象限的極點和o 點的連線與實軸負方向的夾角。Jk匕J叫rcJA£7圖2-23性能指標與根軌跡關系圖又由:可以得到：3 n =，于是可以得到期望的閉環(huán)極點為：6.76641 ( - Cos0± jSin 0)2) 未校正系統(tǒng)的根軌跡在實軸和虛軸上，不通過閉環(huán)期望極點，因此需要對系統(tǒng)進行超前校正，設控制器為：足(占)匸衛(wèi)孚斗土£_ (口 <1)3) 計算超前校正裝置應提供的相角，已知期望的閉環(huán)主導極點和系統(tǒng)原來的極 點的相角和為：G(Sd ) = 2(- n+ 0) = -4.40657因此校正裝置提供的相角為：© = -

34、n- G(sd ) = -n- 2(- n + 0) = n- 20=1.264894)設計超前校正裝置，已知：0=0. 938306對于最大的a值的丫角度可由下式計算得到：/ =（;r -日一單）=0.469135圖2-24球桿系統(tǒng)根軌跡計算圖 按最佳確定法作圖規(guī)則，在上圖中畫出相應的直線,求出超前校正裝置的零點和極點，分別為:耳=-5.10057- = -14.7664校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：5)6)由幅值條件|G(eH(升)=I于是我們得到了系統(tǒng)的控制器：)=142.737(s +3.10057)(S) =s + 14.7664上述過程手動計算比較復雜，可以采用編程程序自動計算得到：

35、 計算文件請參見光盤,并設反饋為單位反饋，所以有；K =142.7377)在Mathematica中編寫如下所示的程序，計算以上步驟： 內(nèi)“ModelFile ” 中的“ GBBRLocusCompute.nb文件。Chief StustTune = If pospole =;HBgpale = D;Ecint'*t"(1-D'uerStep) =O, 裁:業(yè)哼= f J”電Ptlutt "*"Ja = ltrcCDsdaij4ISM daivtuSolTrerc (Ts - JWgustine) =： 0, 打；Ct =； *； / -樂pole

36、sre = -<intOos j pcKLes5diih= £ul d; z E polesre + I rpodfsart;PEiiitGirCbA -(nv9e -poal« 4ArglE -nesr«lj&)Ptintftf" 3c GbiIPvintr'Viy (:T-e* f 2Pci ntC ”Be hkoohI"zerocDOKd. = polssne poXescun * Tan. -2 - 0)Printc "poCLecoan" JPD160OOH1 = polKve - pdesn

37、in 節(jié) Tan ”亠(h / 2 -4 Qj- X - zerocowd D. 7£k = Sssl k * *L E - pclecowd z Ent "K'JSalw(fk- Ibt 0, k圖 2-25在MATLAB Simulink中打開仿真的 M文件，雙擊如下圖的“ Root Locus M File “E ftfuziy L$gi 吧Toorbw: (joogol E Jucation Product S4'2.3.OT-4OO-5V Blflcfc UbrvIFHIOO Elock LibraryTriverte <1 PenJulun

38、iBall & 斑amData 匚 fillscti an uilPill Cocntvol6.7.Hoot Local 匚ontrwlFrepuemcy Response C Magetism Lei tat ion Sy? Hclieop terWat erTaiJtC.ALpcueLocusControl圖 2-26打開如下的M文件界面:孝 C = MATL6p5t D<l'boz&DDg：oLTecliBallBeaaBaLlDeaKELocus. Fil 亡 Edit View Teat DebugVub Iflf inlQvr Esl?S關f*欄IjB

39、 口：口喈工訳mck鶴!騰驗BaiOaam Root Locub Control M File 崑囂熾郴紳椰郴郴wt郴wswmmmtwmwww綢Il = 0. LI；I = 0. 015：-J-l t.圖 2-27點擊舊運行程序，若出現(xiàn)如下的界面:lATlAB EditorF 3 CAMMlJB6p5Ucio bOKGooigolTechBallBeamball0e'amRLcic；iis m is rot found h the cuiremt directory ron 1h? MATU0 path.To run Tiis file, seleclone of;h 已 roll o

40、wing® Change MATLAB currert director/O Add directory to ths top of the MATUB path)O Adc directory to ths bottom o'trie matl?b pathOK Cancel圖 2-28點擊“OK “就可。注意，在運行仿真后，將 MATLA的路徑改為如下的” Curre nt Directory ”路徑，以便實時控制程序可以順利運行。丿 VATLAfiFileEditViewWetWiiUowHelp tCurrent Directory: C:WA7LADCp SUooJ

41、box詬oogolTcthTOcICccmD 口 I 慮電 It-I ? ICurre nt DrectoryLLI蘭Con ma nd Winduwr:MXrLAE&p5 Vtoo 11 OKVGoogoTTacRVEallFeam-1.6609 + 1. 03731-1.6509 -1. saviAll FilesFi-lt Tj-p 4List Hcdi0圖 2-29運行結果如下:-1-1Root Lociis of uncompensated EalBeam System0.50-0.5-0.8-0.S-Q +-02002040.60.8Rel AkbRocrt Locus o

42、f campensated Bal 14Beam System£!卷 Aggtu-20-300-20-10-505Real A淤21.50.5Step respoTise of coinpensafted BallBesm Syslem10Time fsecj圖 2-30圖 2-31也可以點擊“ Root Locus Simu“打開仿真界面:點擊“運行，得到仿真結果:0.350.250.2 -J' - -0.15 0.1 iO.OE圖 2-32實驗i.擊在 MATLAB Simulink 的 Googol Educational Products工具箱中，點“ Root Lo

43、cus Demo “打開根軌跡控制程序：p 朋顱 Pfiaon冋 I i r-. t HW1F * K >_I,；HL”O(jiān)ji I I U*Z4 jh *IJ1圖 2-33根軌跡控制界面"EJI JHU L-IhIhiIiuLiiii.卜運行程序，得到如下的把控制器的參數(shù)設置為計算得到的值，點擊 控制結果。0.35.1,o,1h0.051000 2DOO 202040005000 GilOO 700080009000 WOOD圖 2-34 EXPERIMENT RUSULT OF ROOT LOCUS CONTROLLER (I)iii.改變控制器參數(shù),設置:zo = 0.5;

44、po = 4;selected_poi nt = -3.7270 + 2.1250i k =14.5801 poles =-1.6842 + 2.2895i, -1.6842 - 2.2895i, -0.6317得到如下的響應:0.35 -0.3 - '0.250.2 0.15 二'0.10.D5 010002000 3DOO 4DOO 5000 EilOO 700080009000 1C0LI0圖2-35根軌跡控制實驗結果（II） 分析實際控制結果和仿真結果的區(qū)別，并分析區(qū)別產(chǎn)生的原因。2.5頻率響應法頻率響應法的主要思想是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖，給系統(tǒng)添加一個控制器,

45、改變開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖，從而改變閉環(huán)系統(tǒng)的響應，使其達到期望的性能。首先，我們繪制開環(huán)傳遞函數(shù)盹)二如二賈丄nA 日込F產(chǎn)曠R-所示的W(s)的Bode圖，創(chuàng)建一個如下的 M文件并在MATLAB勺命令窗口中運行。m = 0.11;R = 0.015;g = -9.8;L = 0.4;d = 0.04;J = 2*m*RA2/5;K = (m*g*d)/(L*(J/RA2+m); %si mp lifies inp utnum = -K;den = 1 0 0;plan t=tf( nu m,de n);bode( plant)運行結果如圖2-36所示:-ea-17a 20-40Dcwe di

46、agram of urcompensated QallEDeam System-1S1-ISO10Fre(iuency Crsd/sec)010圖2-36開環(huán)系統(tǒng)的BODE圖從上圖可以看出，系統(tǒng)的相位裕量為0,從相位裕量的定義可以得到，開環(huán)系統(tǒng) 需要一定的相位裕量，才能使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，因此，開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，需要增 加系統(tǒng)的相位裕量，我們可以給系統(tǒng)添加一個超前校正器。我們可以給系統(tǒng)添加如下的超前控制器，改善系統(tǒng)的響應。嚴F 、 廠1十能校正器將給系統(tǒng)在1/aT至1/T的轉角頻率范圍內(nèi)增加相位裕量，設控制系統(tǒng)需 要的超調量少于5%對應于zeta = 0.7,zeta*100就是滿足系統(tǒng)超調的最

47、小相位裕量, 網(wǎng)角）=垓 r70度。jjura,所以系統(tǒng)最終需要的相位裕量為大于下面的式子用于計算T和a的值。i.確定需要的相位裕量（如前所述，不小于 70度）。ii.確定增加的相位的中間頻率，如理想的頻率帶寬為1.9rad/s，選擇其中心頻率為1.0rad/s 。iii.通過以下的式子計算常數(shù)a： 其中a=0.0311?為期望的相位裕量，如iv.通過下式計算T和1 n =；1 +70度，aTaiid aT =其中w為中心頻率。w=1, aT=0,176 and T=5.67.最后得到的超前校正器為：在MATLAB輸入如下的程序。phi=70* pi/180;a=(1-si n(p hi)/(

48、1+si n(p hi); w=1;T=1/(w*sqrt(a);kk= 1;numlead = k*T 1;deni ead = a*T 1;contr = tf(nu mlead,de nl ead); bode(c on tr*ball)可以得到如圖2-37所示的Bode圖，我們可以看出，系統(tǒng)的相位裕量為70度。200Bode diagram ot compensated 9allfi0eam System-100-01000Bussed-1301十*1351010 -IG10 10 10Frequency (fad/sec)I * 11LIi_ij J. _ _I h 11 h |_|丄 Iicr圖2-37添加超前校正器后的系統(tǒng)BODE圖 為得到系統(tǒng)的階躍信號響應，可以添加如下的代碼:sys_cl = feedback(co ntr*ball,1); t = 0:0.01:5;ste p(0.25*sys_cl,t)結果如圖2-38