求數(shù)列通項八法

1、八法求通項湖北 何先付一、歸納法：觀察所給數(shù)列每一項的特點，分析項數(shù) n 與數(shù)值 an 之間的對應關系，找出規(guī)律：一是找出每項中與項數(shù)無關的因素， 讓其保持不變； 二是找出隨項數(shù)變化的因素與項數(shù) n 的聯(lián)系，寫出通項公式，再代回檢驗，如有不符適當調整。當然正確與否還要用數(shù)學歸納法進行證明。例 1、11 ，13 ， 15 ，17， 22426282解析：觀察整式部分為 1；分母為偶數(shù)2n 的平方；分子為奇數(shù)2n-1；符號奇數(shù)項為正，偶數(shù)偶為負可用 (-1)n-1 表示，因而通項為 an1 ( 1) n 1 2n21 .(2n)例 2、 1，2+3，4+5+6， 7+8+9+10，11+12+13

2、+14+15， 解析：它為自然數(shù)列的前 n 項的和 Sn 被分成第一項為，第二項為后兩項的和，第三項為后三項的和，依此類推 a11， 216 3，410 6，3 1，3=S a =S -S a =S -S a =S -Sa5=S15-S10， ，注意到 S 的腳標，歸納得anS1 2 3nS123n 1Sn( n 1)Sn (n 1)22n( n1) n(n 1)n(n1)n(n1)2(21)2(21)n( n21).222二、定義法：若能根據條件先判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則可用公式：an=a1+(n-1)d 或 an=a1qn-1 求出該數(shù)列的通項公式。例 3、已知數(shù)列 a n 滿

3、足 a1=1， an 12an(nN*) ，求數(shù)列 a n 的通項公an2式。解析：在 an 12an兩邊取倒數(shù)，得11 1111，所以an 2an 12 anan 1an2數(shù) 列 1 為 等 差 數(shù) 列 ， 公 差 為 d1，首項為 11， 因 此an2a111 (n 1) 1 n 1 ，故 an2 。an22n 1例 4、已知數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且有 a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1，求數(shù)列 an 的通項公式。解析：由 3Sn=5an-an-1+3Sn-1，得 3（Sn-Sn-1）=5an-an-1，即 3an=5an-an-1，所以an1， 數(shù) 列 a n

4、為 等 比 數(shù) 列 ， 公 比 為 q1， 首 項 為 a1=2， 故an 122an2 (1 )n 1( 1) n 2 。22三、公式法：若知道一個數(shù)列的通項公式的表達形式， 則可根據題目條件，確定待定系數(shù)，從而求出其通項公式。例 5、設等差數(shù)列 an 的前 n 項和是 Sn，bn= 1 ，且 a3 b3= 1 S3 +S5=21。求Sn2數(shù)列 an 和 b n 的通項公式。解析：由等差數(shù)列的通項公式及前n 項和公式，得11a11(a1 2d )23a1 3dd.(3a13d) (5a110d )211所以 an=1+(n-1)=n， bn112。Snn(n1) n( nn1)2四、前 n

5、項和法：時， nnn-1；驗證所得的通項公確定當 n=1 時， a1 1；推出2=Sna =S -S式， n=1 時 an 與 1 的關系，若1適合 時， n 的表達式，則可合并，否則寫aan2a成 ana1 (n1)=SnSn 1 ( n 2)例 6、設數(shù)列 a n 的前 n 項和是 Sn=3n2-n（nN*），求數(shù)列 a n 的通項公式。解析：當 n=1 時， a1= S1=2；當 n 2 時， an=Sn-Sn-1=(3n2-n)-3(n-1) 2-(n-1)=6n-4.些式對 n=1 也適用。所以 an=6n-4.例 7、已知數(shù)列 a n 的前 n 項和是 Sn，且滿足 a1= 1 ，

6、an=-2Sn Sn-1（n2）。2求數(shù)列 1 是否為等差數(shù)列？請證明你的結論。Sn解析：因an=Sn-Sn-1 ，所以Sn -Sn-1= -2Sn Sn-1 ，兩邊同除以-Sn Sn-1 ，得1 11 ，所以數(shù)列 1 為等差數(shù)列。SnSn 12Sn五、累差法：，則可用等差數(shù)列的通項公式求n ；若若 ann-1常數(shù)n1a -a-a =d()a =a +(n-1)d-aa=f(n)(與 n 有關的式子 )，則可用累差法： a=（a -a ） +（ a）+ +n n-12）（ 2nn n-1n-1 n-2（ a3+1） 1 求 n 。-aa -a +aa1(n2) ，求數(shù)列 a n 的通例 8、已

7、知數(shù)列 a n ，滿足 a1=1，an =an-1 +n( n1)項公式。解析：由條件，知 ann-1111，所以-a=-n(n 1)n1 nan =（ an-an-1）+（an-1-an-2）+（ a3 -a2）+ （a2-a1）+a1（1 1） +（11）+ +（11）+（11）+1=2-1=-2-1-.n 1 nn 2 n 132n六、累商法：若 an=q(常數(shù)，則可用等比數(shù)列的通項公式n 1 n-1求 an；若 an=f(n)(與an 1)a =a qan 1n 有關的式子 )，則可用累商法：nan· an 1· · a3· a2·a1

8、 求 n 。a =an 1an 2a2a1a2 2例 9、設 a n 是首項為 1 的正項數(shù)列，且（ n+1）an+1 -n an + an+1an=0(n=1，2，3， )，求它的通項公式。解析：原式可分解為（ an+1 +an）（n+1）an+1-n an=0 ，因an 為“正項數(shù)列”，所以（ n+1） an+1n ，從而 an 1n，故-n a =0n1annan·an 1· ·a3·a21n 1·n 2· ·2·1· 1=1a =an 1an 2a2a1·a=n 132.nn七、遞推法：

9、若給出數(shù)列的遞推公式， 則可適當遞推得出所要的結論， 再轉化處理。 但要特別注意，在遞推時， n 的取值范圍的變化。例 10、(2004 全國高考卷 I，理 15) 已知數(shù)列 an ，滿足 a1=1，an =a1 +2a2 +33n-1n 的通項 an1n1a + +（n-1）a(n 2) ，則數(shù)列 a_n2解析：由條件遞推，得 an-1 123（n-2） n-23) =a+2a +3 a +a (n-，得 ann-1n，所以 nn-1，即 ann(n3)，- a=(n-1)aa =naan 1又由，知 a21，=a =1所以 an=an· an1· · a3 &

10、#183; a2=n(n-1)×3(n3)ana24an121n1,21n1an=n(n 1)432n(n1)4 3n3n!222n例 11、（2005 山東濟寧一模， 18）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 a n 中，Sn 是a 與 1 的等差中項，其中 S 是其前 n 項和，求數(shù)列 a 的通項公式。nnn解析：由條件，得 2Snan14Snan22an1 遞推，得4Sn 1an212an11 （ n 2） -，得 4( SnSn1 )an2an212an2an1即 4an an2an2 12an2an 12(anan 1 ) (anan 1 )( anan 1 )因數(shù)列 a n 各項均為正數(shù)，所以 an an12 （n2），從而數(shù)列 a n 為等差數(shù)列，公差為 d=2，由，令 n=1，注意到 S11，可求得1 。=aa =1故 an=1+(n-1)× 2=2n-1.八、待定系數(shù)法：若已知an+1=pan+q，則可設an+1+x=p(an+x) ，展開合并，比較對應系數(shù)，得xq， 故 an 1qp(anq ) ， 所 以 數(shù) 列 anq 是 首 項 為p1p1p 1p 1a1q，公比為 p 的等