復(fù)習(xí)一元二次方程

1、，元二次方程復(fù)習(xí)知識點一 一元二次方程的定義如果一個方程通過移項可以使右邊為 0,而左邊只含有一個未知數(shù)的二次多項式，那么這樣的方 程叫做一元二次方程。注：一元二次方程必須同時滿足以下三點：方程是整式方程。它只含有一個未知數(shù)。未知數(shù)的最高次數(shù)是2。同時還要注意在判斷時，需將方程化成一般形式。例 下列關(guān)于x的方程，哪些是一元二次方程？?=3 ；（2）x?-6x=0 ；（ 3）jx+x=5 ；（ 4） - x? = 0 ；（ 5）?x（x - 3） =?x?+1x + 5知識點二一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0 （a，b，c是已知數(shù)，aH0）。其中a， b， c分別

2、叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項。注：（1）二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項都包括它前面的符號。（?）要準(zhǔn)確找出一個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須把它先化為一般 形式。（3）形如ax? + bx + c = 0不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng) a H 0時是一元二次方程。 例1將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。（1）Sx?% ；（?）（x-?）（x+3）=8；（3）（3x-4）（x +3）=（x+?）例2已知關(guān)于x的方程（m-1七-（m+1x-? = 0是一元二次方程時，則m =知識點三一元二次方程的解使方程左、右兩邊相等

3、的未知數(shù)的值叫做方程的解例1 關(guān)于x的一元二次方程（a -1）x? + X + a? -1 = 0有一個根為0,則a =例2 已知關(guān)于x的一元二次方程ax? + bx + C = 0（a H 0）有一個根為1，一個根為T ,則a + b + c =a -b +c =例3 已知c為實數(shù)，并且 關(guān)于x的一元 二次方程x?-3x+c = 0的一個 根的相反數(shù)是 方程x? +3x -c =0的一個根，求方程x? +3x -c = 0的根及c的值。知識點四一元二次方程的解法(1)開平方法：若X2 = a(a > 0 )，則X叫做a的平方根，表示為x = ±7，這種解一元二次方程的方 法叫

4、做直接開平方法。=n(n > 0的解是 X = ±yfn - m如：X2 = a(a > 0 )的解是 X = ±y/a ；(mx + n $ = c(m H 0,且 c > 0 )的解是 x = 士 丘-"例用直接開平方法解下列一元二次方程2 2 2 2(1)9x2 16 = 0 ；(2) (X + 5 ) -16 = 0 ；(3) (x - 5) = (3x + 1 )(2) 配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為 (x + m)2 = n的方程，再運用開平方法求解。 注：配方法的一般步驟： 移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的

5、左邊，常數(shù)項移到方程的右邊； “系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為 1； 配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為(X + m)2 = n的形式;求解：若n>0時，方程的解為x = -m±7n，若n<0時，方程無實數(shù)解。2(2) X 4x+3 = 0例用配方法解下列一元二次方程(1)3x2 - 9x + 2 = 0 ；5當(dāng)b24ac0時,方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根不相等;當(dāng)b2-4ac =0 時,方程有兩個實數(shù)根K,且這兩個實數(shù)根相等，寫為X1 = X2 = -一；2a當(dāng)b2-4ac <0 時,方程無實數(shù)根.2a(3) 公式法：一元

6、二次方程 ax2+bx + c =0(a h0)的根 x = b±Pb 4ac注：公式法的一般步驟:把一元二次方程化為一般式;確定a,b,c的值;代入b2 4ac中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根;若b2 -4ac>0代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。 例用公式法解下列方程(1) 2x2 -3x 1 = 0 ；(2)2x(x + 72 )中 1 = 0 ；(3)x2 + x + 25 = 0（4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0,那么這兩個因式至少有一個為0,即: 若 ab =0，貝U a =0 或 b =0 ； 因式分解法的一般步驟：將

7、方程的右邊化為0；將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。 令每個因式分別為0,得兩個一元一次方程 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。 例用因式分解法解下列方程(2)(x-5)2 =2(x-5)-1（1） 6x2 -3娛=2血X-<6知識點五一元二次方程根的判別式對于一元二次方程ax2 +bx + c=0（aH0 ）的根的判別式是b2 - 4ac :（1）當(dāng)b2 -4ac A0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)b2 -4ac 0時，方程無實數(shù)根。 溫馨提示：若方程有實數(shù)根，則有b2-4acX0。 例題：1、已知方程X2 -3

8、x+k =0有兩個不相等的實數(shù)根，則k=2、當(dāng)m滿足何條件時，方程mx2 2（m 1X+9m1 =0有兩個不相等實根？有兩個相等實根？有實根?3、已知關(guān)于X的一元二次方程X2 + 4（m+1 ）x + 2m-1=0，求證：不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根。知識點六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系bc若一元二次方程ax2+bx+C =0（a工0 的兩個實數(shù)根為x1,x2，貝U x1+x2=-一,x1x。aa溫馨提示：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，一元二次方程必須有實數(shù)根。例題：1、關(guān)于x的一元二次方程X2+kx+4k2 -3 = 0的兩個實數(shù)根分別是X1,X2，且滿足為+%2=為2，則k的值為:3(A)1或-42、兩個不相等的實數(shù)(C) ?4m,n 滿足 m2-6m = 4,n26n=4，貝U mn 的值為(B )1（D）不存在知識點七一元二次方程的實際應(yīng)用列一元二方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）列方程（4）解方程（5）檢驗（6） 寫出答案。在檢驗時，應(yīng)從方程本身和實際問題兩個