單元測評(三)推理與證明(a卷)

1、單元測評（三）推理與證明（A卷）（時間：90分鐘滿分：120分）第I卷（選擇題，共50分）一、選擇題：本大題共10小題，共50分.1. 下面幾種推理是合情推理的是（）由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°由f（x）=sinx,滿足f（-x） = -f（x）, x R，推出f（x）= sinx是奇函數(shù)；三角形內(nèi) 角和是180°四邊形內(nèi)角和是360°五邊形內(nèi)角和是540,由此得凸多邊 形內(nèi)角和是（n 2） 180 .21 c n jy omA .B .C.D .解析：合情推理分為

2、類比推理和歸納推理，是類比推理，是歸 納推理，是演繹推理.答案：C2. 命題“有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是（）21*cnjy*comA .使用了歸納推理B .使用了類比推理C.使用了 “三段論”，但大前提錯誤D .使用了“三段論”，但小前提錯誤解析：大前提錯誤，小前提正確.答案：C3. 用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個角不大于60°時, 應(yīng)假設(shè)（）A .三角形的三個內(nèi)角都不大于 60B .三角形的三個內(nèi)角都大于60C.三角形的三個內(nèi)角至多有一個大于 60D .三角形的三個內(nèi)角至少有兩個大于 60°解析：其假

3、設(shè)應(yīng)是對“至少有一個角不大于60°的否定，即“都大于答案：B4. 已知命題1 + 2 + 22 + , + 2n7 = 2n - 1及其證明：(1) 當(dāng)n= 1時，左邊=1,右邊=21 - 1= 1,所以等式成立；(2) 假設(shè)n = k時等式成立，即1 + 2 + 22+, + 2k-1 = 2k- 1,則當(dāng)n= k1 2k+1+ 1 時，1 + 2 + 22 +, + 2k1 + 2k=,門=2k+1 1,所以 n=k+ 1 時等式1 2立. 由(1)(2)知，對任意的正整數(shù)n等式都成立.則以下說法正確的是()A .命題、推理都正確B .命題正確、推理不正確C.命題不正確、推理正確

4、D .命題、推理都不正確解析：命題正確，但證明n= k+ 1時沒有用到歸納假設(shè)，推理不正確.答案：B5.觀察下列各式：a+ b= 1, a2 + b2= 3, a3+ b3= 4, a4+ b4= 7, a5+)【來源：21cnj*y.co*m b5= 11,，則 a10 + b10 =(B. 76A. 28C. 123D . 199解析：設(shè) an+ bn= f(n)，貝S f(3)= f(1) + f(2)= 1 + 3 = 4; f(4) = f(2) + f(3) =3+ 4 = 7; f(5) = f(3) + f(4)= 11通過觀察不難發(fā)現(xiàn) f(n) = f(n1)+f(n 2)(

5、n N*, n3),則 f(6) = f(4) + f(5)= 18; f(7) = f(5) + f(6) = 29; f(8) = f(6) + f(7) =47; f(9) = f(7) + f(8)= 76; f(10)= f(8) + f(9)= 123所以 a10 + b10= 123.答案：C6. 由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出正四面體的內(nèi)切球切于四個側(cè)面()A .各正三角形內(nèi)任一點B .各正三角形的某高線上的點C.各正三角形的中心D .各正三角形外的某點解析：正三角形的邊對應(yīng)正四面體的面，即正三角形所在的正四面體 的側(cè)面，所以邊的中點對應(yīng)的就是正四面體各正三

6、角形的中心.答案：C7. 設(shè)正數(shù)x, y滿足Iog2(x+y+ 3)= log2x + log2y,則x+ y的取值范圍 是()A. (0,6C. 1 + 7,+x )B. 6,+x)D . (0,1 + 7解析：x+y+ 3= xy<? (x+y)2 4(x + y) 12>0,故 x + y>6,當(dāng)且僅當(dāng)x= y= 3時等號成立.www-2-1-cnjy-com答案：Ba3,&已知數(shù)列an的前n項和Sn= n2 a.(n2),而a= 1,通過計算a?,a4,猜想an等于() 【出處：21教育名師】A. n+ 1 2B 2n n+ 1D.2n解析：t Sn= n2

7、an(a>2), a= 1, S2= 4 a2= a1 +a2 = 3= 32.S3 = 9a3 =+ a? + a3?a3 =ai + a2128= 6 = 4X 3.S4 = 16a4 = a 1 + a2 + a3 + a4? a4 =ai + a?+ a3215= 5X 4.二猜想an2n n+ 1 .答案：B9.若函數(shù)f(x) = x2 2x+ m(x R)有兩個零點，并且不等式1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為()【版權(quán)所有：21教育】f(1 x)A A . (0,1)B. 0,1)C. (0,1D . 0,1解析：T f(x) = x2 2x+ m有兩個零點，44m>0,

8、. m<1,由 f(1 x) > 1 得(1 x)2 2(1 x)+ m一1, 即 x2+ m0,. m> x2,t x2的最大值為0,二0< m<1.答案：B1410.已知 x>0，不等式 x + 一2, x + 2>3,xx27x+£4,可推廣為x+ A n+ 1,貝 y a 的值為()21cn.jyA. n2nnC. 2nD .1422解析：由 x+2, x + * = x+戲>3,?2n 227x+空=x+ 知 4,可推廣為nx+ xn>n+1,故 a= nn 1 www.21-c n-zv答案：B第H卷(非選擇題，共70

9、分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.111. 在厶ABC中，D為BC的中點，則AD = 2(AB + AC),將命題類比到三棱錐中得到的命題為 .【來源：21 世紀教育網(wǎng)】答案：在三棱錐A-BCD中，GBCD的重心，則AG = *AB+AC +AD)12. 如圖，第n個圖形是由正n+ 2邊形“擴展”而來(n= 1,2,3,),貝卩 a= 3 + 3X 3, a2= 4+ 4X 4,an = (n+2)+(n + 2) (-n + 2), an-2= n2 + n.答案：n2+n13. 已知x, y R，且x+ y>2，則x, y中至少有一個大于1,在用反 證法證明時，假

10、設(shè)應(yīng)為 . 21世紀教育網(wǎng)版權(quán)所有解析：“至少有一個”的反面為“一個也沒有”，即“x, y均不大于 1”，亦即 “x< 1 且 yw 1”.答案：x, y均不大于1(或者x< 1且yw 1)a+ b14. 若符號“*表示求實數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運算，即a*b=廠, 則a + (b*c)用含有運算符號“*和“+”表示的另一種形式是 .解析:a+ (b*c)= a+b+ c _2 _2a + b+ c2a+ b + a+ c2_ (a+ b)*(a + c).答案：(a+ b)*(a + c)三、解答題：本大題共4小題，滿分50分.15. (12 分)設(shè) f(x)_x2 + ax+

11、b,求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于1.21 世紀*教育網(wǎng)1 1 1證明：假設(shè)|f(1)|<2, |f(2)|<所以假設(shè)不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|中至少有一個不小于2.12分16. (12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等 于同一個常數(shù)：(1) sin213° + cos217° sin13 6os17 °(2) sin215° + cos215° sin15 6os15°(3) sin218° + cos212° sin

12、18 6os12 °(4) sin2( 18°) + cos2480 sin( 18°cos48 °, |f(3)|<2,1 1于是有2<1 +a+ b<2，11金2<4 + 2a + b<2,!<9 + 3a+ b<2，6 分 + ，得1<10 + 4a+ 2b<1,所以3<8 + 4a+ 2b< 1,31所以3<4 + 2a+ b< 38 分1 1這與2<4 + 2a + b<2矛盾，(5) sin2( 25 ° + cos255。 sin( 25 &

13、#176;cos55 °(1) 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2) 根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你 的結(jié)論.解：(1)選擇式，計算如下:sin215° + cos215° sin15 Cos15=1 2s in30 = 1 4= 3.4 分3(2)方法一：三角恒等式為sin2 a+ cos2(30 a sinacos(30 a = -.6分21教育名師原創(chuàng)作品證明如下:2 2sin a+ cos (30 ° o) sin acos(30 a=sin a+ (cos30 cosa+ sin30 sin"

14、; sino(cos30 °cosa+ sin30 sin"32,3 -1.2,3 -1 . 2=sin a+ qCos a+ 2 sin aos a+ qSin a 2 sin acos a- ?sin a=4sin2 a+ 4cos2 a= 4.12 分4443方法：三角恒等式為 sin a+ cos (30 a sin a cos(30 a) = 4.6 分證明如下:2 2sin a+ cos (30 0 o) sin acos(30 a1 cos2 a 1 + cos 60 2 a=2+ sin acos30 cos a+ sin30 sin a111131=2 c

15、os2a+ + 2(cos60 &os2a+ sin60 sin2" "sin acosa qsinS1 111_3_31=2 2cos2a+ 2 + 4cos2 a+ 4sin2a 4sin2a4(1cos2a,1113八=1 &cos2a- 4 + 4cos2a=才.12 分E如圖，在四棱錐 PABCD中，ABCD為正方形，PD丄平面AC, PD =DC, E是PC的中點，作EF丄PB交PB于點F?教育網(wǎng)(1) 證明：PA/平面EDB;(2) 證明：PB丄平面EFD.證明：(1)連接AC,設(shè)ACA BD= 0,連接EO,T ABCD是正方形，二0為AC的

16、中點，二0E FAC的中位線， PA/I 0E,而 0E?平面 EDB, PA?平面 EDB, PA/平面 EDB.4分(2)v PD丄平面 AC, BC?平面AC, BC 丄 PD，而 BC 丄 CD, PD A CD = D, BC丄平面PDC.v DE?平面 PDC , BC丄 DE.8 分又T PD丄平面AC, DC?平面AC, PD丄DC,而 PD= DC, PDC為等腰三角形，二DE丄PC又 BCA PC= C, DE丄平面 PBC,. DE丄PB.又 EF丄PB, DEA EF= E, PB丄平面DEF.12分118. (14分)在各項為正的數(shù)列an中，數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn=(1、 巴+ a；丿(1) 求 a1, a2, a3；(2) 由(1)猜想數(shù)列a；的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.K 1、解：(1)S1 = a1 = 21 + 云丿得 a2= 1, a；>0，= 1.1fS2 = a+ a2=2 a2+1Ia2，得 a2 + 2a2 1 = 0,ak+ 1 = S<+ 1 Sk= 2 ak+1 +M 1、2ak+aJ 即ak+1 丿 2ak+1 丿 21k ,k 1_1丄ak+1 o ak+1 十2 &l