《2.3.1數(shù)乘向量》導學案1

1、231數(shù)乘向量導學案1課程學習目標1. 掌握實數(shù)與向量積的定義及幾何意義.2. 了解數(shù)乘運算的運算律，理解向量共線的條件3. 了解向量的線性運算及其幾何意義4. 掌握向量共線的判定定理和性質(zhì)定理，并能熟練運用定理解決向量共線問題課程導學建議重點：向量數(shù)乘的定義及幾何意義，向量數(shù)乘的運算律，共線向量定理難點:實數(shù)與向量積的幾何意義的理解第一層級：知識記憶與理解知識體系梳理創(chuàng)設(shè)情境一條細繩橫貫東西，一只螞蟻在細繩上做勻速直線運動，若螞蟻從點O向正東方向運動一秒鐘的位移對應(yīng)的向量為 a，在圖中作出同一方向上3秒鐘的位移對應(yīng)的向量，你能用式子表示嗎？它是數(shù)量還是向量？螞蟻向西運動3秒鐘的位移對應(yīng)的向量

2、又怎樣表示？知識導學問題1:數(shù)乘向量我們規(guī)定實數(shù) 入與向量a的積是一個向量，記作入a ，這種運算叫作向量的數(shù)乘.問題2:數(shù)乘向量的性質(zhì)入a的長度和方向規(guī)定如下：(1) I 入 a|=| 入 |a|;(2) 當入0時，入a的方向與向量a的方向相同；當 入0時，入a的方向與向量a的方向相 反；當入=0或a=0時，入a=0,且方向任意.問題3:設(shè)入，為實數(shù)，a, b為任意向量則有：(1) 入(a a)=(入卩)a ;(2) (入 + 卩)a= 入 a+ a a ;(3) 入(a+b)=入 a+ 入 b.問題4:向量共線的定理向量共線的判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)入，使得 bi a ，則

3、向量b與非零向量a共線.向量共線的性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個 實數(shù)入，使得bi a.知識鏈接向量的數(shù)乘運算，其實是加法運算的推廣及簡化，與加法、減法統(tǒng)稱為線性運算，共線向量的定理主要應(yīng)用于證明點共線或平行等幾何性質(zhì)，且與后續(xù)知識聯(lián)系緊密基礎(chǔ)學習交流1. 設(shè)入，卩 R,則下列說法不正確的是().A 入(1 a) = 3 (入 a)B.(入-1) a=入 a- i aC 入(a-b) = X a-入 bD入a(入豐0)的方向與向量a的方向相同【解析】由向量數(shù)乘的運算律知A B、C均正確，當入0時，X a的方向與a的方向相反，故不正確.【答案】D2. 已知ei與e2不共線，則

4、下列向量a與b不共線的是().Aa=3ei, b=-2eiB.a=ei+e2, b=-ei+e2Ca二 3ei+e2, b=-9ei+3e2Da=-e i+2e2, b=2ei- 4e2【解析】由向量共線的判定定理知：對于A,存在實數(shù)使得b=-a，故共線；對于B,不存在實數(shù)X，使得b=Xa;對于C,存在實數(shù)使得b=3a;對于D,存在實數(shù)使得b=-2a.【答案】B3. 化簡:(i)2 x (-3a) =.(2)2( a+b)-3(2 a-b)=.【解析】 原式=2 x (-3) a=-6a.(2)原式=2a+2b-(3 x 2) a+3b=-4a+5b.【答案】 -6a (2) -4a+5b4.

5、 設(shè)ei、e2是兩個不共線的向量，已知a=3ei+5e2, b=me3e2，且a與b共線，求 m勺值.【解析】因為a與b共線，所以存在非零實數(shù) X，使得b=Xa,即me_3e2= X (3ei+5e2)，得 (m-3 X ) ei- (3+5 X ) e2=0,所以解得入=-,m=-,故m勺值為-.第二層級：思維探索與創(chuàng)新重難點探究探究一數(shù)乘向量勺定義及運算律化簡下列各式 :(1)5(3 a-2b) +4(2 a+3b) ；(2)( x-y)( a+b) - ( x+y)( a-b).【方法指導】按照數(shù)乘向量勺定義及運算律進行運算 .【解析】 原式=15a-10b+8a+12b=(15+8)a

6、-(10-12)b=23a+2b. 原式=(x-y ) a+( x-y ) b-(x+y) a+( x+y) b=( x-y)-(x+y) a+( x-y)+(x+y) b=-2ya+2xb.【小結(jié)】 對于實數(shù)與向量勺積勺有關(guān)運算， 只需要按照實數(shù)與向量積所滿足勺運算律進行求解 .探究二利用向量共線定理解決三點共線問題已知非零向量a, b不共線，如果=a+b, =2a+8b, =3( a-b)，求證：A, B, D三點共線.【方法指導】要證明 A，B, D三點共線，只需利用向量共線的基本定理，證明與共線即可.【解析】 =a+b, =+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,與共線，又t

7、ABf BD有公共點B,A, B, D三點共線.【小結(jié)】 利用向量證明三點共線問題， 只要考慮使用共線向量的基本定理， 即通過用三 個點構(gòu)造向量， 來得到向量間的關(guān)系，通過它們之間的運算， 得到共線的條件，從而使問題 得以證明 .探究三共線向量性質(zhì)的綜合應(yīng)用已知ei豐0,入 R, a=e +入e?, b=2ei，在何條件下，向量 a與b共線.【方法指導】由共線向量的條件可知，若向量a與b共線，必有b=u a,其中為實數(shù), 列方程組即可求入.【解析】設(shè)b=卩a,則2ei=u (e計入閲, ( 1 - 2) ei+ 1 入 e2=0,解得故a與b共線的條件是入=0.問題向量ei與e2定不共線嗎？結(jié)

8、論向量ei與e2不一定不共線，故要考慮ei / e.于是，正確解答如下 :(1) 當ei/e2時，a=ei+入 e2，不妨設(shè) e=iei, a=(1+ 入 i)ei,b=2ei，故有a與b共線.(2) 當 ei, e2不共線時，設(shè) b=i a,則 2ei=i (ei+ 入 e), ( i -2) ei+1 入 e2=0,解得故a與b共線的條件是入=0.綜合(i)(2)可知，向量a與b共線的條件是ei / e2或入=0.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一化簡:(4 a-3b)+b-(6a-7b) .【解析】原式 =(4a-3b+b-a+b)=(4 -)a+(-3+)b=(a-b)=a-b.應(yīng)用二設(shè)ei, e2是

9、兩個不共線向量，已知 =2ei+ke2, =ei+3e2, =2ei-e2,若A, B, D三點共線，求k的值.【解析】 =-=(2ei-e2)-(ei+3e2)=ei-4e2,A, B, D三點共線，共線，存在入使=入，即 2ei+ke2 =入(ei-4e2), k=-8.應(yīng)用三證明平面內(nèi)四點O A、B、C不共線，向量、的終點 A B、C共線，則存在實數(shù) 入、i , 且入+i =1，使得=入+1 ,反之也成立.【解析】若、的終點 A B C共線，則存在實數(shù) m使得=m.又 =- ，=- ，所以 -=m(-) ，即 =-m+(i+m).令入=-m, i =1+m則存在實數(shù)入、i ,且入+ i

10、=1，使得=入+i .反之，若=入+ 1，其中入+卩=1 ,則口 =1-入，=入+(1 -入)，從而-=入(-)，即=入，且與有公共點B所以A B C三點共線，即向量、的終點在一條直線上 第三層級：技能應(yīng)用與拓展基礎(chǔ)智能檢測1. 如圖，皿雇厶ABC勺中位線，貝U ().A=B.=C=D=【解析】=-=-=(-)三【答案】B2. 已知a, b是兩個非零向量，則以下命題中，正確的個數(shù)是 (). a的方向與a的方向相同，且a的模是a的模的倍；2a的方向與-4a的方向相反，且2a的模是-4a的模的；a-b與-(b-a)是一對相反向量.A 0B. 1C. 2D. 3【解析】對于，t>0,.a的方向

11、與a的方向相同.又v |a|=| a| ,.a的模是a的模的 倍，故正確.對于，v2>0, 2a的方向與a的方向相同，且|2a|=2|a|，又v-4<0, -4a 的方向與a的方向相反，且|-4a|=4|a|，二2a的方向與-4a的方向相反，且2a的模是-4a的模 的，故正確.對于，va-b與b-a是相反向量，.a-b與-(b-a)是相等的向量，因此不正確 .【答案】C3. 已知a, b是平面內(nèi)兩個不共線的向量，實數(shù)入，1滿足3入a+(8- i) b=(4 1 +1)a+2入b,貝 y 入=, i =.【解析】由平面向量的基本定理可知，解得【答案】324. 已知非零向量8, e2不

12、共線，欲使ke1+Q與e1+ke2共線，試確定實數(shù) k的值.【解析】因為kei+e2與ei+ke2共線，所以存在非零實數(shù) 入使kei+e2 =入（e計ke2）, 則（k-入）ei=（入 k-1） e2.由于ei, e2不共線， 因此，只能有解得k=入=± 1.全新視角拓展（2009年北京卷）已知向量a, b不共線，c=ka+b（k R）, d=a-b.如果c / d,那么（）.Ak= 1且c與 d同向B .k= 1且c與 d反向Ck=- 1且c與d同向Dk=- 1且c與d反向【解析】Vc / d,二 d=c,即 a-b=入（ka+b），又 a, b不共線，解得d=-c , Ac與d反

13、向.【答案】D第四層級：總結(jié)評價與反思思維導圖構(gòu)建數(shù)乘時fi學習體驗分享固學案基礎(chǔ)達標檢測1. 已知向量a=ei- 2e2, b=2ei+e2,其中ei、e2不共線，則a+b與 c=6ei-2e2的關(guān)系是().A不共線B.共線C.相等D.無法確定【解析】由 a+b=e-2e2+2ei+Q=3ei-e2, c=6ei- 2e2=2(3ei-e 2) =2( a+b)，根據(jù)向量共線的性 質(zhì)定理可知，它們共線.【答案】B2. 設(shè)a與 b是兩個不共線的向量，且 a+入b與-(b-2a)共線，則實數(shù)入的值為().A- B. C.- 2D 2【解析】向量-(b-2a)=2a-b與a+入b共線，由向量共線定

14、理可知，存在實數(shù)，使得2a-b=(a+ 入 b)，解得 入=-.【答案】A3. 已知實數(shù)m n和向量a、b,給出下列命題：若ma=m,則a=b；若ma=mb則a=b或m=0；若ma=naa*0)，貝U m=n其中正確命題的序- 號是 .【解析】比較易知正確，顯然正確.【答案】4. 化簡:(a-b) - (2 a+4b) +(2 a+13b).【解析】原式=a-b-a-b+a+b=(-+) a+( -+ ) b=0 a+0 b=0+0=0.基礎(chǔ)技能檢測5.已知入，1 R,則在以下命題中，正確命題的個數(shù)是(). 入<0, a*0,入a與a的方向一定相反； 入>0, a*0,入a與a的方

15、向一定相同； 入*0, a*0,入a與a是共線向量； 入1 >0, a*0,入a與1 a的方向一定相同； 入1 <0, a*0,入a與i a的方向一定相反.A2 B. 3 C.4 D. 5【解析】要判斷 入a與a的方向，必需弄清楚 入的符號，再根據(jù)數(shù)乘向量的定義判斷.根據(jù)實數(shù)入與向量a的積入a的方向規(guī)定，易知 正確.對于命題，當入1 >0時，入與1同為正數(shù)或同為負數(shù)，所以 入a與1 a或者都與a同向，或者都與a反向，從而入a與1 a同向, 命題正確對于命題，當入卩0時，入與卩異號，則入a與卩a個與a同向，一個與a反 向，因而入a與卩a的方向一定相反，命題 正確.【答案】D6.

16、 已知非零向量a、b,且=a+2b, =-5a+6b，=7a-2b,則下列各組點中一定共線的是 （）.AA、B CBB、C、DC.A、B DD.A、C、D【解析】/ =+=（-5a+6b）+（7a-2b）=2a+4b=2（a+2b）=2, "、B、D三點共線.【答案】C7. 已知 ABC中/ A的平分線AE與 BC相交于點E,那么=入，請你填入一個 入可能的取值_（答案不唯一，填一個你認為正確的即可）.【解析】由向量、方向相反，故有入0,又|入|=1,所以入-1，只需填入一個比-1小的數(shù)即可.【解析】-2（只需填入一個比-1小的數(shù)）8.已知a, b是不共線向量，若 =a+2b, =2a+4b, =3a+6b，求證：A B, C三點共線.【解析】/=-=a+2b, =-=2a+4b,=2,又AC和ABt公共點A, A, B, C三點共線.技能拓展訓練9. 如圖，在厶ABC中，點O是BC的中點.過點0的直線分別交直線 AB AC于不同的兩點 M