7-第七章應(yīng)力狀態(tài)分析強(qiáng)度理論

1、第七章應(yīng)力狀態(tài)分析強(qiáng)度理論7.1應(yīng)力狀態(tài)概述1、工程實(shí)例1. 壓縮破壞2. 彎曲拉伸破壞3. 彎曲剪切破壞4. 鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞5低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斜冋主；:;n 才拉應(yīng)力垂直裂縫斜裂縫、應(yīng)力狀態(tài)的概念1點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)過(guò)一點(diǎn)所作各斜截面上的應(yīng)力情況，即過(guò)一點(diǎn)所有方位面上的應(yīng)力集合。2. 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述以該點(diǎn)為中心取無(wú)限小三對(duì)面互相垂直的六面體（單元體）為研究對(duì)象，單元 體三對(duì)互相垂直的面上的應(yīng)力可描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)。3. 求一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)（1）單元體三對(duì)面的應(yīng)力已知，單元體平衡（2）單元體任意部分平衡（3）截面法和平衡條件求得任意方位面上的應(yīng)力，即點(diǎn)在任意方位的應(yīng)力三、應(yīng)力狀態(tài)的分類1. 單元體：微小正

2、六面體2. 主平面和主應(yīng)力：主平面：無(wú)切應(yīng)力的平面主應(yīng)力：作用在主平面上的正應(yīng)力3. 三種應(yīng)力狀態(tài)單項(xiàng)應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力只有一個(gè)不等于零，如 A、E點(diǎn) 二向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不等于零，如 B、D點(diǎn) 三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都不等于零四、應(yīng)力狀態(tài)分析的方法1. 解析法2. 圖解法7.2應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法、解析法圖示單元體，已知應(yīng)力分量xy和yx oyy八yyxxy（一）任意截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：利用截面法，考慮楔體bef部分的平衡。設(shè)ef面的面積為dA，F(xiàn)n0dA ( xydA cos )sin(xdA cos)cos(yxdA sin)cos(ydAsin)sin0Ft0dA

3、( xydA cos )cos(xdA cos)si n(ydA sin)cos(yxdAsin)sin0根據(jù)切應(yīng)力互等定理：xyy x三角函數(shù)關(guān)系：cos21cos 22 sin1 cos 2sin 22 sin cos2 ，2 ，解得：xyxcos 2xySin2（7-1）22x2sin 2xy cos 2（7-2）nbyx（二）主應(yīng)力即主平面位置將式（8-1）對(duì)取一次導(dǎo)數(shù)，并令其等于零可確定正應(yīng)力的極值和所在平面的位置-si n2xy C0S2 o令0時(shí)，F(xiàn) 0即:tan2 0xy9x y2 xy0 90代入（8-1），求出最大及最小的正應(yīng)力為:max min（三）最大切應(yīng)力及其作用平面

4、的位置將式（8-2）對(duì) 取一次導(dǎo)數(shù)，并令其等于零可確定切應(yīng)力的極值和它所在平面的 位置。令1時(shí)，-J一0即：ta n2 1dxy2 xymax(xy )222)xymin所以有:2 12 0 ， 1 024即最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為45例題1.如圖a所示受力桿件內(nèi)單元體各面上的應(yīng)力分量。試用解析法求出單元體在30傾斜面上的應(yīng)力，主應(yīng)力的大小并確定主平面的方位。yb)解：(1)斜截面上的應(yīng)力如圖a,有:50MPa，100MPa xyxy70MPa30所以,30-cos 2xy sin 250 100250 1002cos6070 si n6073.1MPa30-sin 2xy c

5、os 250 100 .sin6070cos6030MPa(2)主應(yīng)力及主平面的方向maxmin主應(yīng)力為y)22xy77.6MPa，2 0MPa，77.6MPa 或 127.6MPa3127.6MPa2 xy2 ( 70)tan2 00.933xy 50 100（3）主平面位置為021.5或0 111.5，即主平面外法線與x軸的夾角為21.52.已知圓軸直徑d=15mm,在外力偶Me100 N m作用下，發(fā)生扭轉(zhuǎn)。試分析圓或111.5 （見(jiàn)圖b）,該單元體是主單元體。軸表面上A點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。a)Mt 16M eWpd316 100N m333.14 (0.015

6、) m150.97MPa在A點(diǎn)周?chē)厝卧w，單元體各面上的應(yīng)力如圖b，所以,maxminxx y2y)2, xy2xy150.97MPa（2）主應(yīng)力為1150.97MPa, 20, 3150.97MPatan2 02 xy主平面位置為:2 o 902 o 270或0450135(3)由上分析可知，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)表面上各點(diǎn)均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，而且各點(diǎn)max所在的平面連成一個(gè)傾角為45的螺旋面，由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度低，試件將 沿這一螺旋面上因抗拉能力不足而發(fā)生斷裂破壞。二、主應(yīng)力跡線 Liari1 2,3*.45mq13313BA11方向b)c)梁在橫力彎曲時(shí)，除橫截面上、下兩邊緣各點(diǎn)均處于單向拉伸或

7、壓縮外，橫截 面其他各點(diǎn)處的正應(yīng)力就不是主應(yīng)力。 現(xiàn)利用應(yīng)力圓來(lái)確定這些點(diǎn)處主應(yīng)力的數(shù)值 和主平面的位置。如圖a,表示一個(gè)受均布荷載q作用的矩形截面梁，在梁的某一 橫截面m-n上，圍繞2、4兩點(diǎn)各取出一個(gè)單元體。設(shè)此橫截面上的剪力和彎矩都 是正值，則此二單元體各面上的應(yīng)力狀態(tài)如 b圖所示。單元體的x平面是梁的橫截*面。其上的正應(yīng)力x 和切應(yīng)力xy F。單元體的y平面是梁的水平縱截面，IzI zb其上的y 0 , xy和yx等值反號(hào)。根據(jù)這些已知應(yīng)力，就可以作出相應(yīng)的應(yīng)力圓。 求出梁截面上一點(diǎn)主應(yīng)力方向后，把其中一個(gè)主應(yīng)力的方向延長(zhǎng)與相鄰橫截面相 交，求出交點(diǎn)的主應(yīng)力后，再將其延長(zhǎng)線與下一個(gè)相鄰

8、橫截面相交，依次類推，所 做出的折線。折線上任一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)的主應(yīng)力方向。梁內(nèi)任意一點(diǎn)的主應(yīng)力的表達(dá)式為：3 J 2） xy由上式知，梁內(nèi)任意一點(diǎn)處的兩個(gè)主應(yīng)力必然一個(gè)為拉應(yīng)力，另一個(gè)為壓應(yīng)力， 兩者的方向任意垂直。所以在梁的 xy平面內(nèi)可以繪制兩組正交的曲線，在一組曲 線上每一點(diǎn)處切線的方向是該點(diǎn)處主應(yīng)力i （拉應(yīng)力）的方向，而在另一組曲線上每一點(diǎn)處切線的方向則為主應(yīng)力3 （壓應(yīng)力）的方向。這樣的曲線稱為梁的主應(yīng)力跡線，前者稱為主應(yīng)力1跡線，后者則稱為主應(yīng)力3跡線。如圖實(shí)線表示主應(yīng)力1 跡線，虛線表示主應(yīng)力 3跡線。由于主拉應(yīng)力的存在，混凝土抗拉強(qiáng)度不足而沿著所在的主平面的方向開(kāi)裂。

9、在 梁跨中的底部，主拉應(yīng)力1方向是水平或接近水平的，所以裂隙方向是垂直的。在 兩端主拉應(yīng)力1方向是傾斜的，所以裂隙也是與主應(yīng)力正交而傾斜。正因?yàn)檫@樣， 在鋼筋混凝土受彎構(gòu)件中，主要承受拉力的鋼筋應(yīng)大致按照主應(yīng)力1跡線來(lái)配置排列，以承擔(dān)梁內(nèi)各點(diǎn)處的最大拉應(yīng)力7.3應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法、應(yīng)力圓方程由式（7-1）應(yīng)力與切應(yīng)力均為（7-2）可知在二向應(yīng)力狀態(tài)下，在法向傾角為的斜截面上的正的函數(shù)?，F(xiàn)消去，則有，ycos2xy sin 2x2以上兩式等號(hào)兩邊平方，然后相加，得-sin 2xy C0S2x y）22以橫坐標(biāo)表示，以縱坐標(biāo)表示，上式時(shí)一個(gè)以和2xy為變量的圓周方程，圓xy）2 xy。這一圓周稱

10、2 xy心的橫坐標(biāo)為 一y ;縱坐標(biāo)為零。圓的半徑為2為應(yīng)力 圓。又稱摩爾應(yīng)力圓，簡(jiǎn)稱摩爾圓。、應(yīng)力圓的作法以圖a所示單元體為例說(shuō)明應(yīng)力圓的做法。先建立 比例尺量取橫坐標(biāo) 麗 xy，確定D 標(biāo)的上下邊。連接直角坐標(biāo)系，按一定OA x， AD xy,先確定D點(diǎn)（見(jiàn)圖B）。量取0B，根據(jù)前節(jié)符號(hào)規(guī)定，yx為負(fù)，所以D點(diǎn)與D點(diǎn)分別位于橫坐 D、D與橫坐標(biāo)交于C點(diǎn)。以C點(diǎn)為圓心，CD為半徑作圓，顯 然圓心C的縱坐標(biāo)為零，橫坐標(biāo)為0D丄（OA OB）2-，所以，C點(diǎn)即是所以，圖b所作的這一圓周就是該單元體的應(yīng)力圓y 1yx0)max ,0)應(yīng)力圓的圓心。圓半徑CD . CA2 AD2 （x 2 y）2

11、xy三、應(yīng)力圓的應(yīng)用（一）二向應(yīng)力狀態(tài)單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系1點(diǎn)面對(duì)應(yīng) 應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著單元體某一截面上的正應(yīng)力和切 應(yīng)力值。2. 二倍角對(duì)應(yīng) 單元體上任意兩個(gè)斜截面的外法線之間的夾角若為，則對(duì)應(yīng)在應(yīng)力圓上代表該斜截面上應(yīng)力的兩點(diǎn)之間的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角必為2 。3. 轉(zhuǎn)向?qū)?yīng) 應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)隨之改變，對(duì)應(yīng)地，單元體上 斜截面的法線亦沿相同方向旋轉(zhuǎn)，才能保證斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上半徑端點(diǎn)的 坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。（二）確定單元體斜截面上的應(yīng)力根據(jù)以上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以從作出的應(yīng)力圓確定單元體內(nèi)任意斜截面那個(gè)的應(yīng)力值。注意上圖a、b，若求法線n與x軸夾角為逆時(shí)針 角的斜截面

12、的應(yīng)力 、： 則在應(yīng)力圓上，從D點(diǎn)也按逆時(shí)針?lè)较蜓貓A周轉(zhuǎn)到 E點(diǎn)，且使DE弧所對(duì)應(yīng)的圓心 角2 ，則E點(diǎn)的坐標(biāo)就代表以n為法線的斜面上的應(yīng)力 、。證明：OF OC CEcos(2 02 )OC CEcos2 0cos2CEcos2 0sin2OF CEsin(2 02 )CEsin2 o cos 2CEcos2 o sin2因?yàn)镃E CDCEcos2 0 CDcos2 o CA所以CEsin2 0 CDsin2 0 ADxyOF-cos 2xy sin 2FE-sin 2xycos2這就是式（7-1）（ 7-2），證畢（三）主應(yīng)力的數(shù)值和主平面的方位由于應(yīng)力圓上A!點(diǎn)的橫坐標(biāo)（正應(yīng)力）最大，縱

13、坐標(biāo)（切應(yīng)力）等于零，所以A!代表最大主應(yīng)力，即：max OA! OC CA!同理，B!點(diǎn)表示最小正應(yīng)力，即：min OB OC-C。OC是應(yīng)力圓的圓心橫坐標(biāo)，而CA!則和CB!都是應(yīng)力圓的半徑，貝11maxminx y2在應(yīng)力圓上有D點(diǎn)到Ai點(diǎn)所對(duì)圓心角為順時(shí)針的2 0，在單元體中由x軸也順時(shí)針量取0，這就確定了 max所在平面的法線位置,的0是負(fù)的,0應(yīng)為負(fù)值，所以tan2ADCA按照關(guān)于 的符號(hào)規(guī)定，順時(shí)針2 xy（四）確定最大切應(yīng)力及其作用平面位置由應(yīng)力圓可知，Gi和G2兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力。因?yàn)镃Gi和2 xyCG2都是應(yīng)力圓的半徑，故有maxmin在應(yīng)力圓上，由Ai

14、到Gi所對(duì)圓心角為逆時(shí)針主平面的2，所以在單元體內(nèi)，最大切應(yīng)力所在平面與max所在主平面的夾角為逆時(shí)針的4。也可以在應(yīng)力圓上直接標(biāo)出主應(yīng)力的方向、主平面的位置和最大切應(yīng)力平面的方 向。如下圖c所示，只需延長(zhǎng)直線DA與圓周交于另一點(diǎn)K，連KAi，它就是與max 所在的主平面平行的方向，連 KBi，即為max的方向。因?yàn)镈、K兩點(diǎn)是對(duì)稱于x 軸的，所以，KAi DAi, AiCKAiCD 2。，由于 AiBjK和 AQK分別是同1一圓弧所對(duì)的圓周角和圓心角，因此AiBiK -（2 0）0，于是由AiK和BiK兩線的方向，就能畫(huà)出主平面單元體，明確地表明了主平面和主應(yīng)力的方向。同理,方向maxmin

15、m axminxmaxc)從應(yīng)力圓1逆時(shí)針轉(zhuǎn)銳角到最大剪應(yīng)力，引出剪應(yīng)力趨向法例題：試用應(yīng)力圓求出下圖所示單元體在0 30斜截面上的應(yīng)力，主應(yīng)力的大小并確定主平面的方位。7.4廣義胡克定律、廣義胡克定律在第二章討論了單向拉伸或壓縮時(shí)，由各向同性材料在線彈性范圍之內(nèi)的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得到單向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系是：E 或 -（a）此外，軸向的變形還將引起橫向尺寸的變化，橫向應(yīng)變還可以表示vV|，其中，V為材料的泊松比。（b ）在純剪切的情況下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在線彈性范圍之內(nèi)，切應(yīng)力和切應(yīng)變之間 的關(guān)系是（C）在最普遍的情況下，描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)需要九個(gè)應(yīng)力分量,如圖根據(jù)切應(yīng)力互等

16、定理，在九個(gè)應(yīng)力分量中，獨(dú)立的應(yīng)力分量只有六個(gè)，即xy、 xz、yz。這種普遍情況可以看做三組單向應(yīng)力和三組純剪切的組合對(duì)于各向同性材料，當(dāng)變形很小且在線彈性范圍之內(nèi)時(shí)，線應(yīng)變只與單向應(yīng)力有關(guān), 而與切應(yīng)力無(wú)關(guān)；切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)，而與正應(yīng)力無(wú)關(guān)。如在利用（a）（b） （c）三式求出應(yīng)力分量各自對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，然后進(jìn)行疊加y、 z共同作用下得到X方向的線應(yīng)變：x 一 y 一 zxxxx e v e v e同理，可以求出沿y和z方向的線應(yīng)變，所以有丄x Ey Ez EE X v( yv(v(v(z)(7-11)同時(shí)在xy、yz和zx三個(gè)面內(nèi)的切應(yīng)變分別為：xyxyyzyzG，zxzxG(7-12)

17、式（7-11）和式（7-12）稱為一般應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律。當(dāng)單元體的三個(gè)主應(yīng)力已知時(shí)，廣義胡克定律化為其中3分別為沿著正應(yīng)力 x、 yz方向的主應(yīng)變。1v(3）112E21E 2v(13）31E 3v(21）xy0，yz0zx0、體積胡克定律如右圖所示單元體，邊長(zhǎng)分別是 dx、dy、dz 變形前單元體體積：1V dxdydz變形后三個(gè)棱邊分別為dx1dx(11dx)dy2dy(12dy)dz3dz(13dz)則變形后體積為Vi (11)(12)(13)dxdydz展開(kāi)上式，并略去含高階微量的各項(xiàng)，得:V1(1123)dxdydz單位體積的體積改變?yōu)閂 12改寫(xiě)為其中(1-2v)(13(1

18、- 2v)3(1-2v)3)23)31233K稱為體積彈性模量,是三個(gè)主應(yīng)力的平均值。例題1. 如圖所示槽形剛體，其內(nèi)放置一邊長(zhǎng)為a 10mm的鋼塊，鋼塊頂面承受合力為F 8kN的均布?jí)毫ψ饔?，試求鋼塊的三個(gè)主應(yīng)力，已知材料的彈性模量 E 200GPa，泊松比 v 0.3。F2.如圖所示的薄壁圓筒，壁厚10mm、外徑D 60mm，在表面A處與其軸線成45和135角即xy方向分別貼上應(yīng)變片。然后在圓筒兩端作用外力偶矩M。，已知材料的彈性模量E 200GPa，泊松比v 0.3，若該圓筒的變形在彈性范圍之內(nèi)， 且泊松比max 80MPa。試求圓筒A處的線應(yīng)變x和y以及變形后筒壁的厚度。Me-DydA

19、7.5 強(qiáng)度理論、失效：屈服和斷裂材料在靜載作用下失效的形式主要有兩種： 一種是斷裂破壞，如鑄鐵在拉伸時(shí), 沒(méi)有顯著地塑性變形就發(fā)生突然斷裂；另一種是屈服破壞，如低碳鋼在拉伸時(shí)，發(fā) 生顯著地塑性變形，并出現(xiàn)明顯的屈服現(xiàn)象。二、強(qiáng)度理論：材料按某種方式（屈服和斷裂），是應(yīng)力、應(yīng)變或變形能等因數(shù)中某一因數(shù)引 起的，無(wú)論是簡(jiǎn)單或復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，引起失效的因數(shù)是相同的，而與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。 引起構(gòu)件失效的假定因數(shù)的理論即強(qiáng)度理論。三、四種常用的強(qiáng)度理論1、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）最大拉應(yīng)力是引起斷裂的主要因素。無(wú)論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力! 達(dá)到材料單向拉伸時(shí)的抗拉強(qiáng)度b就導(dǎo)致斷裂。按第一強(qiáng)度

20、理論建立的強(qiáng)度條件為：b1 ，n其中， 為許用應(yīng)力，n為安全因數(shù)試驗(yàn)表明，該理論適用于解釋脆性材料的受拉斷裂 破壞，如鑄鐵在單向拉伸下，斷裂發(fā)生于拉應(yīng)力最大的 橫截面。脆性材料的扭轉(zhuǎn)也是沿拉應(yīng)力最大的斜截面發(fā) 生斷裂。但這一理論沒(méi)有考慮其他兩個(gè)應(yīng)力的影響， 且 對(duì)沒(méi)有拉應(yīng)力的狀態(tài)（如單向壓縮、三向壓縮等）也無(wú) 法應(yīng)用。2、最大拉應(yīng)變理論（最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論）設(shè)材料直至斷裂破壞都服從胡克定律，則材料在單向拉伸至斷裂時(shí)伸長(zhǎng)線應(yīng)變 極限值應(yīng)為u e。按照這一理論，只要最大拉應(yīng)變i達(dá)到極限值e材料就發(fā)生 斷裂。故得斷裂準(zhǔn)則為由廣義胡克定律，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下最大拉應(yīng)變?yōu)?11 V（ 23）E代入斷裂準(zhǔn)則,

21、1 v（ 23） b將b除以安全因數(shù)的許用應(yīng)力，按照第二強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件是1 V( 23)根據(jù)最大拉應(yīng)變理論建立的強(qiáng)度條件只適應(yīng)于材料直至斷裂破壞都服從胡克 定律的情況。該理論與石料、混凝土等脆性材料受軸向壓縮時(shí)沿垂直于壓力的方向 開(kāi)裂的現(xiàn)象是一致的。并且鑄鐵在拉-壓二向應(yīng)力，且壓應(yīng)力較大的情況下，試驗(yàn)結(jié) 果也與這一理論一致。3、最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）這一理論認(rèn)為最大切應(yīng)力是引起屈服的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論什么應(yīng)力狀態(tài)， 只要最大切應(yīng)力達(dá)到材料的某一極限值，材料發(fā)生屈服。該極限值就是試件在單向 拉伸試驗(yàn)中達(dá)到屈服時(shí)，與軸線成45的斜截面上的最大切應(yīng)力，即 S 2。2任意應(yīng)力狀態(tài)下最大

22、切應(yīng)力max，按照第三強(qiáng)度理論建將s除以安全因數(shù)得到許用應(yīng)力立的強(qiáng)度條件是試驗(yàn)表明，該理論與塑性材料出現(xiàn)塑性屈服的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象 相吻合。但該理論未考慮中間主應(yīng)力 2對(duì)材料屈服的影響, 且按照該理論計(jì)算的結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果相比是偏于安全的。4、形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）這一理論認(rèn)為形狀改變比能（畸變能）密度是引起屈服的主要因素?；兡?的極限值是通過(guò)單向拉伸實(shí)驗(yàn)求得。材料在單向拉伸下屈服時(shí)正應(yīng)力為s，相應(yīng)的畸變能密度為3（26ES）。在任意應(yīng)力狀態(tài)下，只要畸變能密d度達(dá)到（2 S）6E便引起材料的屈服。故得屈服準(zhǔn)則為1 v (2 2) d6E(2 S)。在任意應(yīng)力狀態(tài)下，d ；EV( 12)2 (

23、 23)2 ( 31)2整理后的屈服準(zhǔn)則為（ 12）（23）（31）2s2把s除以安全因數(shù)的許用應(yīng)力，于是按第四強(qiáng)度理論得到的強(qiáng)度條件是:2)2 ( 23)2(31)試驗(yàn)表明，該理論對(duì)于塑性材料如鋼、銅、鋁的薄管試驗(yàn)結(jié)果能較好吻合，且 比第三強(qiáng)度理論更能符合試驗(yàn)結(jié)果。把四個(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件寫(xiě)成以下統(tǒng)一形式：r式中，為材料的許用應(yīng)力；r為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下按不同強(qiáng)度理論，由三個(gè)主應(yīng)力按一定形式組合而成的應(yīng)力值，稱為相當(dāng)應(yīng)力。從第一強(qiáng)度理論到第四強(qiáng)度理論的順序，相當(dāng)應(yīng)力分別為：r1rr21 V(23)r313r4 1( 12)( 2 3)( 3 1這些強(qiáng)度理論均僅適用于常溫、靜載條件下的均質(zhì)、連續(xù)、

24、各項(xiàng)同性的材料。 一般情況下，對(duì)于鑄鐵、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，破壞通常表現(xiàn)為斷裂的 形式，故對(duì)脆性材料宜采用第一和第二強(qiáng)度理論。對(duì)于碳鋼、銅、鋁等塑性材料， 破壞時(shí)通常表現(xiàn)屈服的形式，因此對(duì)于塑性材料宜采用第三和第四強(qiáng)度理論。即使是同一材料，其破壞形式也會(huì)隨應(yīng)力狀態(tài)的不同而不同。例如，低碳鋼材 料的試件在單向拉伸下以屈服的形式失效，但在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，且三個(gè)主應(yīng) 力值接近時(shí)，發(fā)生脆性斷裂。又如，鑄鐵單向受拉時(shí)以斷裂的形式失效，但將淬火 后的鋼球壓在鑄鐵板上，接觸點(diǎn)附近的材料處于三向受壓狀態(tài)，隨著壓力的增大， 鑄鐵板會(huì)出現(xiàn)明顯的凹坑，引起塑性變形。以上例子說(shuō)明材料的失效形式是與應(yīng)力

25、狀態(tài)有關(guān)的。無(wú)論是塑性或是脆性材料，在三向拉應(yīng)力相近的情況下，都以斷裂的 形式失效，宜采用第一或第二強(qiáng)度理論。在三向壓應(yīng)力相近的情況下，都可以引起 塑性變形，宜采用第三或第四強(qiáng)度理論。例題D=1m，壁厚 10mm，160MPa，試校核該容器1.由Q235鋼制成的兩端封閉的圓柱形薄壁容器，外徑 容器內(nèi)承受蒸汽內(nèi)壓p=3MPa, Q235鋼的許用應(yīng)力為 壁的強(qiáng)度。D19解：（1）圓筒橫截面上的正應(yīng)力3 10血嚴(yán) 75MPa4 1 10 mP竺 F 4 PD A DT（2）圓筒縱向截面上的應(yīng)力由圓筒及其受力的對(duì)稱性可知，所有過(guò)圓筒軸線的縱向截面都是對(duì)稱面，縱向 截面上切應(yīng)力為零，只有正應(yīng)力 。由于圓

26、筒壁厚遠(yuǎn)小于直徑，可認(rèn)為正應(yīng)力 沿 壁厚均勻分布?，F(xiàn)從圓筒中取出一端相距 I的圓環(huán)，并沿直徑方向截開(kāi)，取其上部 分，由平衡條件得：2 II pID 06PD 3 10 Pa 1m在圓筒壁上任取一點(diǎn) 向應(yīng)力狀態(tài)，并且 和2 2 1 10A周?chē)厝卧w, 皆為主應(yīng)力。150 MPa 22 150MPa m忽略內(nèi)壁的壓強(qiáng)P作用，于是得到二75MPa（3）強(qiáng)度校核用第三強(qiáng)度理論進(jìn)行校核:r311500 150MPa 。薄壁圓筒滿21足第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件。用第四強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核:r42( 12)2( 23)2( 31)2.1（150 75）一工字形截面簡(jiǎn)支梁受力如圖，工字形截面尺寸由圖給出，已

27、知鋼的許用應(yīng) 170MPa，100MPa。試全面校核該梁的強(qiáng)度。 （75 0） （0 150）2 1012 2130MPa所以薄壁圓筒也滿足第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件。解:(1) 作梁的剪力圖和彎矩圖。在截面 c、D處彎矩和剪力都是最大。所以 C、D是危險(xiǎn)截面。其彎矩和剪力分別為 Mmax 100kN mFQmax 100kN(2) 校核彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度先計(jì)算橫截面對(duì)中性軸z軸的慣性矩Iz 11075.5 10-8m4最大正應(yīng)力發(fā)生在C、D截面的上下邊緣各點(diǎn)，其值為:maxmax y max100 10316 10 211075.5 10144.5MPa170MPa，滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。(3) 校核

28、切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算橫截面上中性軸以下面積對(duì)中性軸 z軸的靜矩S；max 403.33 10-6m3*F S*危險(xiǎn)截面上中性軸上的最大切應(yīng)力為max Qmax38.3MPa 100MPaIzb滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。(4) 校核主應(yīng)力在危險(xiǎn)截面C和D，距中性軸最遠(yuǎn)的上下邊緣處有最大正應(yīng)力， 在中性軸上有最大切應(yīng)力，通過(guò)上面的計(jì)算這兩處的強(qiáng)度是滿足要求的。但是在截面C、D上內(nèi)力M、Fq具有最大值。而且在截面腹板和翼緣交接處正應(yīng)力和切應(yīng)力都相當(dāng)大， 故該點(diǎn)的主應(yīng)力也就較大，有可能是造成梁破壞的危險(xiǎn)點(diǎn)，所以有必要選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng) 度理論對(duì)截面腹板和翼緣交接處各點(diǎn)進(jìn)行主應(yīng)力校核。為此，考慮a點(diǎn)，圍繞a點(diǎn)沿橫截面和水

29、平截面截出一個(gè)單元體，其橫截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別求出:32護(hù) 100 10 仏5 10130.9MPa*FQmax SZ11075.5 10 8100 103 298 10 611075.5 10 8Izb其中sZ是截面的下翼緣面積對(duì)中性軸的靜矩,0.95磧283MPa* 2 2Sz 13.0 101.50 10(14.526310298 10 ma點(diǎn)處于二向應(yīng)力狀態(tài)，則3130.9 106xy、222)xy(1309 106)2(28.3 106)2136.8MPa5.9MPa因?yàn)樵摴ぷ咒撌撬苄圆牧?，采用第三?qiáng)度理論進(jìn)行校核：r3 13136.8 （5.9）142.7MPa采用第四強(qiáng)度理論進(jìn)行校核：r4 . 1（ 12）2 （ 23）2 （ 31）2. 2 3 2 139.8MPaV 2滿足強(qiáng)度條件，所以該梁式安全的。四、莫爾強(qiáng)度理論莫爾強(qiáng)度理論是以各種應(yīng)力狀態(tài)下材料的破壞試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)建立的。單向拉伸試驗(yàn)時(shí)，材料失效時(shí)橫截面上的應(yīng)力為屈服點(diǎn)s或抗拉強(qiáng)度b，在平面，以s或b為直徑作應(yīng)力圓，稱