7-第七章應力狀態(tài)分析強度理論

1、第七章應力狀態(tài)分析強度理論7.1應力狀態(tài)概述1、工程實例1. 壓縮破壞2. 彎曲拉伸破壞3. 彎曲剪切破壞4. 鑄鐵扭轉破壞5低碳鋼扭轉破壞斜冋主；:;n 才拉應力垂直裂縫斜裂縫、應力狀態(tài)的概念1點的應力狀態(tài)過一點所作各斜截面上的應力情況，即過一點所有方位面上的應力集合。2. 一點應力狀態(tài)的描述以該點為中心取無限小三對面互相垂直的六面體（單元體）為研究對象，單元 體三對互相垂直的面上的應力可描述一點應力狀態(tài)。3. 求一點應力狀態(tài)（1）單元體三對面的應力已知，單元體平衡（2）單元體任意部分平衡（3）截面法和平衡條件求得任意方位面上的應力，即點在任意方位的應力三、應力狀態(tài)的分類1. 單元體：微小正

2、六面體2. 主平面和主應力：主平面：無切應力的平面主應力：作用在主平面上的正應力3. 三種應力狀態(tài)單項應力狀態(tài)：三個主應力只有一個不等于零，如 A、E點 二向應力狀態(tài)：三個主應力中有兩個不等于零，如 B、D點 三向應力狀態(tài)：三個主應力都不等于零四、應力狀態(tài)分析的方法1. 解析法2. 圖解法7.2應力狀態(tài)分析的解析法、解析法圖示單元體，已知應力分量xy和yx oyy八yyxxy（一）任意截面上的正應力和切應力：利用截面法，考慮楔體bef部分的平衡。設ef面的面積為dA，Fn0dA ( xydA cos )sin(xdA cos)cos(yxdA sin)cos(ydAsin)sin0Ft0dA

3、( xydA cos )cos(xdA cos)si n(ydA sin)cos(yxdAsin)sin0根據切應力互等定理：xyy x三角函數關系：cos21cos 22 sin1 cos 2sin 22 sin cos2 ，2 ，解得：xyxcos 2xySin2（7-1）22x2sin 2xy cos 2（7-2）nbyx（二）主應力即主平面位置將式（8-1）對取一次導數，并令其等于零可確定正應力的極值和所在平面的位置-si n2xy C0S2 o令0時，F 0即:tan2 0xy9x y2 xy0 90代入（8-1），求出最大及最小的正應力為:max min（三）最大切應力及其作用平面

4、的位置將式（8-2）對 取一次導數，并令其等于零可確定切應力的極值和它所在平面的 位置。令1時，-J一0即：ta n2 1dxy2 xymax(xy )222)xymin所以有:2 12 0 ， 1 024即最大和最小切應力所在平面與主平面的夾角為45例題1.如圖a所示受力桿件內單元體各面上的應力分量。試用解析法求出單元體在30傾斜面上的應力，主應力的大小并確定主平面的方位。yb)解：(1)斜截面上的應力如圖a,有:50MPa，100MPa xyxy70MPa30所以,30-cos 2xy sin 250 100250 1002cos6070 si n6073.1MPa30-sin 2xy c

5、os 250 100 .sin6070cos6030MPa(2)主應力及主平面的方向maxmin主應力為y)22xy77.6MPa，2 0MPa，77.6MPa 或 127.6MPa3127.6MPa2 xy2 ( 70)tan2 00.933xy 50 100（3）主平面位置為021.5或0 111.5，即主平面外法線與x軸的夾角為21.52.已知圓軸直徑d=15mm,在外力偶Me100 N m作用下，發(fā)生扭轉。試分析圓或111.5 （見圖b）,該單元體是主單元體。軸表面上A點的應力狀態(tài)，并分析鑄鐵試件受扭時的破壞現象。a)Mt 16M eWpd316 100N m333.14 (0.015

6、) m150.97MPa在A點周圍截取單元體，單元體各面上的應力如圖b，所以,maxminxx y2y)2, xy2xy150.97MPa（2）主應力為1150.97MPa, 20, 3150.97MPatan2 02 xy主平面位置為:2 o 902 o 270或0450135(3)由上分析可知，圓軸扭轉時表面上各點均處于純剪切應力狀態(tài)，而且各點max所在的平面連成一個傾角為45的螺旋面，由于鑄鐵抗拉強度低，試件將 沿這一螺旋面上因抗拉能力不足而發(fā)生斷裂破壞。二、主應力跡線 Liari1 2,3*.45mq13313BA11方向b)c)梁在橫力彎曲時，除橫截面上、下兩邊緣各點均處于單向拉伸或

7、壓縮外，橫截 面其他各點處的正應力就不是主應力。 現利用應力圓來確定這些點處主應力的數值 和主平面的位置。如圖a,表示一個受均布荷載q作用的矩形截面梁，在梁的某一 橫截面m-n上，圍繞2、4兩點各取出一個單元體。設此橫截面上的剪力和彎矩都 是正值，則此二單元體各面上的應力狀態(tài)如 b圖所示。單元體的x平面是梁的橫截*面。其上的正應力x 和切應力xy F。單元體的y平面是梁的水平縱截面，IzI zb其上的y 0 , xy和yx等值反號。根據這些已知應力，就可以作出相應的應力圓。 求出梁截面上一點主應力方向后，把其中一個主應力的方向延長與相鄰橫截面相 交，求出交點的主應力后，再將其延長線與下一個相鄰

8、橫截面相交，依次類推，所 做出的折線。折線上任一點的切線方向表示該點的主應力方向。梁內任意一點的主應力的表達式為：3 J 2） xy由上式知，梁內任意一點處的兩個主應力必然一個為拉應力，另一個為壓應力， 兩者的方向任意垂直。所以在梁的 xy平面內可以繪制兩組正交的曲線，在一組曲 線上每一點處切線的方向是該點處主應力i （拉應力）的方向，而在另一組曲線上每一點處切線的方向則為主應力3 （壓應力）的方向。這樣的曲線稱為梁的主應力跡線，前者稱為主應力1跡線，后者則稱為主應力3跡線。如圖實線表示主應力1 跡線，虛線表示主應力 3跡線。由于主拉應力的存在，混凝土抗拉強度不足而沿著所在的主平面的方向開裂。

9、在 梁跨中的底部，主拉應力1方向是水平或接近水平的，所以裂隙方向是垂直的。在 兩端主拉應力1方向是傾斜的，所以裂隙也是與主應力正交而傾斜。正因為這樣， 在鋼筋混凝土受彎構件中，主要承受拉力的鋼筋應大致按照主應力1跡線來配置排列，以承擔梁內各點處的最大拉應力7.3應力狀態(tài)分析的圖解法、應力圓方程由式（7-1）應力與切應力均為（7-2）可知在二向應力狀態(tài)下，在法向傾角為的斜截面上的正的函數?，F消去，則有，ycos2xy sin 2x2以上兩式等號兩邊平方，然后相加，得-sin 2xy C0S2x y）22以橫坐標表示，以縱坐標表示，上式時一個以和2xy為變量的圓周方程，圓xy）2 xy。這一圓周稱

10、2 xy心的橫坐標為 一y ;縱坐標為零。圓的半徑為2為應力 圓。又稱摩爾應力圓，簡稱摩爾圓。、應力圓的作法以圖a所示單元體為例說明應力圓的做法。先建立 比例尺量取橫坐標 麗 xy，確定D 標的上下邊。連接直角坐標系，按一定OA x， AD xy,先確定D點（見圖B）。量取0B，根據前節(jié)符號規(guī)定，yx為負，所以D點與D點分別位于橫坐 D、D與橫坐標交于C點。以C點為圓心，CD為半徑作圓，顯 然圓心C的縱坐標為零，橫坐標為0D丄（OA OB）2-，所以，C點即是所以，圖b所作的這一圓周就是該單元體的應力圓y 1yx0)max ,0)應力圓的圓心。圓半徑CD . CA2 AD2 （x 2 y）2

11、xy三、應力圓的應用（一）二向應力狀態(tài)單元體與應力圓的對應關系1點面對應 應力圓上某一點的坐標值對應著單元體某一截面上的正應力和切 應力值。2. 二倍角對應 單元體上任意兩個斜截面的外法線之間的夾角若為，則對應在應力圓上代表該斜截面上應力的兩點之間的圓弧所對應的圓心角必為2 。3. 轉向對應 應力圓半徑旋轉時，半徑端點的坐標隨之改變，對應地，單元體上 斜截面的法線亦沿相同方向旋轉，才能保證斜截面上的應力與應力圓上半徑端點的 坐標相對應。（二）確定單元體斜截面上的應力根據以上的對應關系，可以從作出的應力圓確定單元體內任意斜截面那個的應力值。注意上圖a、b，若求法線n與x軸夾角為逆時針 角的斜截面

12、的應力 、： 則在應力圓上，從D點也按逆時針方向沿圓周轉到 E點，且使DE弧所對應的圓心 角2 ，則E點的坐標就代表以n為法線的斜面上的應力 、。證明：OF OC CEcos(2 02 )OC CEcos2 0cos2CEcos2 0sin2OF CEsin(2 02 )CEsin2 o cos 2CEcos2 o sin2因為CE CDCEcos2 0 CDcos2 o CA所以CEsin2 0 CDsin2 0 ADxyOF-cos 2xy sin 2FE-sin 2xycos2這就是式（7-1）（ 7-2），證畢（三）主應力的數值和主平面的方位由于應力圓上A!點的橫坐標（正應力）最大，縱

13、坐標（切應力）等于零，所以A!代表最大主應力，即：max OA! OC CA!同理，B!點表示最小正應力，即：min OB OC-C。OC是應力圓的圓心橫坐標，而CA!則和CB!都是應力圓的半徑，貝11maxminx y2在應力圓上有D點到Ai點所對圓心角為順時針的2 0，在單元體中由x軸也順時針量取0，這就確定了 max所在平面的法線位置,的0是負的,0應為負值，所以tan2ADCA按照關于 的符號規(guī)定，順時針2 xy（四）確定最大切應力及其作用平面位置由應力圓可知，Gi和G2兩點的縱坐標分別代表最大和最小切應力。因為CGi和2 xyCG2都是應力圓的半徑，故有maxmin在應力圓上，由Ai

14、到Gi所對圓心角為逆時針主平面的2，所以在單元體內，最大切應力所在平面與max所在主平面的夾角為逆時針的4。也可以在應力圓上直接標出主應力的方向、主平面的位置和最大切應力平面的方 向。如下圖c所示，只需延長直線DA與圓周交于另一點K，連KAi，它就是與max 所在的主平面平行的方向，連 KBi，即為max的方向。因為D、K兩點是對稱于x 軸的，所以，KAi DAi, AiCKAiCD 2。，由于 AiBjK和 AQK分別是同1一圓弧所對的圓周角和圓心角，因此AiBiK -（2 0）0，于是由AiK和BiK兩線的方向，就能畫出主平面單元體，明確地表明了主平面和主應力的方向。同理,方向maxmin

15、m axminxmaxc)從應力圓1逆時針轉銳角到最大剪應力，引出剪應力趨向法例題：試用應力圓求出下圖所示單元體在0 30斜截面上的應力，主應力的大小并確定主平面的方位。7.4廣義胡克定律、廣義胡克定律在第二章討論了單向拉伸或壓縮時，由各向同性材料在線彈性范圍之內的應力 應變關系的實驗結果，得到單向應力狀態(tài)下應力與應變的關系是：E 或 -（a）此外，軸向的變形還將引起橫向尺寸的變化，橫向應變還可以表示vV|，其中，V為材料的泊松比。（b ）在純剪切的情況下，實驗結果表明，在線彈性范圍之內，切應力和切應變之間 的關系是（C）在最普遍的情況下，描述一點的應力狀態(tài)需要九個應力分量,如圖根據切應力互等

16、定理，在九個應力分量中，獨立的應力分量只有六個，即xy、 xz、yz。這種普遍情況可以看做三組單向應力和三組純剪切的組合對于各向同性材料，當變形很小且在線彈性范圍之內時，線應變只與單向應力有關, 而與切應力無關；切應變只與切應力有關，而與正應力無關。如在利用（a）（b） （c）三式求出應力分量各自對應的應變，然后進行疊加y、 z共同作用下得到X方向的線應變：x 一 y 一 zxxxx e v e v e同理，可以求出沿y和z方向的線應變，所以有丄x Ey Ez EE X v( yv(v(v(z)(7-11)同時在xy、yz和zx三個面內的切應變分別為：xyxyyzyzG，zxzxG(7-12)

17、式（7-11）和式（7-12）稱為一般應力狀態(tài)下的廣義胡克定律。當單元體的三個主應力已知時，廣義胡克定律化為其中3分別為沿著正應力 x、 yz方向的主應變。1v(3）112E21E 2v(13）31E 3v(21）xy0，yz0zx0、體積胡克定律如右圖所示單元體，邊長分別是 dx、dy、dz 變形前單元體體積：1V dxdydz變形后三個棱邊分別為dx1dx(11dx)dy2dy(12dy)dz3dz(13dz)則變形后體積為Vi (11)(12)(13)dxdydz展開上式，并略去含高階微量的各項，得:V1(1123)dxdydz單位體積的體積改變?yōu)閂 12改寫為其中(1-2v)(13(1

18、- 2v)3(1-2v)3)23)31233K稱為體積彈性模量,是三個主應力的平均值。例題1. 如圖所示槽形剛體，其內放置一邊長為a 10mm的鋼塊，鋼塊頂面承受合力為F 8kN的均布壓力作用，試求鋼塊的三個主應力，已知材料的彈性模量 E 200GPa，泊松比 v 0.3。F2.如圖所示的薄壁圓筒，壁厚10mm、外徑D 60mm，在表面A處與其軸線成45和135角即xy方向分別貼上應變片。然后在圓筒兩端作用外力偶矩M。，已知材料的彈性模量E 200GPa，泊松比v 0.3，若該圓筒的變形在彈性范圍之內， 且泊松比max 80MPa。試求圓筒A處的線應變x和y以及變形后筒壁的厚度。Me-DydA

19、7.5 強度理論、失效：屈服和斷裂材料在靜載作用下失效的形式主要有兩種： 一種是斷裂破壞，如鑄鐵在拉伸時, 沒有顯著地塑性變形就發(fā)生突然斷裂；另一種是屈服破壞，如低碳鋼在拉伸時，發(fā) 生顯著地塑性變形，并出現明顯的屈服現象。二、強度理論：材料按某種方式（屈服和斷裂），是應力、應變或變形能等因數中某一因數引 起的，無論是簡單或復雜應力狀態(tài)，引起失效的因數是相同的，而與應力狀態(tài)無關。 引起構件失效的假定因數的理論即強度理論。三、四種常用的強度理論1、最大拉應力理論（第一強度理論）最大拉應力是引起斷裂的主要因素。無論是什么應力狀態(tài)，只要最大拉應力! 達到材料單向拉伸時的抗拉強度b就導致斷裂。按第一強度

20、理論建立的強度條件為：b1 ，n其中， 為許用應力，n為安全因數試驗表明，該理論適用于解釋脆性材料的受拉斷裂 破壞，如鑄鐵在單向拉伸下，斷裂發(fā)生于拉應力最大的 橫截面。脆性材料的扭轉也是沿拉應力最大的斜截面發(fā) 生斷裂。但這一理論沒有考慮其他兩個應力的影響， 且 對沒有拉應力的狀態(tài)（如單向壓縮、三向壓縮等）也無 法應用。2、最大拉應變理論（最大伸長線應變理論）設材料直至斷裂破壞都服從胡克定律，則材料在單向拉伸至斷裂時伸長線應變 極限值應為u e。按照這一理論，只要最大拉應變i達到極限值e材料就發(fā)生 斷裂。故得斷裂準則為由廣義胡克定律，復雜應力狀態(tài)下最大拉應變?yōu)?11 V（ 23）E代入斷裂準則,

21、1 v（ 23） b將b除以安全因數的許用應力，按照第二強度理論建立強度條件是1 V( 23)根據最大拉應變理論建立的強度條件只適應于材料直至斷裂破壞都服從胡克 定律的情況。該理論與石料、混凝土等脆性材料受軸向壓縮時沿垂直于壓力的方向 開裂的現象是一致的。并且鑄鐵在拉-壓二向應力，且壓應力較大的情況下，試驗結 果也與這一理論一致。3、最大剪應力理論（第三強度理論）這一理論認為最大切應力是引起屈服的主要因素。即認為無論什么應力狀態(tài)， 只要最大切應力達到材料的某一極限值，材料發(fā)生屈服。該極限值就是試件在單向 拉伸試驗中達到屈服時，與軸線成45的斜截面上的最大切應力，即 S 2。2任意應力狀態(tài)下最大

22、切應力max，按照第三強度理論建將s除以安全因數得到許用應力立的強度條件是試驗表明，該理論與塑性材料出現塑性屈服的實驗現象 相吻合。但該理論未考慮中間主應力 2對材料屈服的影響, 且按照該理論計算的結果和試驗結果相比是偏于安全的。4、形狀改變比能理論（第四強度理論）這一理論認為形狀改變比能（畸變能）密度是引起屈服的主要因素。畸變能 的極限值是通過單向拉伸實驗求得。材料在單向拉伸下屈服時正應力為s，相應的畸變能密度為3（26ES）。在任意應力狀態(tài)下，只要畸變能密d度達到（2 S）6E便引起材料的屈服。故得屈服準則為1 v (2 2) d6E(2 S)。在任意應力狀態(tài)下，d ；EV( 12)2 (

23、 23)2 ( 31)2整理后的屈服準則為（ 12）（23）（31）2s2把s除以安全因數的許用應力，于是按第四強度理論得到的強度條件是:2)2 ( 23)2(31)試驗表明，該理論對于塑性材料如鋼、銅、鋁的薄管試驗結果能較好吻合，且 比第三強度理論更能符合試驗結果。把四個強度理論的強度條件寫成以下統(tǒng)一形式：r式中，為材料的許用應力；r為復雜應力狀態(tài)下按不同強度理論，由三個主應力按一定形式組合而成的應力值，稱為相當應力。從第一強度理論到第四強度理論的順序，相當應力分別為：r1rr21 V(23)r313r4 1( 12)( 2 3)( 3 1這些強度理論均僅適用于常溫、靜載條件下的均質、連續(xù)、

24、各項同性的材料。 一般情況下，對于鑄鐵、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，破壞通常表現為斷裂的 形式，故對脆性材料宜采用第一和第二強度理論。對于碳鋼、銅、鋁等塑性材料， 破壞時通常表現屈服的形式，因此對于塑性材料宜采用第三和第四強度理論。即使是同一材料，其破壞形式也會隨應力狀態(tài)的不同而不同。例如，低碳鋼材 料的試件在單向拉伸下以屈服的形式失效，但在三向拉伸應力狀態(tài)下，且三個主應 力值接近時，發(fā)生脆性斷裂。又如，鑄鐵單向受拉時以斷裂的形式失效，但將淬火 后的鋼球壓在鑄鐵板上，接觸點附近的材料處于三向受壓狀態(tài)，隨著壓力的增大， 鑄鐵板會出現明顯的凹坑，引起塑性變形。以上例子說明材料的失效形式是與應力

25、狀態(tài)有關的。無論是塑性或是脆性材料，在三向拉應力相近的情況下，都以斷裂的 形式失效，宜采用第一或第二強度理論。在三向壓應力相近的情況下，都可以引起 塑性變形，宜采用第三或第四強度理論。例題D=1m，壁厚 10mm，160MPa，試校核該容器1.由Q235鋼制成的兩端封閉的圓柱形薄壁容器，外徑 容器內承受蒸汽內壓p=3MPa, Q235鋼的許用應力為 壁的強度。D19解：（1）圓筒橫截面上的正應力3 10血嚴 75MPa4 1 10 mP竺 F 4 PD A DT（2）圓筒縱向截面上的應力由圓筒及其受力的對稱性可知，所有過圓筒軸線的縱向截面都是對稱面，縱向 截面上切應力為零，只有正應力 。由于圓

26、筒壁厚遠小于直徑，可認為正應力 沿 壁厚均勻分布?，F從圓筒中取出一端相距 I的圓環(huán)，并沿直徑方向截開，取其上部 分，由平衡條件得：2 II pID 06PD 3 10 Pa 1m在圓筒壁上任取一點 向應力狀態(tài)，并且 和2 2 1 10A周圍截取單元體, 皆為主應力。150 MPa 22 150MPa m忽略內壁的壓強P作用，于是得到二75MPa（3）強度校核用第三強度理論進行校核:r311500 150MPa 。薄壁圓筒滿21足第三強度理論的強度條件。用第四強度理論進行強度校核:r42( 12)2( 23)2( 31)2.1（150 75）一工字形截面簡支梁受力如圖，工字形截面尺寸由圖給出，已

27、知鋼的許用應 170MPa，100MPa。試全面校核該梁的強度。 （75 0） （0 150）2 1012 2130MPa所以薄壁圓筒也滿足第四強度理論的強度條件。解:(1) 作梁的剪力圖和彎矩圖。在截面 c、D處彎矩和剪力都是最大。所以 C、D是危險截面。其彎矩和剪力分別為 Mmax 100kN mFQmax 100kN(2) 校核彎曲正應力強度先計算橫截面對中性軸z軸的慣性矩Iz 11075.5 10-8m4最大正應力發(fā)生在C、D截面的上下邊緣各點，其值為:maxmax y max100 10316 10 211075.5 10144.5MPa170MPa，滿足正應力強度條件。(3) 校核

28、切應力強度計算橫截面上中性軸以下面積對中性軸 z軸的靜矩S；max 403.33 10-6m3*F S*危險截面上中性軸上的最大切應力為max Qmax38.3MPa 100MPaIzb滿足切應力強度條件。(4) 校核主應力在危險截面C和D，距中性軸最遠的上下邊緣處有最大正應力， 在中性軸上有最大切應力，通過上面的計算這兩處的強度是滿足要求的。但是在截面C、D上內力M、Fq具有最大值。而且在截面腹板和翼緣交接處正應力和切應力都相當大， 故該點的主應力也就較大，有可能是造成梁破壞的危險點，所以有必要選擇適當的強 度理論對截面腹板和翼緣交接處各點進行主應力校核。為此，考慮a點，圍繞a點沿橫截面和水

29、平截面截出一個單元體，其橫截面上的正應力和切應力分別求出:32護 100 10 仏5 10130.9MPa*FQmax SZ11075.5 10 8100 103 298 10 611075.5 10 8Izb其中sZ是截面的下翼緣面積對中性軸的靜矩,0.95磧283MPa* 2 2Sz 13.0 101.50 10(14.526310298 10 ma點處于二向應力狀態(tài)，則3130.9 106xy、222)xy(1309 106)2(28.3 106)2136.8MPa5.9MPa因為該工字鋼是塑性材料，采用第三強度理論進行校核：r3 13136.8 （5.9）142.7MPa采用第四強度理論進行校核：r4 . 1（ 12）2 （ 23）2 （ 31）2. 2 3 2 139.8MPaV 2滿足強度條件，所以該梁式安全的。四、莫爾強度理論莫爾強度理論是以各種應力狀態(tài)下材料的破壞試驗結果為依據建立的。單向拉伸試驗時，材料失效時橫截面上的應力為屈服點s或抗拉強度b，在平面，以s或b為直徑作應力圓，稱