(完整版)勾股定理專題(附答案,全面、精選)

1、初中數(shù)學(xué)第4頁勾股定理、探索勾股定理【知識點1】勾股定理定理內(nèi)容：在RT中，勾股定理的應(yīng)用：在 RT中，知兩邊求第三邊，關(guān)鍵 在于確定斜邊或直角典型題型1、對勾股定理的理解(7)如圖(2),三角形中未知邊 x與y的長度分別是x= ,y=。(8)在 RtA ABC 中，/ C= 90 °，若 AC= 6，BC= 8， 則AB的長為()A、6B、8C、10(9)在直線|上依次擺放著七個正方形 已知斜放置的三個正方形的面積分別是D、12(如圖4所示)。1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是$、S2、S3、S4，則 S1S4=S2S3a, b,斜邊 )B、c2- b2=a2D、a2+b2

2、= c2A=90°,則下列各式中不成B、BC2- AC2=AB2D、AC2+BC2= AB2AB=10 cm, BC=8 cm已知直角三角形的兩條直角邊長分別為c的關(guān)系不成立的是(1)長c,則下列關(guān)于a,b,A、c2- a2=b2C、a2- c2=b2(2) 在直角三角形中，/立的是()A、BC2- AB2=AC2C、AB2+AC2= BC22、應(yīng)用勾股定理求邊長(3) 已知在直角三角形求AC的長.【知識點2】勾股定理的驗證ABC 中,(4)在直角中，若兩直角邊長為a、b，且滿足6a+ 9 + |b- 4| = 0，則該直角三角形的斜邊長為.推導(dǎo)勾股定理的關(guān)鍵在于找面積相等，由面積之

3、間 的等量關(guān)系并結(jié)合圖形利用代數(shù)式恒等變形進(jìn)行推導(dǎo)。(等積法)拼圖法推導(dǎo)一般步驟：拼岀圖形 -找岀圖形面積的 表達(dá)式-恒等變形一推出勾股定理。(10)用四個相同的直角三角形(直角邊為a、b，斜邊為c)按圖拼法。問題：你能用兩種方法表示下圖的面積嗎？對比兩 種不同的表示方法，你發(fā)現(xiàn)了什么？3、利用勾股定理求面積(5)已知以直角的三邊為直徑作半圓，其中兩個半圓的面積為25 n，16 n，求另一個半圓的面積。(6)如圖(1)，圖中的數(shù)字代表正方形的面積，則正方形A的面積為(11)用兩個完全相同的直角三角形(直角邊為a、b，斜邊為c)按下圖拼法， 論證勾股定理a2 b23、運用勾股定理進(jìn)行計算(重難點

4、)(12)如圖，一根旗桿在離地面 9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米 處,旗桿折斷前有多高？I. 12 饋1(13)兩棵之間的距離為8m,兩棵樹的高度分別為 8m、2m , 只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，這只小鳥至少要飛多少米？【培優(yōu)突破】1、折疊問題(1) 如圖是一張直角三角形的紙片， 兩直角邊AC=6cm、BC=8cm,現(xiàn)將ABC折疊，使點 B 與點A重合，折痕為 DE,貝U BE的 長為()A、4cmB、5cmC 6cmD、 10cm(2)如圖，折疊長方形的一邊AD,使點D落在BC邊【基礎(chǔ)檢測】1、在 RtAABC中，/ C= 90°,若 AB= 13, B

5、C= 5，則AC的長為()A.5B.12C.13D.182、已知 RtAABC中，/ C= 90°，若 a b 14cm,C 10 cm ,_則RtA ABC的面積為()A . 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm23、若 ABC中，/ C=90°,(1 )若 a = 5, b=12，則 c =;(2 )若 a =6, c =10,則 b =;(3) 若 a : b=3 : 4, c =10,貝U a=, b=。4、如圖，陰影部分是一個半圓，則陰影部分的面積為。(不取近似值)上的點F處，已知 AB=8cm, BC=10cm,求線段 EC的值2、運用

6、勾股定理解決生活中的實際問題(3) 如圖，為了測得小水坑兩邊A點和B點之間的距離，一個觀測者在C點設(shè)樁，使/ ABC=90°,并測得AC=20m, BC=16m,則A、B兩點之間的距離是對少？5、一個直角三角形的斜邊為 20cm，且兩直角邊長度比為3 : 4,求兩直角邊的長。3、分類討論(已知直角的兩邊，求第三邊)(4) 在厶 ABC中，AB=15,AC=20, BC邊上的高 AD=12, 則BC的值為()A、25 B、7C、25或7 D、不能確定(5) 已知3,4, a是一個三角形的三邊長，若三角形為直角三角形，貝U a2的值是多少？6、一個長為10m為梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距

7、地 面的垂直高度為8m,梯子的頂端下滑2m后，底端向外 滑動了多少米？(6) 在直角 ABC中，AB=15,AC=20, BC邊上的高AD=12,則BC的值為多少？4、利用方程解題(7) 如圖，ABC中，/ C=90, D是BC上的一點，已 知 BD=7, AB=20, AD=15,求 AC 的長.初中數(shù)學(xué)（8）如圖，已知 ABC中，AB=AC=20 BC=32, D 是 BC 上一點，且AD丄AC,求BD的長?！九鄡?yōu)訓(xùn)練】一、選擇題1 .在 RtAABC 中,AB的距離是（/ C=90°, AC=9,)BC=12,則點C到36A 5B、12259C、4v3D 1-2 若三角形ABC

8、中，/c分別是/ A,Z B,Z C的對邊， 的是()A. a2+b2=c2 B. a2=2c2 C.A:Z B:/ C=2: 1: 1, a, b,則下列等式中，成立c2=2a2 D. c2=2b23.如圖，/ AOC=Z BOC,點 P在 0C上, PD丄OA 于點D, PE! OB 于點 E.若 0D=8, OP=10,A、C、PE的長為（B、64 .如圖在直角是AB邊的垂直平分線，垂足為 接ABC 中,BAC=9(°, AB=8, AC=6, DED,交邊BC于點E,連AE,則 AACE的周長為）A、16B、15C、14D、135.使AD邊與對角線如圖，矩形紙片A、ABCD中

9、，AB=4, AD=3,折疊紙片B、D、6 .已知ABC 中，AB=17, AC=10, BC 邊上的高 AD=8, 則邊BC的長為（）A、 21B、15 C 6 D、以上答案都不對7.如圖，在 RtMBC中，/ ACB=9（° , CD丄 AB于 D,已A、B、c、3 cm4 cm5 cmd、5 cmA. 30 B.40 C.50 D. 70C、28D、249 張大爺離家岀門散步，他先向正東走了 又向正南走了 40m，此時他離家的距離為10 .如圖在 ABC中/ C=90°, AD平分/BAC交 BC于 D,若 BC=64,且 BD:CD=9:7 ,則點D到AB邊的距離為

10、()A、 18B、 3211.如圖所示，是用4個全等的直角三角形與 1個小正 方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49 ,小正方形面積為4 ,若用x , y表示直角三角形的兩直角 邊（x>y）,下列四個說法：2 2x2+y2=49 , X- y = 2 ,2xy+4=49,x+y=9.其中說法正確的是（A、C、二填空題（共B、D、2小題）12.如圖,等腰是底邊上的高,若_則 AD= ABC 中,AB=ACAB=5cm , BC=6cm,cm .AD513 .如圖,直線L過正方形ABCD的頂點直線L的距離分別是1和2,則正方 形的邊長是 .B,點A、C到14、如圖所示， ABC是等

11、腰直角三角形，AB=AC, D是斜邊BC的中點，E、F分別是 AB、AC邊上的點，且DE丄 DF,若 BE=12, CF=5.求線段EF的長。B初中數(shù)學(xué)第16頁二、勾股定理的逆定理【知識點3】勾股定理的逆定理(1 )如果的三邊a, b, C滿足關(guān)系滿足，則該為直角三角形。(2) 的三邊a, b, c,假設(shè)c為最長邊 ? + ? > ?，則該為三角形 ? + ? < ?，則該為三角形(3 )勾股定理逆定理的用途典型題(1) 下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角 若三角形三條邊的長分別是 7, 24, 25,則這個三角形的最大內(nèi)角是度。 已知三角形三邊的比為1:3 : 2，則其

12、最小角為。【知識點4】勾股數(shù)(1) 勾股數(shù)是正整數(shù)(2) 滿足的關(guān)系條件？+?= ?(3) 勾股數(shù)的n倍(n工0),仍然滿足? + ? = ?(4) 常見勾股數(shù)三角形的是()A. 4, 5, 6B. 2, 3,4C. 11, 12, 13D.8, 15,17(2)若線段a ,b ,c組成直角三角形，則它們的比為()A、2 : 3 : 4B、3 : 4:6C、5 : 12 ： 13D、4 : 6:7(3)下面的三角形中：厶 ABC 中，/ C=Z A-Z B;厶 ABC中，Z A:Z B:Z C=1:2 : 3;三、勾股定理的應(yīng)用1、與圖形展開的有關(guān)計算(注意展開方式)(1)某樓梯的側(cè)面視圖如圖

13、 3所示，其中二£二丄米,一，'_ ，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為.厶ABC中，三邊長分別為8,15,17.其中是直角三角形的個數(shù)有()個.A. 1B. 2C.3D.4(4)若三角形的三邊之比為V2 :2 °11，則這個三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C .等腰直角三角形D.不等邊三角形厶 ABC 中，a： b: c=3: 4: 5;(5) 已知 a，b，c ABC三邊，且滿足(？-?) ( ? + ? - ?) = 0則它的形狀為()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(6 )將直角

14、三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù)，得到的三角形是()A .鈍角三角形B.銳角三角形C. 直角三角形D.等腰三角形(7)若厶ABC的三邊長分別長a,b,c，且滿足?+? +?+ 200 = 12 a+ 16b + 20?, 試判斷 ABC的形狀。(8) ABC的兩邊分別為5, 12,另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則 c應(yīng)為，此三角形為。棱長為1的正方體ABCD A' B' C從頂點A到頂點C'的最短距離.(2)如圖，在D '的表面上，求(3)如圖一個圓柱，底圓周長 6cm，高4cm, 只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到B點，則最少要爬行cm(9)求:(4) 國

15、家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀, 目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊 A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計 劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè) 方案，如圖實線部分請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方 案最省電線.(3) 如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市 正南方向260km的B處有一臺風(fēng)中心，沿 BC方向以 15km/h的速度向D移動，已知城市 A至U BC的距離 AD=100km. 那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？ 如果在距臺風(fēng)中心 30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受 到臺風(fēng)的破壞的危險，正在 D點休閑的游人在接到臺風(fēng) 警報后的幾小時

16、內(nèi)撤離才可脫離危險？C. 2D. 32、航海問題(1 )一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行， 另一艘船同時以12海里/時的速度從A港向西北方向航 行，經(jīng)過1.5小時后，它們相距 海里(2) 如圖，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物 資從A處運往正東方向的 M處，在點A處測得某島C 在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處， 此時又測得該島在北偏東 30 °的方向上，已知在C島周 圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該 貨船有無暗礁危險？試說明理由。3、網(wǎng)格問題(1)如圖1,正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為 1， 則網(wǎng)格上的三角形 ABC

17、中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是()A. 0B. 1L 北%峑A日J(rèn)M 一(2)如圖2，正方形網(wǎng)格中的為1，則 ABC是 (A.、直角三角形C鈍角三角形 ABC 若小方格邊長)B、銳角三角形D、以上答案都不對(3)如圖，小方格都是邊長為 的面積是()A. 25B. 12.5C. 9D. 8.51的正方形，則四邊形ABCD(4) 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求 畫三角形：使三角形的三邊長分別為 3、v8、v5 (在圖甲中畫一 個即可)；使三角形為鈍角三角形且面積為4 (在圖乙中畫一個即可).(4) 如圖，在長方形 ABCD中，將 ABC沿AC

18、對折至 AEC位置，CE與AD交于點F。 試說明：AF=FC 如果AB=3, BC=4,求AF的長甲乙BC=8,將厶ABC折疊，使點則CD等于()2522A.B.4375C.D.-43B與點A重合，折痕為 DE,則圖中陰影部分面積為(5) 如圖2所示，將長方形 ABCD沿直線AE折疊，頂點D正好落在BC邊上F點處，已知 CE=3cmi, AB=8cm,4、折疊問題(1)如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6,(2 )如圖所示，已知ABC 中，/ C=90°，AB 的垂直平分線交BC于M，交AB于N，若AC=4, MB=2MC，求(3) 如圖，在長方形 ABCD中，DC=5,在D

19、C邊上存在 一點E，沿直線AE把厶ABC折疊，使點D恰好在BC邊 上,設(shè)此點為F，若厶ABF的面積為30，求折疊的厶AED 的面積(6) 如圖，將正方形 ABCD折疊，使頂點A與CD邊上 的點M重合，折痕交 AD于E,交BC于F,邊AB折疊 后與BC邊交于點G。如果M為CD邊的中點，求證：DE: DM: EM=3: 4: 5勾股定理參考答案一、探索勾股定理(1) C(2) D(3 )沒有確定斜邊的情況下，需要先確定斜邊。2 41邊呢？ BC邊上的高為12,不是15,所以BC一定是斜邊(7) 12,解：設(shè)DC=y,根據(jù)勾股定理有：AC1 2 3 = AB2 - (BD + y)2 = AD2 -

20、 y2，即202 - (7 + y) 2 = 152 - y2 解得：y=9AC=12(8) 7,解：作 AE丄BC與 E,設(shè) BD=X則 AE=12(4)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，b=4和a2 6a 90，解DE=16-x得a=3，根據(jù)勾股定理，斜邊=5(5)這類型題目(分別以直角三角形三邊所作的同類型 圖形，如正多邊形、半圓等)，均滿足(如圖中所示)S1=S2+S3 S3=9兀(6) 25(7) 10, 12(8) C,斜邊 AB=10(9 )4,根據(jù)全等三角形和勾股定理，S1+S2=1 S2+S3=2DC=32-x如圖，根據(jù)勾股定理有:AD2 = AE2 + DE2 = DC2 -AD2 = 1

21、22 + ( 16 - x) 2解得：x = 7AC2即=(32 - x) 2 - 202【培優(yōu)訓(xùn)練】S3+S4=3 S1+S2+S3+S4=1+3=42 1(10) s =(a + b)= 4 x ab + c2,2結(jié)論：a2 + b2 = c2(11) S = 1(a + b)( a + b) = 2 x1ab + c2結(jié)論：a2 + b2 = c2(12) h=9+V9 + 122 = 9 + 15 = 24 m(13) 10 m1、A,2、B3、B,4、A,5、C6、D,7、C三角形的面積計算如右圖,BC的長21或9【基礎(chǔ)檢測】8、A10、C11、B,充分利用完全平方公式與勾股定理的證

22、明12、413、v514、連接 AD, 則厶 BDEA ADF, 則厶 ADEA CDF, 則 AE=CF=5 AF=BE=12 二 EF=134、72 n5、12,16解：根據(jù)題意，本題中直角三角形三邊關(guān)系為3: 4: 5，三邊分別為 3x, 4x, 5x, 5x=206、 作如下輔助圖：BD=CE=10 AB=8,BC=2, AC=6根據(jù)勾股定理：AD=6,二、勾股定理的逆定理(1)(2)(3)(4)【培優(yōu)突破】AE=8DE=AE-AD=8-6=2 m典型題答案(1) D(2) C (3) D (4) C(5) C(6) C(7)直角三角形解：？+?+?+ 200 = 12 a+ 16b + (?- 12 a+ 36 ) +(?- 16b+64)20?+ ?-3 cm,注意翻折構(gòu)造全等，勾股定理12 mC,如右圖25或7,在沒有確定直角或斜邊的情況下，需要(5)討論確定斜邊。(6) 25 , AB 一定是直角邊，想想： BC是否一定是斜20?+ 100 = 02(a- 6)+( b -所以：a=6, b=8, c=