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1、格點(diǎn)型面積page 11 of 9例題精講板塊一正方形格點(diǎn)問題在一張紙上,先畫出一些水平直線和一些豎直直線,并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規(guī)定是1個(gè)單位),這樣在紙上就形成了一個(gè)方格網(wǎng),其中的每個(gè)交點(diǎn)就叫做一個(gè)格點(diǎn)在方格網(wǎng)中,以格點(diǎn)為頂 點(diǎn)畫出的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形,例如,右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個(gè)格點(diǎn)多邊形.那么,格點(diǎn)多邊形的面積如何計(jì)算?它與格點(diǎn)數(shù)目有沒有關(guān)系?如果有,這兩者之間的關(guān)系能否用計(jì)算 起來探討這些問題吧!用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn),L表示多邊形周界上的格點(diǎn),S表示多邊形面積,請(qǐng)同學(xué)們分析前幾個(gè)例 題的格點(diǎn)數(shù).我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:S N丄1 .這個(gè)規(guī)律就是畢克定理.2畢
2、克定理若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有 N個(gè)格點(diǎn),它的邊界上有 L個(gè)格點(diǎn),則它的面積為S N 1 .2【例1】用9個(gè)釘子釘成相互間隔為 1厘米的正方陣(如右圖)如果用一根皮筋將適當(dāng)?shù)娜齻€(gè)釘子連結(jié)起來就得到一個(gè)三角形, 這樣得到的三角形中, 面積等于1平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有多少?面積等于2平方厘米的三角形有多少個(gè)?【解析】面積等于1平方厘米的三角形有32個(gè).面積等于2平方厘米的三角形有 8個(gè).(1)面積等于1平方厘米的分類統(tǒng)計(jì)如下:底為2,高為13X 2=6(個(gè))底為2,高為13X 2=6(個(gè))3 X 2=6(個(gè))底為1,高為23X 2=6(個(gè))底為2,高為12X 2=4(個(gè))底為1,高為22 X 2=
3、4(個(gè))所以,面積等于 1平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有:6+6+6+6+4+4=32(個(gè))(2)面積等于2平方厘米的分類統(tǒng)計(jì)如下:3 X 2=6(個(gè))1X 2=2(個(gè))所以,面積等于 2平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有:6+2=8(個(gè))【例2】如圖,4 4的方格紙上放了 16枚棋子,以棋子為頂點(diǎn)的正方形有 個(gè).【解析】根據(jù)正方形的大小,分類數(shù)正方形共能組成五種大小不同的正方形(如右圖)1 1的正方形:9個(gè);2 2的正方形:4個(gè);3 3的正方形:1個(gè);以1 1正方形對(duì)角線為邊長的正方形:4個(gè);以1 2長方形對(duì)角線為邊長的正方形:2個(gè).故可以組成9 4 14 2 20(個(gè))正方形.【例3】判斷下列圖形哪些是格
4、點(diǎn)多邊形?【例4】如圖,計(jì)算各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積.+廠1f"A* + *X - 【解析】本題所給的圖形都是規(guī)則圖形,它們的面積運(yùn)用公式直接可求,只要判斷出相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)就行了.方法一:圖 是正方形,邊長是 4,所以面積是4 4 16(面積單位);圖是矩形,長是5,寬是3,所以面積是5 3 15(面積單位); 圖是三角形,底是5,高是4,所以面積是5 4 210(面積單位);圖是平行四邊形,底是 5,高是3,所以面積是5 3 15(面積單位); 圖是直角梯形,上底是 3,下底是5,高是3,所以面積是(3 5)3 2 12(面積單位); 圖是梯形,上底是3,下底是6,高是4,所以面積是(
5、3 6)4 2 18(面積單位)【鞏固】如果兩格點(diǎn)之間的距離是2,能利用剛計(jì)算的結(jié)果說出相應(yīng)面積么?(教師總結(jié):面積數(shù)值均擴(kuò)大 4倍.)方法二:以上部分圖形除了利用各自的面積公式直接求出外,我們還可以從推導(dǎo)它們的面積公式過程中得到啟發(fā),即用“割補(bǔ)法”或“擴(kuò)展法”分別轉(zhuǎn)化成長方形來求這一種方法很重要, 在下面的題目中我們還將使用這種方法!如圖,我們利用“擴(kuò)展法”將其轉(zhuǎn)化,如圖所示,從圖中易知三角形面積是長方形面積 的一半.女口圖,我們利用“割補(bǔ)法”將其陰影部分面積平移到右邊,轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形,從中易 得平行四邊形面積同理,圖、也可利用同樣的思想.【例5】【解析】方法一(擴(kuò)展法)這是個(gè)三角形,雖然
6、有三角形面積公式可用,但判斷它的底和高卻十分困難,只能另想別的辦法:這個(gè)三角形是處在長是6、寬是4的矩形內(nèi),除此之外還有其他三個(gè)直角三角形,如下右圖(b),這三個(gè)直角三角形面積很容易求出,再用矩形面積減去這三個(gè)直角三角形面積,就是所要求的三角形面積矩形面積是6 4 24;直角三角形I的面積是:6 2 2 6 ;直角三角形n的面積是:4 2 2 4 ;直角三角形川面積是4 2 2 4 ;所求三角形的面積是24 (6 4 4) 10(面積單位).方法二(割補(bǔ)法)將原三角形分割成兩個(gè)我們方便計(jì)算面積的三角形,如(c)圖因此三角形的面積是:5 2 2 5 2 2 10(面積單位)【例6】(“新加坡小學(xué)
7、數(shù)學(xué)奧林匹克”競賽試題)右圖是一個(gè)方格網(wǎng),計(jì)算陰影部分的面積.【解析】擴(kuò)展法把所求三角形擴(kuò)展成正方形ABCD中這個(gè)正方形中有四個(gè)三角形:一個(gè)是要求的 VAEF;另外三個(gè)分別是:VABE、VFEC、VDAF,它們都有一條邊是水平放置的,易求它們的面積分別為1.5cm2 , 2cm2 , 1.5cm2 .所以,圖中陰影部分的面積為:3 3 (1.5 2 2 4 ( cm2) 【例7】分別計(jì)算圖中兩個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積.【解析】利用“擴(kuò)展法”和“割補(bǔ)法”我們都可以簡單的得到的面積均為9面積單位的面積均為 10面積單位.【點(diǎn)評(píng)】“一個(gè)格點(diǎn)多邊形面積的大小很可能是由哪些因素決定呢?”“格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)
8、數(shù)和周界上的格點(diǎn)數(shù)與格點(diǎn)多邊形的面積有沒有什么內(nèi)在聯(lián)系呢? ”下面我們就來探討一下!8個(gè);第在鞏固中,我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形面積相等進(jìn)一步還可以發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù)是 二個(gè)圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù)是10個(gè),包含在圖形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)也相等,都是6個(gè).【鞏固】求下列各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積. 【解析】- L- L- L- L12 ;N10,- SNL11012115(面積單位);2210;N16,- SNL2116102120(面積單位);6 ;N12-SNL112§ 114(面積單位);2210;N13,- SNL2113102117(面積單位).用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn),L表示多邊形周界上的格點(diǎn),
9、S表示多邊形面積,請(qǐng)同學(xué)們分析前幾個(gè)例 題的格點(diǎn)數(shù).我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:S N - 1 .這個(gè)規(guī)律就是畢克定理.2畢克定理 若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有 N個(gè)格點(diǎn),它的邊界上有 L個(gè)格點(diǎn), 則它的面積為S N L 1 .2【例8】我們開始提到的“鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少?【解析】圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)N 9;圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù) L 20 ;根據(jù)畢克定理,則S N L 1 18(單位2 面積).【例9】右圖是一個(gè)8 12面積單位的圖形.求矩形內(nèi)的箭形ABCDEFGH的面積.【解析】HBFD箭形ABCDEFGH的面積(8 10 2 1) 4 8 (4 2 1) 2 12 32 2 46(面積單位).【例10】右圖
10、中每個(gè)小正方形的面積都是1,那么圖中這只“狗”所占的面積是多少?r-'1、>'-'-r,Ai1丿0ffV【解析】圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為 54,圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為 19.所以圖形的面積為:54 19 2 1 62.5(面積單位).【鞏固】如圖,每一個(gè)小方格的面積都是1平方厘米,那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米?1 !K i iill e01【解析】方法一:正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式:(N+ L -1) X單位正方形面積,其中 N為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù),2L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù).有N=4, L=7,則用粗線圍成圖形的面積為:(4+?-1) X 1=6. 5(平方厘米)2方法
11、二:如右上圖,先求出粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形的面積,有=3-2=1 . 5,=2- 2=1,=2- 2=1,=2- 2=1,=2-2=1, =2- 2=1,還有三個(gè)小正方形, 所以粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形面積為1 . 5+1+1+1+1+1+3=9. 5,而整個(gè)格點(diǎn)陣所圍成的圖形的面積為16,所以粗線圍成的圖形的面積為:16-9. 5=6. 5平方厘米.【例11】(“小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”競賽試題 )5 5的方格紙,小方格的面積是 1平方厘米,小方格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).請(qǐng)你在圖上選 7個(gè)格點(diǎn),要求其中任意 3個(gè)格點(diǎn)都不在一條直線上,并且使這7個(gè)點(diǎn)用直線連接后所圍成的面積盡可能大.那么,所圍圖形的面積是平方厘米
12、.【解析】為了使這7個(gè)點(diǎn)圍成最大的面積,這7個(gè)點(diǎn)應(yīng)盡量在正方形的邊或頂點(diǎn)上,如圖選取7個(gè)點(diǎn),圍成面積最大.最大面積為5 5 0.5 3 23.5(平方厘米).【例12】(“保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)”競賽試題)第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽在7月21日開幕,下面的圖形中,每一個(gè)小方格的面積是 1 ,那么7、2、1三個(gè)數(shù)字所占的面積之和是多少?【解析】要計(jì)算三個(gè)數(shù)字所占的面積之和,可以先分別求出每個(gè)數(shù)字所占的面積顯然,圖中的三個(gè)數(shù)字都可以看作格點(diǎn)多邊形,根據(jù)畢克定理,可以很方便地求出每個(gè)數(shù)字所占的面積值得注意的是:數(shù) 字“ 7”內(nèi)部有兩個(gè)格點(diǎn),而數(shù)字“2”和“ 1 ”內(nèi)部都沒有格點(diǎn).7所占的
13、面積為:2 15 2 1 8.5 ; 2所占的面積為:24 2 111 ; 1所占的面積為:17 2 1 7.5 .所以,這三個(gè)數(shù)字所占的面積之和為:8.5 11 7.5 27 【例13】(第六屆“從小愛數(shù)學(xué)”邀請(qǐng)賽試題)兩個(gè)邊長相等的正方形各被分成25個(gè)大小相同的小方格.現(xiàn)將這兩個(gè)正方形的一部分重疊起來,若左上角的陰影部分(塊狀)面積為5.12cm2,右下角的陰影部分(線狀)面積為7.4cm2,求大正方形的面積.【解析】塊狀部分與線狀部分之間的部分稱為方格的面積是(7.4 5.12)(17 14)大正方形的面積為19cm2 .D,則D與前者共14個(gè)方格,與后者共17個(gè)方格,因此每個(gè)192(c
14、m )25【例14】(第六屆“華杯賽”試題)圖中正六邊形邊形CEPQ的面積.ABCDEF的面積是 54 , AP=2PF , CQ=2BQ,求陰影四【解析】如圖,將正六邊形 ABCDEF等分為54個(gè)小正三角形.根據(jù)平行四邊形對(duì)角線平分平行四邊形面積,VPEF面積 3, VCDE面積 9,四邊形 ABQP面積 11.上述三塊面積之和為 3 9 11 23 .因 此,陰影四邊形 CEPQ面積為54 23 31.板塊二三角形格點(diǎn)問題所謂三角形格點(diǎn)多邊形是指:每相鄰三點(diǎn)成”或“”,所形成的三角形都是等邊三角形.規(guī)定它的面 積為1,以這樣的點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形為三角形格點(diǎn)多邊形.關(guān)于三角形格點(diǎn)多邊形的面
15、積同樣有它的計(jì)算公式:如果用S表示面積,N表示圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù), L表示圖形周界上的格點(diǎn)數(shù),那么有 S 2 N L 2,就是格點(diǎn)多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點(diǎn)數(shù)的2倍與周界上格點(diǎn)數(shù)的和減去 2.【例15】如圖(a),有21個(gè)點(diǎn),每相鄰三個(gè)點(diǎn)成或,所形成的三角形都是等邊三角形.計(jì)算三角形ABC的面積.(a)(b)(c)(d)【解析】 方法一:如圖(b)所示,在VABC內(nèi)連接相鄰的三個(gè)點(diǎn)成 VDEF,再連接DC、EA、FB后是VABC 可看成是由VDEF分別延長FD、DE、EF邊一倍、一倍、二倍而成的,由等積變換不難得 到 Svacd 2, Svaeb 3,Svfbc 4,所以 Sv 1 2
16、3 4 10(面積單位)方法二:如圖(C)所示,作輔助線把圖 I'、n'、川分別移拼到I、n、川的位置,這樣可以通過數(shù) 小正三角形的方法,求出 VABC的面積為10.方法三:如圖(d)所示:作輔助線可知:平行四邊形ARBE中有6個(gè)小正三角形,而 VABE的面積是平行四邊形ARBE面積的一半,即SVAEB 3,平行四邊形 ADCH中有4個(gè)小正三角形,而 VADC的面積是平行四邊形 ADCH面積的一半,即Svacd 2 平行四邊形FBGC中有8個(gè) 小正三角形,而 VFBC的面積是平行四邊形 FBGC的一半,即:Svfbc 4 所以S/12 3 410(面積單位)【鞏固】如圖,每相鄰
17、三個(gè)點(diǎn)所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形,計(jì)算 VABC的面積.C【解析】【例16】1的等邊三角形)-L7 ;N7 ,- S2NL2277219(面積單位);- L5 ;N8 ,- S2NL2285219(面積單位);- L6 ;N7 ,- S2NL2276218(面積單位);- L7 ;N8 ,- S2NL2287221(面積單位)【解析】【例17】把大正三角形每邊八等分,組成如右圖所示的三角形網(wǎng). 粗線所圍成的三角形的面積.A如果大三角形的面積是128,求圖中【解析】【例18】圖中有1 3 5 7 9 11 13 15 64(個(gè))小三角形,那么一個(gè)小三角形的面積是 圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為 1
18、2,圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為 4;圖形的面積為:2 12 4 2 26(面積單位),進(jìn)而得圖形的面積為:26 2 52 128 64 2 ,如圖,如果每一個(gè)小三角形的面積是1平方厘米,那么四邊形 ABCD的面積是多少平方厘米?因?yàn)镹 5 ; L 3 :所以S2N L2 2532 11(面積單位)的面積是方分米.圖1圈2【解析】法一:正三角形方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式:(2N+L-2)x單位正三角形面積,其中N為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù),L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù).有N=9, L=4,所以用粗線圍成的圖形的面積為:(9 X 2+4-2) X 1=20(平方厘米).法二:如下圖,我們先數(shù)出粗實(shí)線內(nèi)完整的小正三角形有10個(gè),而將不完整的小正三角形分成4部分計(jì)算,其中部分對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積為4,所以部分的面積為 2,、部分對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積分別為 2, 8, 6,所以、部分的面積分別為1 , 4, 3所以粗實(shí)線內(nèi)圖形的面積為10+2+1+4+3=20(平方厘米).【例19】把同一個(gè)三角形的三條邊分別5等分、7等分(如圖1,圖2),然后適當(dāng)連接這些等分點(diǎn),便得至廳若干個(gè)面積相等的小三角形.已知圖 1中陰影部分面積是 294平方分米
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