(完整版)全等三角形習(xí)題集選(含答案解析)

1、經(jīng)典三角形證明題選講（含答案）三角形輔助線做法線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求 ADD1.證明：延長(zhǎng) AD 至U E,使 DE=AD,貝ADC 也BD /-BE=AC=2 在ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE ,"0-2v2AD<10+2 4<AD<6又AD是整數(shù)，則AD=5思路點(diǎn)撥：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。2.已知：BC=DE，/B= ZE，ZC= ZD，F(xiàn) 是 CD 中點(diǎn)，求證：/ 1= Z22.證明：連接BF和EF. BC=ED,CF=DF, ZB

2、CF= ZEDF 二BCF 也DF（邊角邊）. BF=EF, ZCBF= /DEF.連接 BE.在BEF 中,BF=EF，a/EBF= ZBEF 又 v ZABC= ZAED，二 ZABE= ZAEB. AB=AE在ABF 和AEF 中, AB=AE,BF=EF, ZABF= ZABE+ ZEBF= ZAEB+ ZBEF= /AEF. ABF 也AEF /= Z思路點(diǎn)撥：解答本題的關(guān)鍵是能夠想到證明 AB=AE,而AB、AE在同一個(gè)ABE中，可利用Z ABE= ZAEB來證明.同一三角形中線段等，可用等角對(duì)等邊 3.已知：Z1= Z，CD=DE，EF/AB，求證：EF=AC證明：過E點(diǎn)，作EG

3、/AC，交AD延長(zhǎng)線于G貝U/DEG= ZDCA，/DGE= Z2又.CD=DE /.ZADC zGDE (AAS )：EG=ACEF/AB /-zDFE= Z1/= Z2 /DFE= ZDGE /-EF=EG .£F=AC思路點(diǎn)撥：角平分線平行線，等腰三角形來添。4.已知：AD 平分/BAC , AC=AB+BD ，求證：/ B=2 ZC/B= ZEB證明： 延長(zhǎng) AC至U E使CE=CD，連接 ED，則/ CDE= ZE/ AB=AC+CD/-AB=AC+CE=AE又/BAD= ZEAD，AD=AD/./BAD 也 ADvZACB= ZE+ /CDE，/.ZACB=2 ZB方法二

4、，求證：AE=AD+BE在AC上截取AE=AB，連接EDAD 平分ZBAC /-zEAD= /BAD又 VAE=AB，AD=AD /ED 也蟲BD (SAS)ZED= ZB，DE=DBAC=AB+BD，AC=AE+CECE=DE /-zC= /EDC ZED= ZC+ ZEDC=2 ZC/.ZB=2 ZC思路點(diǎn)撥：線段等于線段和，理應(yīng)截長(zhǎng)或補(bǔ)短5. 已知：AC 平分 ZBAD，CE丄 AB，/B+ ZD=180證明：過C作CF丄AD交AD的延長(zhǎng)線于F在/3FA和:EA中 zCFA =/CEA = 90。又 CAF = /CAE， AC=AC/zCFAzCEA，/.AE = AF = AD +

5、DF， CE=CF ZB + ZADC = 180 °,ZDC + ZADC = 180 ° ZB = /FDCE在:EB和/CFD中，CE=CF, ZCEBZCFD = 90 ° ZB = /FDCE/ZCEBzCFDBE = DF AE= AD + BE思路點(diǎn)撥：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)C6. 如圖，四邊形 ABCD 中，AB /DC, BE、CE 分別平分/ABC、/BCD，且點(diǎn)E在AD上。 求證：BC=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF. TZABE= ZFBE,BE=BE, /ABE 也ZFBE(SA

6、S), ZEFB= ZA;AB /CD,ZD=180 °又V/EFB+ ZEFC=180 °zEFC= ZD;又v/FCE= ZDCE,CE=CE, /.zFCE/DCE(AAS),FC=CD.BC=BF+FC=AB+CD.思路點(diǎn)撥：線段等于線段和，理應(yīng)截長(zhǎng)或補(bǔ)短法二：延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,易證BC=FC=FD+DC 又 v/BCE= ZFCEABE=FE;易證/ABE 也 JDFE /AB=FDBC=AB+DC法三：易證ZBEC=90 °取BC中點(diǎn)F,連接EF則EF - BC BF ; 2zFEB= ZFBE= ZABE .AB /EF 同理 DC /E

7、F又-F為BC中點(diǎn)E為BC中點(diǎn)EF 2（Ab DC）'BC=AB+DC思路點(diǎn)撥：三角形兩邊有中點(diǎn)，連接可得中位線梯形一腰有中點(diǎn)，亦可嘗試中位線法四：過 E 作 EF/AB 交 BC 于點(diǎn) F,則 ZFEB= ZABE= ZFBE£F=BF,同理 EF=CF, /-BF=CF, EF= 1 BC2又TEF/AB/DCAE=ED/-EF !(AB DC)2BC=AB+DC思路點(diǎn)撥：角平分線平行線，等腰三角形來添。7. 已知：AB/ED，/EAB= ZBDE，AF=CD，EF=BC，求證：/ F= ZC證明：連接BEAB /ED,ZABE= /DEB又vZEAB= ZBDE ,BE

8、=EB/ABEFEB，AE=DB又 VAF=CD,EF=BC/ZAFE也/CB，/zC= ZF8. 如圖，在 ABC 中，BD=DC，Z1= Z2，求證：AD丄BC.證明：延長(zhǎng)AD至H交BC于H;VBD=DC，/-zDBC= ZDCB Z= Z2，./JDBC+ Z1= ZDCB+ Z2;即 ZABC= ZACB，/-AB=AC/BD 也ZCD，./JBAD= ZCADAD 丄 BC思路點(diǎn)撥：中線、垂線、角平分線，三線合一試試看。9. 如圖，0M平分ZPOQ, MA丄OP,MB丄OQ，A、B為垂足，AB交0M于點(diǎn)N .求證：ZOAB= ZOBAO證明：vOM 平分ZPOQ ，MA 丄OP,MB

9、 丄OQMA=MBZ/IAB= ZMBA vZDAM= ZOBM=90 度 ZOAB=90- ZMAB ， ZOBA=90- ZMBAZOAB= ZOBA思路點(diǎn)撥：同一三角形中角相等，可用等邊對(duì)等角10 已知：BC=DE，/ B= ZE, ZC= ZD , F 是 CD 中點(diǎn)，求證： AF 丄 CD證明：同2先證出AB=AE,然后連接AC、AD,再證明BC也AED，從而AC=AD, 又桿是CD的中點(diǎn)，二AF丄CD11.如圖，在 ABC中，已知 AB=AC，/仁 Z，求證：BD=DC .2證明：TAB=AC /-ZABC= zSACB又 /仁 Z2 /DBC= ZDCB/-BD=DC .12 （

10、改編）如圖，在zABC 中，已知 AB=AC , ZADB= ZADC ,求證：BD=DC .提示：將AADB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/BAC得AEC,連接DE,可證出ZCDE= ZCED從而 CD=CE=BD思路點(diǎn)撥：當(dāng)題中出現(xiàn)等腰三角形時(shí)，可以考慮用旋轉(zhuǎn)的方法打開思路，添加輔助線。特別是題中有 正方形、等邊三角形、等腰直角三角形 時(shí)，更是如此13 如圖，E、F分別為線段 AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE丄AC于E,BF丄AC于F,若AB = CD，AF=CE, BD 交 AC 于點(diǎn) M .(1)求證：MB = MD , ME = MF(2)當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若

11、成立 請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說明理由.(1) 證明：連接BE，DF .DE丄 AC 于 E, BF丄AC 于 F, zDEC= /BFA=90 °,DE /BF, 在 Rt DEC 和 Rt BFA 中， VAF=CE , AB=CD ,Rt /DEC 細(xì)t BFA,DE=BF .四邊形BEDF是平行四邊形.MB=MD , ME=MF ;(2) 解：上述結(jié)論仍然成立證明如下： 連接BE, DF.DE丄 AC 于 E, BF丄AC 于 F, zDEC= ZBFA=90 ° ,DE /BF, 在 Rt /DEC 和 Rt /BFA 中， VAF=CE , AB=CD ,Rt /

12、DEC 細(xì)t /BFA,DE=BF .四邊形BEDF是平行四邊形.MB=MD , ME=MF .本題也可以用證明兩次三角形全等的方法14 .已知：如圖，DC /AB，且DC = AE, E為AB的中點(diǎn),(1)求證： AED 也zEBC.(2 )觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除 EBC外，請(qǐng)?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)與厶AED的面積相等的三角形.(直接寫出結(jié)果，不要求證 明):DC /AE，且DC=AE，二四邊形AECD是平行四邊形。于是知 AD=EC，且 ZEAD= /BEC。由 AE=BE ,ZAED NBC。(2)解：ZAEC、ZACD、止CD都與ZAED面積相等。15 .如圖， ABC中，/ BAC

13、=90度，AB = AC, BD是/ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.求證：BD =2 CE.證明：VBE丄CEzBEF= ZBEC=90 °在ABEF和ABEC中ZFBE= ZCBE, BE=BE, ZBEF= ZBECEF 也ZEC(ASA)EF=ECQF=2CE zABD+ ZF=90 °,ZACF+ ZF=90 °zABD= ZACF在ABD和ACF中ZABD= ZACF, AB=AC, ZBAD= /CAF=90 °azABD 也 ACF(ASA)BD=CF16、如圖：AE、BC 交于點(diǎn) M , F

14、 點(diǎn)在 AM 上, BE /CF, BE=CF。BD=2CE思路點(diǎn)撥：如何發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)三角形全等？可以通過旋轉(zhuǎn)來發(fā)現(xiàn)求證：AM 是ZABC的中線。證明：TBE/CF左=ZCFM，/EBM= ZFCMVBE=CFEM 也zCFMBM=CMAM是ZABC的中線.17、AB=AC , DB=DC , F是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證： BF=CFC證明：在AABD與AACD中AB=AC , BD=CD , AD=AD BD 也ZCD zBAD= /CAD zBDF= ZFDC在zabf與zacf中AB=AC, ZBAD= ZCAD,AF=AFABF zZCF,aBF=CF本題也可利用線段的垂直平分線定理

15、來證，該證法更簡(jiǎn)潔18、如圖：AB=CD , AE=DF , CE=FB。求證：AF=DE。證明：TAB=DC AE=DF CE=FB CE+EF=EF+FB/ABE 也/CDF ZDCB= ZABFAB=DC BF=CE ZABF 也zCDEAF=DE本題亦可用平行四邊形的知識(shí)來證明19.公園里有一條“ Z”字形道路 ABCD，如圖所示，其中 AB /CD，在AB , CD , BC三段路旁各有一只小石凳 E, F, M，且BE= CF, M 在BC的中點(diǎn)，試說明三只石凳 E, F, M恰好在一 條直線上.證明：TAB平行CD （已知）zB= ZC （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）M在BC的中點(diǎn)（

16、已知）BM=CM （中點(diǎn)定義）在ABME和:MF中BE=CF （已知）ZB= ZC （已證）BM=CM （已證） ME 空CMF （SAS） zEMB= ZFMC （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） zEMF= ZEMB+ ZBMF= ZFMC+ ZBMF= ZBMC=180 ° （等式的性質(zhì)）E, M , F在同一直線上思路點(diǎn)撥：要證明E、M、F三點(diǎn)在同一條直線上，只需證明/ EMF=180 °20 .已知：點(diǎn) A、F、E、C 在同一條直線上，AF = CE, BE /DF , BE = DF .求證：AABE 也/CDF .證明：AF=CEAF+EF=CE+EFAE=CFVBE

17、/DFzBEA= ZDFC 又VBE=DFZABE 也/DF (SAS)21 .已知：如圖,D、E, BD、CE相交于點(diǎn)F,AB= AC，BD AC , CE AB，垂足分另U為求證：BE=CD.證明：連接BC AB=AC，二 ZEBC= ZDCB BD 丄 AC, CE丄 AB ZBEC= ZCDB BC=CB (公共邊) BC 望ZCB BE= CD也可證Z3EA也ZDA，從而AE=AD,又AB=AC ,AB-AE=AC- AD , BE = CD22 .已知：如圖，AC BC 于 C , DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC = AE .若 AB = 5 ,求AD的長(zhǎng)？解

18、: v/C= ZE=90 度ZB= ZEAD=90 度-ZBACBC=AE BC 也ZAEAD=AB=5F, ME=MF。求證：MB=MC23 .如圖：AB=AC , ME丄AB , MF丄AC ,垂足分別為E、證明 VAB=AC , £= ZCMIE 丄AB , MF 丄 AC Z/IEB= ZMFC=90 又VME=MF , EM 也£FMMIB=MC24 在AABC 中，ACB 90 , AC BC ,直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C，且 AD MN 于 D ,BE MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ADC也CEB ; DE AD BE ;(2)當(dāng)直線

19、MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立， 請(qǐng)給出證明;® 2(1) ZADC= ZACB= /BEC=90 ° ,/CAD+ ZACD=90。，啟CE+ ZCBE=90 °，/ACD+ /BCE=90/CAD= /BCE.AC=BC ,公DC zCEB. zCEB,CE=AD , CD=BE .DE=CE+CD=AD+BE(2 )v/ADC= ZCEB= /ACB=90 ° ,/ACD= ZCBE.又AC=BC , CD zCBE.CE=AD , CD=BE .DE=CE - CD=AD - BE25 .如圖所示，已知 AE 丄 A

20、B , AF 丄 AC , AE=AB , AF=AC。求證：(1 ) EC=BF ; (2 )EC 丄 BF26.如圖：BE 丄 AC ,CF 丄 AB , BM=AC ,CN=AB 。BC(1 )：AE 丄 AB, AF 丄 AC,ZBAE= /CAF=90 ° ,ZBAE+ ZBAC= ZCAF+ ZBAC,即/ EAC= ZBAF ,在ABF和AAEC中，AE=AB，/EAC= ZBAF , AF=AC ,.公BF SEC ( SAS),EC=BF ;(2 )如圖，根據(jù)(1), AABF 也ZAEC,ZAEC= ZABF,VAE 丄 AB ,ZBAE=90 ° ,Z

21、AEC+ ZADE=90 ° ,vZADE= ZBDM (對(duì)頂角相等)，ZABF+ /BDM=90 ° ,在ABDM 中，Z BMD=180 °-ZABF- /BDM=180 °-90 °=90 EC丄 BF.求證：(1) AM=AN ; (2 ) AM 丄 AN。 證明：(1)E tbe 丄 AC, CF 丄 ABQZABM+ /BAC=90 °,ACN+ /BAC=90 °BCZABM= ZACNVBM=AC , CN=AB 念BM 也zNCAAM=AN(2)公BM 也zNAC ,./BAM= ZNVZN+ ZBAN=9

22、0 ° ZBAM+ ZBAN=90 °即 ZMAN=90 ° /-AM 丄 AN也可先證明 BFM 也ZFA 得 BF=CF,FM=FA 又 vCN=AB /-AB- BF= CN- CF /-FA= FN,FM=FA= FN, 又 vZAFM= ZAFN=90 ° AM=AN, Z3= Z4=45 ° AM 丄 ANb27 .如圖，已知Z A= /D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC /EF證明：在ZABF 和:DE 中,AB=DE , ZA= ZD , AF=CD/ABF 三ZDE (邊角邊)，/FB=CE 在四邊形 BCEF

23、 中, FB=CE , BC=EFAEBEB四邊形BCEF是平行四邊形，.BC IIEF29、 如圖，已知：AD是BC上的中線，且DF=DE .求證:BE /CF.證明： AD是厶ABC的中線 BD=CD/ DF=DE （已 知）， / BDE= / FDCBDE FDC/ EBD= / FCD BE / CF （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）DE BF .28、已知：如圖，AB = CD, DE丄AC, BF丄AC , E, F是垂足,求證：AB / CD .證明：IDE丄AC , BF丄AC , zDEC= ZBFA=90 ° ,在 Rt /DEC 和 Rt 注FA 中，DE=BF ,

24、 AB=CDRt /DEC 細(xì)t 經(jīng)FA, zC= ZA , AAB /CD .29、 如圖，已知 AC 丄 AB , DB 丄AB , AC = BE, AE=BD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關(guān)系， 并證*31如圖9所示，AABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90,AD是BC邊上的中線，過 CCDF30、 如圖，已知 AB = DC , AC = DB , BE= CE,求證：AE = DE.證明：AB=DC,AC=DB , BC=BC.念BC /DCB , a/ABC= ZDCB又BE=CE , AB=DC念BE也zDCEAE=DE作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，求 證

25、：/ADC =ZBDE .證明：作CG平分/ACB交AD于GvzACB=90 ° zACG= /DCG=45 °vzACB=90 ° AC=BC zB= ZBAC=45 ° zB= ZDCG= ZACGCF 丄 AD zACF+ ZDCF=90 ° ZACF+ ZCAF=90 ° zCAF= /DCF AC=CBZACG= ZBCG 也©BECG=BEVJDCG= ZBCD=BDDG 望©DEZDC= ZBDE32、已知：D 是 AB 中點(diǎn)，Z ACB=90。，求證：CD -AB2延長(zhǎng)CD與P,使D為CP中點(diǎn)。連接

26、 AP,BPDP=DC,DA=DB ACBP為平行四邊形又 Z ACB=90平行四邊形ACBP為矩形AB=CP=1/2AB33. 已知：AB=CD , ZA= ZD，求證：Z B= /C證明：設(shè)線段 AB,CD所在的直線交于 E,（當(dāng)AD<BC時(shí)，E點(diǎn)是射線BA,CD的交點(diǎn)，當(dāng)AD>BC 時(shí)，E點(diǎn)是射線 AB,DC的交點(diǎn)）。則:ED是等腰三角形。AE=DE而 AB=CDBE=CE （等量加等量，或等量減等量）ZBEC是等腰三角形ZB= ZC.PC-PB<AC-AB34. P是/BAC平分線 AD上一點(diǎn)，AC>AB，求證:在AC上取點(diǎn)E, 使 AE = AB。/ AE =

27、 ABAP = AP/ EAP = / BAE , EAP BAP PE = PB。PC V EC+ PE PC v( AC AE)+ PB PC PB v AC AB 。BE丄AE,求證:證明：AC-AB=2BE在AC上取一點(diǎn)D，使得角DBC=角C/ ABC=3 / C/ ABD= / ABC- / DBC=3 / C- / C=2 / C;/ ADB= / C+ / DBC=2 / C;AB=ADAC -AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形 ABD中，AE是角BAD的角平分線,AE 垂直 BDBE丄 AE點(diǎn)E 一定在直線 BD 上, 在等腰三角形ABD中，AB=AD , AE垂直BD

28、點(diǎn)E也是BD的中點(diǎn)36. 已知，E 是 AB 中點(diǎn)，AF=BD , BD=5 , AC=7，求 DC作AG / BD交DE延長(zhǎng)線于GAGE 全等 BDEAG=BD=5AGF s CDFAF=AG=5DC=CF=237. （7分）如圖， ABC中，/ BAC=90度，AB= AC, BD是/ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過C點(diǎn)的直線于E,直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.求證：BD=2 CE.FAD證明：vzCEB= /CAB=90 °ABCE四點(diǎn)共元vZAB E= ZCB EAE=CEZECA= ZEAC取線段BD的中點(diǎn)G,連接AG,則：AG=BG=DG ZGAB= ZABG而：ZEC

29、A= ZGBA （同弧上的圓周角相等）ZECA= ZEAC= ZGBA= /GAB而：AC=AB公EC zAGBEC=BG=DGBE=2CE38、如圖：DF=CE , AD=BC , ZD= /C。求證： AED 也FC。DE F證明：/ DF=CE , DF-EF=CE-EF ,即 DE=CF ,在厶AED和厶BFC中，/ AD=BC ,/ D= / C , DE=CF AED BFC ( SAS)39、(10 分)如圖：AE、BC 交于點(diǎn) M , F 點(diǎn)在 AM 上，BE/CF, BE=CF。求證：AM 是ABC的中線。證明：BEllCF左=ZCFM，/EBM= ZFCMBE=CF ZBE

30、M 也zCFMBM=CMAM是ABC的中線.40. 已知：如圖所示，AB = AD , BC = DC , E、F分別是 DC、BC的中點(diǎn)，求證： AE = AF。C連接BD ；AB=AD BC=D/ ADB= / ABD / CDB= / ABD;兩角相加， / ADC= / ABC ;BC=DCEF 是中點(diǎn)DE=BF ;AB=ADDE=BF/ ADC= / ABCAE=AF。41 .如圖，在四邊形 ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，/ 1= / 2 , / 3= / 4 ,求證：/ 5= / 6 .證明：在ADC , ABC 中AC=AC，/BAC= ZDAC，/BCA= ZDCA念DC也ABC （兩角加一邊）AB=AD , BC=CD在ADEC