第十七章 積分的應(yīng)用ppt課件

1、l第一節(jié) 定積分的微元法l第二節(jié) 定積分在幾何中的應(yīng)用l第三節(jié) 定積分在物理中的應(yīng)用l第四節(jié) 定積分在經(jīng)濟問題中的簡單應(yīng)用l第五節(jié) 常微分方程簡介 本章用定積分方法分析和解決一些實際問題.通過一些實際例子，不僅可以掌握某些量的計算公式，而且更重要的是學(xué)會運用微分元法將一個未知量表達成定積分的分析方法. 在第四章中，利用定積分表示曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程這些量時，均采用了分割、近似、求和、取極限四個步驟，建立了所求量的積分式.以求曲邊梯形面積為例子，簡單回顧一下求解過程.( ),( )0,( ),.yf xa bf xyf xa bA 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 且求以曲線為曲邊 以為底的曲邊

2、梯形的面積1(1),(1,2, ),;iia bnxxinn將任意分成 個子區(qū)間相應(yīng)地將曲邊梯形分成 個小曲邊梯形分割 1(2),( ),( )iiiiiiiiixxfxAAfx在每一個子區(qū)間上任取一點以和為邊長的小矩形的面積近似替代相應(yīng)的小曲邊梯形的面積即近似 11(3)()nniiiiiAAAfx曲邊梯形面積 的近似值為求和 12(4)max,nxxx于是取極限 =01lim( )( )bniiiaAfxf x dx,(2)()( ),(4)( ),iiibax xdxxfxf x dxf x dx 在上述四步中 若從任意分割后的若干子區(qū)間上任取一個代表來討論 這個代表區(qū)間可記為而點 可以

3、用 來代替 那么中的近似形式可表示為它和中的定積分被積表達式相同 從而可以把上述四步簡化為兩步.(1),17 1,( ),( ),xa ba bx xdxx xdxAf xdxf x dx選取積分變量在上任取一代表性區(qū)間如圖所示 區(qū)間上的小曲邊梯形的面積可近似以數(shù)為高為底的小矩形面積即( )Af x dx171圖 微元法圖形( )yf xOaxxdxbxydA(2),( ),.,( ),( )babaa bAf x dxAxa ba ba bx xdxAf x dxAAf x xdx將上式右端在區(qū)間上積分,得一般地若所求量 與 變化區(qū)間有關(guān)且關(guān)于區(qū)間具有可加性在上的任意一個小區(qū)間上找出所求量的

4、一微小量的近似值d然后把它作為被積表達式,從而得到所求量 的積分表達式( )Af x xdxA這種方法叫做(或叫做),d稱為所求量 的或微元法元素法微元元素.思考題1.使用定積分微元法要滿足哪些條件?答案,2.yyx xSx12.請用定積分表示由曲線 =所圍圖形的面積答案3.應(yīng)用微元法解決實際問題,最重要的一步是什么?答案課堂練習(xí)題lnlnln.y =x,yy =a y =b b a 1.求由曲線軸和直線 ,0所圍圖形的面積答案2 cos?r= aS2.曲線所圍圖形面積 為多少答案1. 在直角坐標系下的計算(1)( )0,()(171),( )( )bayf xxa xbabxdAf x dx

5、Af x dx 根據(jù)第一節(jié)的分析可知,由曲線及 軸所圍成的圖形 見圖其面積微元面積12212121(2),( ),( ),( )( ),()(17),( )( ) ,( )( )bayfxyfxfxfxxa xbabdAfxfxAfxfxdx 由上 下兩條曲線及所圍成的圖形 見圖-2其面積微元面面積一、平面圖形的面積12212121(3)( ),( ),( )( ),()(173),( )( ) ,( )( )bcxgyxgygygyycydcdAgygyAgygy 由左右兩條曲線及所圍成的的圖形 見圖其面積微元d面積17-3 微元法求面積ydycOxdAydy1( )xg y2( )xgy1

6、7-2 微元法求面積Oaxxdx2( )yfx1( )yf xybx24yxx 求拋物線與 軸所圍成的平面圖形面積.例1解22174,440 xyxyxxy如圖所示 取積分變量為 為了確定平面圖形所在范圍先求拋物線與 軸的交點.為此解方程組22222032(4)2(4)3Ax dxx dx2( 2,0)(2,0),(4)dAx dx交點為與可知積分區(qū)間為 -2,2 其面積微元為故所求圖形面積為圖17-4 例1示意圖y424yx22Ox22.yxyx 計算由兩條拋物線與所圍成的平面圖形的面積例2解22175,yxxyx如圖所示 取 為積分變量.解方程組22,().(?)Axxdxxx dx得交點

7、為(0,0)與(1,1),故積分區(qū)間為 0,1其面積微元為d等式右端為什么不能表示為(-)因而所求圖形面積為11323200211()333Axx dxxx圖17-5 例2示意圖Oxy2yx2yx224.yxyx 求由拋物線與直線所圍成的平面圖形的面積例3解212176,4xyyxy如圖所示 取 為積分變量比較簡便.解方程組2(2, 2)(8,4),2,4 .(4),2yAydy得交點與所以積分區(qū)間為其面積元素為d故所求圖形面積為圖17-6 例3示意圖22yxO(2, 2)4yx(8,4)242(4)2yAydy42321141826yyy(sin ),(02 )(1 cos )17xa tt

8、tyatx 求擺線的第一拱與 軸所圍成的圖形面積(見圖-7) 例4解,0,0;22.xtxtx 以 為積分變量 當時當時,一進應(yīng)用積分的換元法得所求面積2200(1 cos )(sin )aAydxat d a tt22222001 cos2(1 cos )1 2cos2xtatdtatdt圖17-7 例4示意圖yO2 ax22203sin22sin324tatta( ),()( )xx ttyy t 一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程,( ) ( )Ay t x t dt給出時 則曲邊梯形的面積為, ( )0;,.y t式中與 分別為曲邊左 右端所對應(yīng)的參數(shù)值2.在極坐標系下的面積計算22,

9、( )1( ),21( )2drArdArd 利用微元法 取極角 為積分變量 變化區(qū)間為在任意子區(qū), +上曲邊扇形面積的部分量可用 處的極徑為半徑,以d 為圓心角的扇形來近似代替,即面積的微元為d在上積分 得曲邊扇形面積為 ( ),( ),()rrrr 設(shè)曲線的方程由極坐標給出:求曲線半直線所圍成的曲邊扇形的面積 見圖 17-8(1cos ),(0).aa 計算心形線 =所圍成的圖形面積例5解179,2.iAA 如圖所示由于圖形對稱于極軸 只要算出極軸以上部分圖形的面積再乘以 即得所求的面積圖17-9 例5、例10示意圖2ax(1cos )aO圖17-8 微元法求曲邊扇形面積Od( )rrx,

10、顯然在極軸以上部分 的變化區(qū)間為 0,面積微元為2211( )(1 cos )22dArdd222210011(1 cos )(1 cos )22Aadad因此201312coscos2222ad22013132sinsin22244aa21322AAa故所求的面積( ),()()(17 10)yf xxa xb abxx 求由曲線直線及 軸所圍成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體 叫轉(zhuǎn)的體積 見圖旋體,xa bx xdxydx 取橫坐標 為積分變量 在區(qū)間上任取一子區(qū)間在其上的小旋轉(zhuǎn)體可近似看成底半徑為 高為的小圓柱體,即體積微元22( )dVy dxfxdx1710 x圖 繞 軸求體積x

11、yOa( )yf xxxdxb二、旋轉(zhuǎn)體的體積則旋轉(zhuǎn)體體積22( )bbaaVy dxfx dx (5-7)( ),()17xyyc yd cdyy 同理可以得到:由由線直線與軸所圍曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體(見圖-11)的體積為22( )17ddccVx dyy dy (-8)1711y圖 繞 軸求體積Ox( )xxcd22221.yxxab 求橢圓繞 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積例6解22222,()xa adVy dxbax dxa 取積分變量為 積分區(qū)間為體積微元為故所求體積為2222()aabVax dxa222202()abax dxa22322021433aba xxaba3

12、,43abxVa 特別情況 若例6變成圓繞 軸旋轉(zhuǎn)成為球體 其體積22()byaxxa 該旋轉(zhuǎn)體可以看作由曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)而成 見圖 17-12, rh 求底圓半徑為 高為 的圓錐體的體積.例7解,(17 13).( , )xOP h r以圓錐全的軸線為 軸 頂點為原點 見圖過點 及點的直線方程為ryxh圖17-12 例6示意圖ybObaax圖17-13 例7示意圖Oyxhr,0,.ryx xxhxhx此圓錐體可看作由直線及 軸所圍成的直角三角形繞 軸旋轉(zhuǎn)圍成的由旋轉(zhuǎn)體體積的計算公式,得所求圓錐體的體積2232200133hhrrxVxdxr hhh( ).yf xxab現(xiàn)在來計算曲線上相應(yīng)于

13、從 到 的一段弧的長度21( )lydxd三、求平面曲線弧長( ),( )yf xa bxa bx xdxMNM x f xMT 設(shè)函數(shù)在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 選取為積分變量,任取一子區(qū)間相應(yīng)的小弧段的長 度可以用曲線在點處的 切線上相應(yīng)的小直線的長度近 似代替,如圖5-14所示,由于切上 小直222()()1( )MTdxdyydx線段 于是可取弧長微元為圖17-14 微元法求弧長MNQTydyOaxxdxbxy( )yf x()微小的切線段長度替代與之相應(yīng)的微小弧線段的長度.所以,所求弧長為21 ( )balydx( ),(),( )xttyt 如果曲線是由參數(shù)方程表示 則弧長微元為2222

14、22()()( )( )( )( )dldxdyt dtt dtttdt22( )( )lttdt于是弧長為 12( ),(),cos ,sinrrxryr若曲線由極坐標表示 依坐標變換公式不難得出弧長微元為22( )( )dlrrd于是1222( )( )lrrdR 計算半徑為 的圓的周長例8解2222222.,4.,.RxyRxyRxyRx 圓心在原點,半徑為 的圓方程是由于對稱性 整個圓周長等于第一象限的一段圓弧長度的倍 此時22222211xRdly dxdxdxRxRx 所以圓周長2220004144arcsin2RRRRxly dxdxRRRRx23cos,(0)(5 15).si

15、nxatayat例9 求星形的全長 見圖解.t 由于星形線關(guān)于兩個坐標軸對稱,所以所求曲線的長度是該曲線在第一象限內(nèi)曲線長的4倍.取 為積分變量223 cossin3 sincosdydxattattdtdt 于是弧長微元為2222( 3 cossin )(3 sincos )3 sin coslattattdtattdtd22200sin43 sin cos1262tlattdtaa所要求的弧長為圖17-15 例9示意圖Oaaaaxy3cosxat3sinyat(1cos ),(0)()raa 求心形線的弧長 見圖 例105-9解2.,x 由于心形線關(guān)于極軸對稱,因此只需計算 軸上方的半條曲

16、線的長度再乘以 即可取 為積分變量,積分區(qū)間為 0,弧長微元為22222(1 cos )(sin )lrr daadd2(1 cos )2 cos2adad0022cos42 sin822ladaa于 是 所 求 弧 長 為思考題 ,.1.請寫出曲線及 軸所圍曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)后形成的旋轉(zhuǎn)體的體積公式y(tǒng)fxxa xbxx答案2.球體可以看成是橢球體的特殊情況 該命題是否正確.答案 ,t3.若曲線弧是由參數(shù)方程給出請寫出弧長微元.x =tytds答案課堂練習(xí)題2.1.求由曲線23與所圍圖形的面積y= x+y= x答案2422.計算由拋物線及直線所圍圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體體積.yxxx答案0.3

17、.由弧長公式求對數(shù)螺線相應(yīng)于自到的 這段弧長ar = e答案 定積分的應(yīng)用十分廣泛，自然科學(xué)、工程技術(shù)中的許多問題都可以使用定積分這種數(shù)學(xué)模型來解決.下面討論一些物理方面的實例，旨在加強讀者微元法建立定積分模型.一、變力做功,fs由物理學(xué)可知 在大小 的常力的作用下 物體沿力的方向作直線運動,當物體移動一段距離 時 力所做的功為WF s 但在實際問題中，物體在運動過程中所受到的力是變化的，這就是下面要討論的變力做功問題. ,qrOOr 把一個帶+ 電量的點電荷放在 軸上坐標原點 處 它產(chǎn)生一個電場.這個電場對周圍的電荷有作用力.由物理學(xué)知道,如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點 為的地方

18、 那么電場對它的作用力大小為 例12,()qfkkr為常數(shù)5 17,(),rararrb ab 如圖所示 當這個單位正電荷在電場中從處沿處沿 軸移動到處時 計算電場力對它所做的功.圖5-17 電場力所做的功Oqaxxdxbr解(1),;ra b取積分變量為 積分區(qū)間為2(2),a br rdrqfkr在區(qū)間上作取一小區(qū)間與它相應(yīng)的電場力所做的功近似于把作為常力所做的功 從而得到功微元2dkdWdrr(3)所求的電場力所做的功為22111()bbbaaadkdrWdrkqkqkqrabrr功為單位,( ),f xxaxb一般地 若大小為的變力將某一物體沿力方向從移到處 則變力所做的功為( )ba

19、Wf x dx (5-12) 下面再舉一個計算功的問題，但它通過定積分的微元法，先求功微元，再求定積分，并給出了一個解決此類問題的數(shù)學(xué)模型.2 ,?mmm 修建一座大橋墩時先要下圍囹,并抽盡其中的水以便施工,已知半徑是10 的圓柱形圍囹的上沿高出水面河水深18問抽盡圍囹內(nèi)的水做多少功例2解(1),2,20 ;x 取水深 為積分變量 它的變化區(qū)間為圖17-18 例題 抽水做功2m18mxdx10m,1718.x以圍囹上沿圓心為原點,向下的方向為 軸的正向 建立如圖所示的坐標系100dWx Sdxxdx即所求微元;(3)2,20,在上求定積分 就得到所求的功為20220282100506.078

20、10 (J)Wxdxx3(2)2,20,/,(.),x xdxdxkg mxx 相應(yīng)于上任一小區(qū)間的一薄層水的高度為水的密度為這薄層水的重力為 Sd其中是薄層水的底面積 把薄層水抽出圍囹外時 需要提升的距離近似為因此需做的功近似為二、液體壓力,AhAh 從物理學(xué)知道 如果有一面積為 的平板 水平地放置在液體深度為 處,那么,平板一側(cè)所受的液體壓力等于底面積為高為 的液體柱的質(zhì)量,即PhA,式中 為液體的密度.但是在實際問題中,平板放置并不總水平,現(xiàn)就垂直放置的平板的一側(cè)所受的液體壓力進行進行計算.另外,傾斜放置在液體內(nèi)的平板的一側(cè)所受的壓力也可以用定積分的微元法計算. 灑水車水箱規(guī)格尺寸如圖1

21、7-19所示,當水箱半滿時,求水箱橢圓端面的一側(cè)所受的壓力.例3解1720,建立如圖所示的直角坐標系 水箱端面橢圓曲線方程為22221,(0)yxxbba圖17-19 例3水箱2a2b*l(1),;xb取積分變量為 積分區(qū)間 0,22(2),2(1720)bx xdxadAbx dxb 在 0,上任取一小區(qū)間而面積為的小窄條 見圖陰影部分一側(cè)所受的液體壓力,也就是壓力微元為222aPx bx dxbd(3)所求的液體壓力為32222200222()32()3bbaaPx bx dxbxbbab 壓力單位圖17-20 例3液體壓力Oxaybxdx17 設(shè)有一豎直的閘門,形狀是等腰梯形,它的某些尺

22、寸如圖-21所示,當水面齊閘門頂時,求閘門所受的水壓力.例4解(1),1722,0,6 ;x建立直角坐標第 如圖所示 取積分變量積分區(qū)間1722圖 例4閘門所受壓力Oxxdxx(0,3)Ay(6,2)B1721圖 例4閘門6cm4cm(2)36,2236,xAByx xdxxdxyx 在此坐標系中,直線的方程為在區(qū)間 0,6 上任取一小區(qū)間,與相應(yīng)的小薄片的面積近似于寬為長為的小矩形面積 這個小矩形的受到的壓力近似于把這個小矩形放在平行于液體表面且距液體表面深度為 的位置上一側(cè)所受到的壓力.由于39.8 10 ,23,6xdAdx hx2339.8 10239.8 10663xxPxdxx d

23、x 所以壓力微元為d(3)所求水壓力為62309.8 1063xPx dx 633209.8 1039xx58.23 10( )baPxf x dx一般地液體的計算公式為,( )(1723)f x式中為液體的密度,為薄片曲邊的函數(shù)式 見圖圖17-23 液體壓力計算Oayxxdxbx12,mmr由萬有引力定律知道,兩質(zhì)量分別為和相距為 的質(zhì)點間的引力為122,()mmFkkr為引力常數(shù) 已經(jīng)知道，一個均勻細桿和一個質(zhì)點也會產(chǎn)后引力，下面用定積分的微元法來分析計算這樣的實際問題.,lMma 設(shè)有一長為 質(zhì)量為的均勻細桿,另有一質(zhì)量為 的質(zhì)點和細桿在一條直線上 它到細桿的近端距離為計算細桿對質(zhì)點的引

24、力. 例5三、引力圖17-24 細桿對質(zhì)點的引力almOxxdx解1724.選取坐標系如圖所示(1),0, ;xl取積分變量為 積分區(qū)間為(2)0,lx xdxmx xdx在上任取一小區(qū)間看點 與對應(yīng)的一小段細桿的引力即引力微元為22()()MmdxkmMdxlFklaxaxd(,)x xdx其實看是將內(nèi)的一段細桿看成是一個質(zhì)點.(3)所求引力為20()lkmMdxFlax01()lkmMkmMlaxa al思考題.1.如何應(yīng)用定積分計算變力所作的功答案2.思考解決物理問題的一般步驟.答案課堂練習(xí)題 22/,03.1.某物體以速度3作直線運動 計算出該物體從到這段時間內(nèi)的平均速度V = tt

25、m stts答案.0 02.計算周期為 的矩形脈沖電流, =的有效值 catcTitT 答案 變上限定積分是被積函數(shù)的一個原函數(shù).若已知邊際函數(shù)，可由變上限定積分表示經(jīng)濟函數(shù).一、由邊際函數(shù)求總函數(shù)00000(1)( )( )( ),;.QQC QC QMCQC QMCdQCCMCdQC已知某產(chǎn)品的總成本的邊際成本為則該產(chǎn)品產(chǎn)量為 時的總成本為 (17-4)式中為固定成本為可變成本1212(17 14),QQQQCMCdQ由式進一步推得 當產(chǎn)量由個單位變到個單位時 總成本的改變量為CCQ平均改變量為0(2)(),()QR QMRR QMRdQ若邊際收益函數(shù)為則總收益函數(shù)可表示為000(3)()

26、()(),.QL QMRMCL QMRMC dQCC若邊際利潤函數(shù)為故總利潤函數(shù)為式中為固定成本0(),.QMRMC dQ積分是不計固定成本下的利潤函數(shù) 有時稱為毛利潤2( )(),10060.6,4QtC QdCMCQQdQtt 某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每天生產(chǎn)時的總成本為百元 已知邊際成本為試求產(chǎn)品從2 增加到 時的總成本及平均成本.例1解(17 15),24,tt由式當產(chǎn)量從 增加到 時 總成本改變量為422(10060.6)CQQ dQ2342(10030.2)224.8()QQQ百元224.8112.4(/ )2CCtQ此時的平均成本為 百元2(200.02 ,:MCMRQ 已知某產(chǎn)品的

27、邊際成本元/件).固定成本為0,邊際收益求例2(1)?產(chǎn)量為多少時利潤最大(2)40,?在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)件 利潤會發(fā)生什么變化解(1)200.02180.02 .MLMRMCQQ由條件可知0,180.020.900(),dLMLQQdQ令即解出駐點為件( )0.020,dMLL QdQ 又900( ),.QL Q所以駐點為的極大值點即為所求的最大值點,于是 當產(chǎn)量為900件時,可獲得最大利潤.,(2)于是 當產(chǎn)量由900件增到940時,利潤的改變量為940940900900(180.02 )LMLdQQ dQ2940900(180.02)16()Q 元,16這說明 產(chǎn)量增加了利潤反

28、而減少了元.,;,nrtartaetaae 若現(xiàn)有 元貨幣 按年利率為 作連續(xù)復(fù)利計算 則 年后的價值為元 反過來 若 年后有貨幣 元 則按連續(xù)復(fù)利計算,現(xiàn)在應(yīng)有元 這就稱為資現(xiàn)本值.00,( ),( )TrtTtR trTRR t edt設(shè)在時間區(qū)間內(nèi) 時刻的單位時間的收入為稱此為若按年利率為 的連續(xù)復(fù)利計算,則在 0,內(nèi)的總收入的現(xiàn)值為收入率,( ),(),R tA Ar若收入率為常數(shù) 稱此為均勻收入率 如果年利率也為常數(shù) 則總收入現(xiàn)值為001(1)TTrtrtrtRAe dtAeAer二、資本現(xiàn)值與投資問題 若連續(xù)3年內(nèi)保持收入率每年7500不變,且利率為7.5%,問其現(xiàn)值是多少?例3解

29、7500,7.5%,Ar因均勻收入率元所以由公式(5-18),其值為330.075007500rttRAe dtedt0.075 37500(1)1000001(1 0.7985)0.0075e20150()元20150即現(xiàn)值為元,:aTAr 現(xiàn)對某企業(yè)人給予一筆投資經(jīng)測算,該企業(yè)在 年中可以按每年 的均勻收入率獲得收入 若年利率為 試求 例4(1);(2)?該投資的純收入貼現(xiàn)值收回該筆搞資的時間為多少解0(1)(1)TrtrtTARAe dxer投資后 年中獲總收入的現(xiàn)值為*(1)rtARRaear從而投資獲得的純收入的貼現(xiàn)值為(2)求收回投資的時間,(1).rtAear收回投資即為總收入的

30、現(xiàn)值等于投資,即有1lnATrAar由上式解得 ,例如 若對某企業(yè)投資800萬元,年利率為5%,設(shè)在20年內(nèi)的均勻收入率為200萬元/年,則有總收入的現(xiàn)值為0.05 201200(1)4000(1)2528.4()0.05Ree萬元*2528.4 8001728.2()RRa從而投資所得純收入為萬元1200ln20ln1.254.46()0.05200800 0.05T 投資回收期為年,201728.2,由此可知 該投資在年可得純利潤為萬元 投資回收期為4.46年.思考題1.如何在已知邊際函數(shù)的情況下求總函數(shù)?答案?2.總利潤函數(shù)取得最大值的必要條件是什么L QR QC Q答案 3.請用定積分

31、寫出總收益與邊際收益的關(guān)系.R Q答案課堂練習(xí)題232 10,.1.生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為10,產(chǎn)量為 時的邊際成本函數(shù)為=-40+20 +3 邊際收入函數(shù)試求總成本函數(shù) 總收入函數(shù) 總利潤函數(shù)xMCxxMRx答案一、常微分方程的基本概念( )22,32nyy yyxya yy yx 凡表示函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)和自變量 之間關(guān)系的方程叫作常微分方程,如等.所謂的常微分方程是指只有一個自變量的微分方程,其一般形式為( ) , ,0nF x y y yy.n并稱其為 階常微分方程這里簡稱為.本章主要介紹微分方程的一些基本概念及幾種簡單的常用的微分方程的解法.常微分方程微分方程先從實例出發(fā),來說明微方程的

32、基本概念.,m自由落體問題.設(shè)質(zhì)量為 的物體 受重力作用,自由降落,試建立其方程.即求物體的運動規(guī)律.,( )(17)stss t 設(shè)物體降落的鉛垂線為 正向指向地心 物體在時刻 的位置為見圖-2522,.d sFmamgmdt由牛頓第二定律 則22:,d sgdt于是有關(guān)系式說明運動規(guī)律與質(zhì)量無關(guān).1,dsstgtcdt為了求 兩端對 積分 有2121( ).2s tgtctc再積分一次,便得運動規(guī)律注意到微分方程的解的過程是求原函數(shù)的過程,其解是一個函數(shù).( )( ) , ,0( ),nyf xF x y yyyf x 若將一函數(shù)代入到微分方程中去,使方程恒成立,則函數(shù)叫作微分方程的解.

33、圖17-25 物體降落 示意圖so221221( ),2.d ss tgtctcgdt如函數(shù)是微分方程的解 將其代入方程恒成立212332133232.:,32,3()2 .3yxy yxyxy yxxx 再如函數(shù)的微分方程的解驗證 因為將代入該微分方程,有12232122223321233(1)32 ?:11(1)2 ,3(+1) (331)22 ,(1)yxy yxyxxy yxxxxyx 問函數(shù)是否也滿足該滿足微分方程驗證因為將代入微分方程,有即函數(shù)也是該微分方程的解.1232122321233,() (),32.,()32,(1),yxccy yxyxcy yxcyxyx 實際上 函數(shù)

34、為任意實數(shù)或說成積分常數(shù) 都是微分方程解其解有無窮多個 稱為解曲線或者叫作積分曲線是平面內(nèi)一族曲線.把叫作微分方程的通解,或者說成所有解.若 取定某一固定數(shù)值,如等 叫作微分方程的特解.222121232 (),(),.,.ny yxd scgdtc cnnc cc 通過上面例題可以發(fā)現(xiàn),叫作一階微分方程 的通解只有一個積分常數(shù)而為二階微分方程 的通解中有兩個積分常數(shù)理由很簡單 因為一階微分方程求解時需積一次分,而二階微分方程積兩次分,依次類推, 階微分方程的通解要有 個積分常數(shù)其通解形式為12( ,)nyy x c cc:,.nnn特解的確定 因一階微分方程只有一個積分常數(shù),故需要一個初始條

35、件,二階微分方程有兩個積分常數(shù),故需要兩個初始條件, 階微分方程有 個積分常數(shù) 故需要 個初始條件來確定特解( , )x y 已知曲線 上任意一點處之切線垂直于此點與原點的連線, 例1(1)由此建立微分方程;22(2);xyc驗證隱函數(shù)為該微分方程的解(3)?該解如何得到的(4)(1,0),.若曲線過點試寫出該曲線方程(1)().;yx,yxyyx 點與原點連續(xù)的斜率為因為過該點切線垂直于其連線,所以此即為所求微分方程解在本節(jié)中，著重討論幾個簡單形式的一階微分方程的解法.1、可分離變量的微分方程( ) ( ),( ),( ),.dyf x g ydxf xg xx y形如的方程稱為可分離變量的

36、微分方程 其中分別是的連續(xù)函數(shù):( )0,g y 其解法為 設(shè)進行變量分離則有( )( )dyf x dxg y,.xy兩端積分,便得 和 的關(guān)系式 即解出了微分方程0( ),( )0,.yyxg y如果存在一點 或一函數(shù)使該情況另行考慮下面舉例說明二、一微分方程.dyxdxy 求解微分方程例122111,.22ydyxdxyxc變量分離兩端積分解22.yxc所以其通解為.m 確定鐳的衰變速度與質(zhì)量 成正比例2,(0),dmkm kdt 為比例系數(shù) 負號表示質(zhì)量隨時間增加而減少.解1,(0),ln,dmkdt mmktcdt 所以1,kt cktmee 即為衰變規(guī)律.由此可見鐳的質(zhì)量隨時間增加

37、而按指數(shù)規(guī)律衰減.000,.tmcm若已知時 鐳的質(zhì)量為這時0(1726).ktmm e所以有見圖20cos|1.xdyyxydx 解方程 并求滿足初始條件的特解例32110,cos,sin,sindyyxdxxcyyyxc 當時 有所以所以為原方程的通解.解1726見圖 例2示意圖Ot0mm0,0.yy顯然滿足該微分方程叫作該方程的補解10,1,1,.1 sinxycyx 將代入通解 得所求特解為221.(1)dyydxxxy 解微分方程例422211,1(1)1yxdydxdxyxxxx222211!(1)(1)xxxxxx所以22111ln(1)ln |ln(1)ln222yxxc故22

38、2(1)(1),(0)xycxc:,.注意 求解微分方程時 不必寫成顯函數(shù) 只寫出關(guān)系式即可解(2,3),17 一曲線過點 它在兩坐標軸間的任一切線段均為切點平分,求該曲線方程(見圖-27). 例5( , ),x y設(shè)為所求曲線上任意一點過該點的切線方程為解()Yyy Xx,.0,2 ,X YXYy式中為切線的流動坐標令此時,.dydxyxyyx 于是有即17圖-27 例5示意圖OxyyY( , )x y中點ln|ln|ln ,.2,3,6.yxcxycxyc 所以整理得當時6.xy 故所求曲線方程為6(1,1),(0,0)( , )1,(41728).OP x yxPyOP 例 一曲線從原點

39、經(jīng)過點伸向第一象限 曲線從點到點一段弧與 軸及過 點平行 軸的直線圍成面積等于為對角線,邊分別平行坐標軸的矩形面積的求該曲線方程 見圖1728圖 例6示意圖Oxy(1,1)( , )P x y01,0.,4xydxxy xx依題意有兩邊對 求導(dǎo)1()4yyxy33 ,3,ln3lnln ,.dydydxxyyxc ycxdxyx所以1 ,1.1xyc因為時所以故所求曲線方程為2,(0)yxx2、齊次微分方程dyyfdxx形如的方程稱為齊次微分方程.tandyyydxxx如即為一齊次微分方程.顯然該方程不能變量分離,解決該類問題的方法是解,.yuyxuxx令則兩端對 求導(dǎo)有dyduuxdxdxt

40、an ,.duuxuudx于是便可變量分離tan0,ln |sin| ln |ln ,(0),sintan,(0).dudxuuxc cuuxcx c當時所以tan0,0,0.sin,().uycycx cx 注意到即也是方程的解 所以允許原方程的通解為為任意常數(shù),( ),dyuxf udx上例提供了解齊次微分方程的一般方法 即經(jīng)過變換后 齊次方程可寫在將其變量分離即為( )dudxf uux227.dydyyxxydxdx例 解微分方程原方程可寫成解22ydyy dyxdxx dx2,ydydududuuyxuuxuuxu uxxdxdxdxdx令則所以即1,(0)udxduuuxln |

41、ln |ln ,0,0.yxuuxc cycec所以故所以原方程通解為,()yxycec為任意實數(shù):.c注 驗證補解過程習(xí)慣上可以省略,最后注明 的取值范圍即可3、()dyf axbycdx形如的微分方程,.()dudyduuaxbyabbf ucdxdxdxa令則原方程可轉(zhuǎn)化成將變量分離即()dudxbf uca28tan ().dyxydx例 解微分方程22,1,tan1,tan1dudy duduuxyudxdxdx dxu 令則2cos.ududx即解11(1 cos2 ),sin2224uu dudxuxc原方程的通解為1sin()24xyxyxc4、一階線性微分方程,.,dypyq

42、pdxqxyy形如稱為一階線性微分方程(!重點掌握!).這里均為 的連續(xù)函數(shù)之所以稱為線性 是指函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)都是一次的.( )0,0q xypy若即稱為一階線性齊次方程.( )0,.q xypyq若即稱為一階線性非齊次方程,ln |,.pdxdypdxyypdxc ycec 對于一階線性齊次方程,其通解很容易解決.即這里 為任意實數(shù)對于一階線性非齊次方程,不能進行變量分離,求解稍困難些.00,(),( )pdxpdxpdxypyypyqyceypyypyqyceycepcxc x 不難看出,一階線性齊次方程是非齊次方程的特殊情況,兩者既有聯(lián)系又有差異.對于函數(shù)來講,它一定是齊次方程的解,一定

43、不是非齊次方程的解 因為若將函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入非齊次方程 有左端恒為零,而右端為函數(shù)不是零.于是可以猜想,若 不是常數(shù),而 的函數(shù) 那么能否選取適當?shù)暮瘮?shù),( )?pdxyc x eypyq使函數(shù)是非齊次性方程的解呢( ).pdxyc x e于是人們嘗試:令為非齊次方程的解( )( )( ),pdxpdxpdxyyc x ec x epypyqc x eypypq將 及代入方程中.有所以( ), ( )pdxpdxc xqec xqedxc,( ),( ),pdxpdxc xqedxcyc x eypyq于是 當取適當函數(shù)時 函數(shù)一定是非齊次線性方程的解 即其通解為pdxpdxyqedxc e.

44、, 該方法稱為數(shù)變由于該通解作為公式不易記憶 因此不背公式,根據(jù)推導(dǎo)過程,即利用數(shù)變來求解一階線性非齊次方程.常易法常易法2.yyxx 求方程的通解例90.yyx先求對應(yīng)齊次方程的通解解,ln | ln |ln ,.dydxyxc ycxyx因為所以( ) , ( )( )yc x x yc x xc xyy設(shè)原方程的解為將 及 代入原方程有21 ( )( )( )c x xc xc x xxx所以21( ), ( )2c xx c xxc原方程通解為231122yxc xxcx2,xyyyxxxx該題當然也可以這樣來解:變形為即21,2yxcx所以即原方程通解為312yxcx2cot.sin

45、xyyxx 解微分方程例10cot0.yyx先求對應(yīng)齊次方程的通解解cot,ln |ln |sin|ln .dyxdxyxcy 因為所以齊次方程的通解為sincyx設(shè)原方程的解為( ),sinc xyx2( )sin( )cossinc xxc xxyxyy將 及代入原方程有( )( )( )2cotcotsinsinsinsinc xc xc xxxxxxxx所以2( )2 , ( )c xx c xxc原方的通解為2sinxcyxsin2 ,( sin )2 ,yxycoxxyxx該題也可以這樣來做:變形為即2sin,yxxc所以原方程通解為2sinxcyx5、伯努利方程1111,(0,1

46、).(?0,11?),1,(1)(1) ,.nnnnnndypyqynnndxdynypyqdxndydupyqyun pun qdxdx形如的方程稱為伯努利方程情形又如何其解法為:變形所以令整理得此為一階線性齊次方程2.yxyy 求微分方程通解例11111,duuuydxxx令則1,()1,1.cxuuxuxuxc ux 所以所以原方程的通解為xyxc解22(2)220,yxyyyxycx 因為所以即為該微分方程的解;2211(3),.22ydyxdxyxc 改寫微分方程成兩端積分可得22;xyc即為該微分方程的解22(4)1,0,1,1().xycxy因為時所以所求曲線方程為特解1、( )

47、nnd yf xdx型的微分方程,.nn該類方程只需連積分 次 便可得到通解,其中有 個積分常數(shù)2cos .xyex 解方程例1211sin,2xyexc2121cos,4xyexc xc解所以原方程的通解為2212311sin82xyexc xc xc三、高階微分方程的幾個特殊類型(0,1),12xyxMy 試求經(jīng)過點 且在該點與直線相切的積分曲線. 例2211,2yxc1110,22xyc由初始條件所以解321162yxxc所以20,1,1,xyc由初始條件所以所求曲線311162yxx2、( ,)yf x y型的微分方程,:,( ,).xxxyypyppf x ppx該類型方程的特點是不含未知函數(shù)其解法為 令則所以原方程可寫在為 關(guān)于 的一階微分方程.簡要地說,采用降階的方法來解該類方程.0.xyy 求方程的通解例3,xdpypydx設(shè)則10,ln |ln |ln,dpdpdxxppxcdxpx 所以原方程可寫成1112,ln |.ccpyycxcxx所以即所以原方程的通解為0022|1,|3.1xxxyyyyx 求方程滿足初始條件的特解例4解,xypyp設(shè)則解2222,11dpxdpxpdxdxxpx所以原方程可寫成為2211ln | ln(1)ln,(1).pxc pc x21(1).yc x即3012|3,3,3,xycyx