二分法求方程地近似解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二分法求方程的近似解姓名 :周穎學(xué)號(hào)： 56一、研究目的函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，又是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接的樞紐，其實(shí)質(zhì)是揭示了客觀世界中量的相互依存又互有制約的關(guān)系，因而函數(shù)與方程思想的教學(xué)，有著不可替代的重要位置?！岸址ā笔菙?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)新增的內(nèi)容，這樣的教學(xué)內(nèi)容對(duì)教師來說是新穎的?！岸址ā钡膬?nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)的結(jié)合： 既要掌握基本的算法， 了解算法思想， 又要恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用計(jì)算器，合理的組織技術(shù)平臺(tái)下的數(shù)學(xué)活動(dòng)。二分法的設(shè)置是通過研究函數(shù)的某些性質(zhì)，把函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解等同起來，加強(qiáng)了函數(shù)與方程的聯(lián)系， 突出函數(shù)的應(yīng)用，這又是本節(jié)課要滲透的一個(gè)數(shù)學(xué)思想

2、。所以本節(jié)課的本質(zhì)是向?qū)W生滲透函數(shù)與方程的思想、 近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地處理問題的算法思想。教材（蘇教版）對(duì)該內(nèi)容的組織形式是：問題情境學(xué)生活動(dòng)意義建構(gòu)數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)運(yùn)用反思總結(jié)。教材呈現(xiàn)方式無疑對(duì)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)產(chǎn)生影響，但實(shí)際課堂的數(shù)學(xué)活動(dòng)可能會(huì)帶來更多的啟發(fā)。二、核心概念和教學(xué)目標(biāo)“用二分法求方程的近似解”是新課標(biāo)補(bǔ)充的重要內(nèi)容之一。二分法的本質(zhì)在于逼近， 除了二分，還可以三分、 四分、0.618 分（黃金分割法）這些都體現(xiàn)了數(shù)值計(jì)算的逼近思想。二分法的優(yōu)點(diǎn)在于思想方法和算法流程比較簡單，所需數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)較少，收斂速度比較快，是同類算法中效率最高的。華羅庚先生在科普著作優(yōu)選

3、法評(píng)話中，將二分法稱為特殊情況優(yōu)選法。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二分法作為一種算法， 要求學(xué)生掌握一定的程式或步驟，其中關(guān)鍵的知識(shí)和方法有：零點(diǎn)區(qū)間的直覺判斷（如數(shù)形結(jié)合方法），函數(shù)值的計(jì)算，零點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)函數(shù)值特征的應(yīng)用（ f （m ）*f （ n ）<0 ），精度要求的判斷等。二分法還是運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決方程問題的重要方法之一，體現(xiàn)了函數(shù)與方法之間的內(nèi)在關(guān)系。“函數(shù)的零點(diǎn)”與“方程的解”之間的關(guān)系，是理解二分法的關(guān)鍵，抓住這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，也就抓住了函數(shù)與方程之間的內(nèi)在關(guān)系。由此可知道，本課的核心概念是：方程與方程的解，函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)，方程與函數(shù)的關(guān)系， 函數(shù)的圖像， 區(qū)間的中間值。 必須掌握的技能

4、是二分法的算法步驟。需要認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)思想是：函數(shù)思想，算法思想，逼近思想，數(shù)形結(jié)合思想。所以根據(jù)教材的要求，學(xué)生的實(shí)際情況，我將本課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定如下：知識(shí)與技能通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件， 了解二分法是求方程近似解的常用方法， 會(huì)用二分法求解具體方程的近似解，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用，體會(huì)程序化解決問題的思想過程與方法借助計(jì)算器求二分法求方程的近似解，讓學(xué)生充分體驗(yàn)近似的思想、逼近的思想和程序化地處理問題的思想及其重要作用，并為下一步學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備情感、態(tài)度、價(jià)值觀通過探究體驗(yàn)、展示、交流養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，增強(qiáng)合作意識(shí)。通過體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與

5、近似的相對(duì)統(tǒng)一。三、教學(xué)路線圖研究黑板上的這個(gè)方程，3，大家思考下x +3x-1=0I提出問題你能說出這個(gè)方程的一個(gè)根所在的區(qū)間嗎？精彩文檔II 探究問題III 探究發(fā)現(xiàn)IV二分法形成V 方法應(yīng)用VI布置作業(yè)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由于 f(- 1)與 f(1)的積是異號(hào)的。由此判斷在 -1 到 1 之間有一個(gè)根。 有沒有其它區(qū)間？通過分小組討論， 設(shè)計(jì)一種方案如何來尋找這樣一個(gè)方程的解。教師提示，如何縮小范圍？縮到什么時(shí)候停止，根據(jù)端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)判斷，去看看解所在的區(qū)間。然后進(jìn)行解法總結(jié)從特殊到一般，歸納二分法的程序和步驟。下面我們運(yùn)用二分法來求方程lnx+2x-3=0 的近似解。二分法思想在現(xiàn)實(shí)生

6、活中有何應(yīng)用？收集一下應(yīng)用二分法處理實(shí)際生活中的一些實(shí)例？四、對(duì)教學(xué)過程的整體分析與局部分析1整體分析本課所采用的教學(xué)方式是問題導(dǎo)學(xué)、數(shù)學(xué)探究的教學(xué)方式：通過問題引導(dǎo)、師生互動(dòng)，并輔以多媒體教學(xué)手段， 創(chuàng)設(shè)問題情景， 學(xué)生自主探究二分法的原理與步驟。教師以問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，不直接展示結(jié)論，通過問題情境，提出諸多帶有挑戰(zhàn)性的問題引領(lǐng)學(xué)生思考，一步一步地探索解決問題的辦法，形成基本的算法，并在具體應(yīng)用中反思、 鞏固建構(gòu)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的主體性。有函數(shù)與方程的知識(shí)作基礎(chǔ)， 通過本節(jié)課探究討論， 使學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，又采用多媒體技術(shù)，大容量信息的呈現(xiàn)和生動(dòng)形象的演示，一定能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、

7、激活學(xué)生思維、加深知識(shí)理解，掌握二分法的本質(zhì)，完成教學(xué)目標(biāo)?？梢?，本教學(xué)設(shè)計(jì)與教材的組織形式是一致的，較好地體現(xiàn)了教材設(shè)計(jì)的思想。本節(jié)課主要精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案表現(xiàn)在以下幾方面特點(diǎn)：（ 1）以問題引領(lǐng)學(xué)生思考，努力暴露學(xué)生的思維過程本課中創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的情境， 激發(fā)興趣，讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)思想，通過 x3+3 x-1=0的解所在區(qū)間這樣的問題來創(chuàng)設(shè)情境，不僅對(duì)學(xué)生產(chǎn)生很強(qiáng)的吸引力，學(xué)生也在猜測的過程中體會(huì)二分法思想。同時(shí)教師并不滿足學(xué)生答對(duì)問題，而是通過詢問，檢查學(xué)生的思考狀況，明確每一個(gè)思維環(huán)節(jié)的意義，讓學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解。如：有沒有其它區(qū)間？你能繼續(xù)縮小嗎？如果它是正的呢？如果它是

8、負(fù)的呢？這個(gè)過程我們可以無限繼續(xù)下去，書上用了“無限逼近”這個(gè)詞。下面其他同學(xué)談?wù)動(dòng)袥]有什么別的方法。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)思維的教學(xué)。在課堂教學(xué)過稱中，及時(shí)追問是提高學(xué)生思維參與、 加速知識(shí)領(lǐng)悟的重要策略。 面對(duì)學(xué)生簡單、短小的回答，教師需要及時(shí)追問， 在追問的過稱中了解學(xué)生的理解程度，捕捉可能的問題， 補(bǔ)救可能的不足。（ 2）重視學(xué)生間合作交流，重視二分法探究過程本節(jié)課中的每一個(gè)問題都是在師生交流中產(chǎn)生， 在學(xué)生合作探究中解決， 使學(xué)生經(jīng)歷了完整的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)了學(xué)生思維能力。赫爾莫斯指出：“問題是數(shù)學(xué)的心臟。 ”數(shù)學(xué)效果的好壞， 很大程度上取決于教師所設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題的優(yōu)劣。本課中，教

9、師設(shè)計(jì)的幾個(gè)問題，都是明確的。容易引起學(xué)生思維的問題：問題 1 ：研究方程 x3 +3 x-1=0 ，你能說出這個(gè)方程的一個(gè)根所在的區(qū)間精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案嗎？問題 2 ：如何運(yùn)用二分法來求方程lnx+2x-3=0的近似解。問題 3 ：在現(xiàn)實(shí)生活中有沒有與二分法相類似的一些應(yīng)用:其中問題 1 提出后，教師又通過幾個(gè)小問題一步一步地引導(dǎo)學(xué)生思考由于 f(-1) 與 f(1) 的積是異號(hào)的。由此判斷在 -1 到 1 之間有一個(gè)根。有沒有其它區(qū)間？當(dāng)這個(gè)過程無限繼續(xù)下去，書上用了“無限逼近”這個(gè)詞。下面其他同學(xué)談?wù)動(dòng)袥]有什么別的方法。我們這樣一種方法求近似解它的基本步驟是什么？二分法什么時(shí)候應(yīng)該終止

10、？這些問題的設(shè)計(jì)，緊緊圍繞“二分法求方程近似解”這一主題層次分明，符合條理清晰符合循序漸進(jìn)的教學(xué)原則。（3）注重科學(xué)研究一般方法的滲透，幫助學(xué)生感受科研過程數(shù)學(xué)教學(xué)就要 “教會(huì)學(xué)生去思考” ，注重科學(xué)研究一般方法的滲透是有效教學(xué)的必要條件。本課以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，在問題情境和問題解決中感悟數(shù)學(xué)原理，有提出猜想，有制定方案，有概括總結(jié)，有反思提升，學(xué)生在這樣的教學(xué)中自熱而然地感受了科學(xué)研究的過程，實(shí)踐了科學(xué)研究的方法。（4）恰當(dāng)?shù)乩眯畔⒓夹g(shù)，幫助學(xué)生探究數(shù)學(xué)本質(zhì)計(jì)算器的使用不是學(xué)生活動(dòng)的重點(diǎn)，而是支持學(xué)生開展探究活動(dòng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，學(xué)生能夠獨(dú)立地、熟練地使用計(jì)算器，在計(jì)算器的操作上成為觀察函數(shù)值、

11、選擇區(qū)間、判斷中止條件的有力工具， 使學(xué)生集中精力于算法的探索和檢驗(yàn)，保證了學(xué)生高水平的智力參與， 保證了課堂探究目標(biāo)的高效率實(shí)現(xiàn)。本節(jié)課中利用精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案計(jì)算器進(jìn)行了多次計(jì)算， 逐步縮小實(shí)數(shù)解所在范圍， 精確度的確定就顯得非常自然，突破了教學(xué)上的難點(diǎn)， 提高了探究活動(dòng)的有效性， 使得數(shù)學(xué)探究和計(jì)算技術(shù)整合的非常成功。2.局部分析（1）問題情境的處理就本課而言，二分法的本質(zhì)是第一位的，因此情境創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵是有利于學(xué)生揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、掌握二分法的解題步驟。 本課的情境創(chuàng)設(shè)以一個(gè)函數(shù)方程入手，與學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)緊密聯(lián)系，總體上說是可取的。但是當(dāng)學(xué)生提出類似于無限逼近這個(gè)概念的時(shí)候，教師并沒有

12、繼續(xù)深究下去，只是任學(xué)生一帶而過，到后來才說書上用了“無限逼近”這個(gè)詞，我認(rèn)為教師應(yīng)該再這里解釋的更為深刻些。 教師可以通過簡單的函數(shù)圖象來描述出解的逼近過程，當(dāng)然如果運(yùn)用幾何畫板，運(yùn)用多媒體技術(shù)的優(yōu)勢，把運(yùn)動(dòng)、變化的數(shù)學(xué)對(duì)象充分凸顯出來，讓學(xué)生在充分的形象和表象支持下， 自己發(fā)現(xiàn)二分法的特征，感受觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括的思維過程，那么情境教學(xué)效果將會(huì)好很多。（2）例題的講解本課例題教學(xué)的目的有兩點(diǎn)： 一是讓學(xué)生通過剛才方程x3 +3 x-1=0的根所在區(qū)間的探索得出二分法的過稱，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)二分法的內(nèi)涵； 二是讓學(xué)生感知二分法運(yùn)用的要點(diǎn)和方法。本課只有講授了一道例題運(yùn)用二分法來求方

13、程lnx+2x-3=0的近似解。（精確到 0.01 ）在計(jì)算的過程中利用了通過對(duì)方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)（如對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的研究）來解決這個(gè)問題，注重?cái)?shù)形結(jié)合，讓學(xué)生形成感性認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)二分法的理解。這是很好的。然后教師又提出問題”精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案在現(xiàn)實(shí)生活中有沒有與二分法相類似的一些應(yīng)用？你用過二分法嗎？”充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)之妙、數(shù)學(xué)之奇、數(shù)學(xué)之美，從而準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)、 剖析數(shù)學(xué)的魅力、 弄清數(shù)學(xué)的脈絡(luò)和層次、 體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的深刻性和普遍性。（3）數(shù)學(xué)語言的教學(xué)本課的一個(gè)重要工具就是數(shù)學(xué)語言的表達(dá)。課例顯示，教師沒有較好的引導(dǎo)學(xué)生的語言，如：二分法的一般步

14、驟，教師是通過自己的口述來描述的，“這個(gè)問題我們可以通過對(duì)方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)的研究可以發(fā)現(xiàn)，確認(rèn)下來它只有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)吧？”“比 5 大的就往上，比5 小的就往下。告訴我們這樣一個(gè)過程什么時(shí)候該終止？”這里教師直接給出答案“這實(shí)際上是我們利用精確度來取值”這些問題答案的得出不必由教師得出，教師可以再耐心一點(diǎn)，然后由學(xué)生自己得出答案， 或者可以讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)語言來表述，便于學(xué)生養(yǎng)成一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，便于學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達(dá)。 這樣體現(xiàn)問題導(dǎo)學(xué)、 數(shù)學(xué)探究的課堂教學(xué)方式。五、不足之處和改進(jìn)建議1不足之處（1）教師是教學(xué)的主導(dǎo)。 主導(dǎo)在很大程度上可以理解為教學(xué)向?qū)?，即在教學(xué)過程中進(jìn)行啟發(fā)、暗示、引導(dǎo)。

15、在探究教學(xué)中，教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在：提供探究方形，提供探究目標(biāo)，啟發(fā)探究方法，等等。通俗的講，就是學(xué)生能做的，就讓學(xué)生做，教師把握一個(gè)大方向。正如杜威所說：“他拿著舵，學(xué)生們用力把船劃向前去。 ”（思維與教學(xué)）精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案整體而言，本課教師的講授還是偏多，關(guān)鍵時(shí)刻還有直接告知的現(xiàn)象。在上課的一開始就以問題 “研究黑板上的這個(gè)方程， x3 +3 x-1=0 ，大家思考下你能說出這個(gè)方程的一個(gè)根所在的區(qū)間嗎？”入手，我認(rèn)為考慮以生活中例子引入，例如可以通過一個(gè)游戲， 從游戲中得出數(shù)學(xué)的一種逼近思想，然后經(jīng)過這一系列的疑問，學(xué)生經(jīng)過探究思考，利用計(jì)算器，得出近似解，這樣的話學(xué)生更容易接受新知

16、識(shí)。（2）如逼近思想就是教師直接給出的，又如第一個(gè)問題提出后，馬上又有一連串的指向性問題，在方法上無疑限制了學(xué)生的探索，尤其是第三個(gè)問題下面我們運(yùn)用二分法來求方程lnx+2x-3=0的近似解，實(shí)際上直接指示了解題的方法。而在本節(jié)課教學(xué)中，課題先行會(huì)對(duì)學(xué)生帶來暗示，不利于學(xué)生的創(chuàng)造性思維，不利于學(xué)生參與方法建構(gòu)的完整過程。（3）本節(jié)課在教學(xué)內(nèi)容上銜接了上節(jié)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的聯(lián)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)了上一節(jié)的內(nèi)容后，已初步理解了函數(shù)圖象與方程的根之間的關(guān)系，具有一定的數(shù)形結(jié)合思想， 這為理解函數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值符號(hào)提供了直觀認(rèn)識(shí)。但學(xué)生對(duì)于函數(shù)與方程之間的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)還比較薄弱，對(duì)于函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)

17、用、計(jì)算機(jī)的使用尚不夠熟練，這些都給學(xué)生在聯(lián)系函數(shù)與方程、發(fā)現(xiàn)函數(shù)值逼近函數(shù)零點(diǎn)時(shí)造成了一定的困難?，F(xiàn)在教師善于用以前學(xué)過的知識(shí)來引入新課，雖然這很好的起到了鞏固舊知的作用，而我認(rèn)為時(shí)代在不斷變化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活密切相關(guān)，從歷年的考試題目中我們就可以看到數(shù)學(xué)聯(lián)系生活的例子屢見不鮮，所以我建議教師在今后的上課過程要善于聯(lián)系生活實(shí)際，當(dāng)然這也要求教師要有一定的教學(xué)素養(yǎng)，就是善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)。同時(shí)我也相信通過這樣的學(xué)習(xí)，我們可以欣賞到數(shù)學(xué)的神奇與美麗，它將幫你擦亮一雙眼精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案睛，豐富你觀察世界的方式，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)東風(fēng)本質(zhì)與價(jià)值。（4）同時(shí)我也細(xì)微的發(fā)現(xiàn)，教師在引進(jìn)二分法概念的時(shí)候，是通

18、過自己口述來描述出二分法的一般步驟， 而我認(rèn)為這一步可以通過學(xué)生自己的總結(jié)得出，當(dāng)學(xué)生在口述二分法的過程中，如果有不足的地方，教師可以及時(shí)補(bǔ)充，這樣就便于學(xué)生理解二分法的概念以及使自己意識(shí)到在學(xué)習(xí)二分法求近似解過程中可能會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤。這樣可以充分體現(xiàn)體現(xiàn)了以學(xué)生為主的教學(xué)理念。（5）教師在上課過程中應(yīng)該控制課堂氣氛，可能有部分學(xué)生易受課堂上活動(dòng)和討論而分散注意力，從而影響其對(duì)知識(shí)的更深層的理解和掌握，因此，在教學(xué)時(shí)，要注意組織和協(xié)調(diào)。另外盡管使用了科學(xué)計(jì)算器，求一個(gè)方程的解也是很費(fèi)時(shí)的， 學(xué)生容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤和產(chǎn)生急躁情緒。 “二分法” 的思想方法簡單易懂，所需的數(shù)學(xué)知識(shí)較少，算法流程比較簡潔，又利用計(jì)算器和多媒體輔助教學(xué)，直觀明了，學(xué)生也在生活中有相關(guān)體驗(yàn)，所以易于被學(xué)生理解和掌握。但“二分法”不能用于求方程偶次重根的近似解、精確度概念與區(qū)間長度既有區(qū)別又有聯(lián)系