上海昂立智立方數(shù)學(xué)高中高一(秋季班)高數(shù)—10秋—03—命題和充要條件—賈德淼-教師版

1、專業(yè)引領(lǐng)共成長高一數(shù)學(xué)秋季班（教師版）教師日期學(xué)生課程編號課型復(fù)習(xí)課題命題和充要條件教學(xué)目標(biāo)1、理解邏輯連接詞“或”、“且”、“非”的含義；2、理解四種命題及其相互關(guān)系；3、理解充分條件、必要條件及充要條件的意義；4、理解子集與推出關(guān)系。教學(xué)重點1、熟練掌握原命題、逆命題、否命題、逆否命題之間的轉(zhuǎn)化；2、熟練運用互為逆否命題的真假值相同這一結(jié)論；3、理解充分條件、必要條件、充要條件之間的關(guān)系，并會證明。教學(xué)安排版塊時長1例題解析802鞏固訓(xùn)練303師生總結(jié)104課后練習(xí)30TV希立智立命題和充要條件知識梳理一、命題的概念1、一般地，我們把可以判斷真假的語句叫做命題。2、命題通常用陳述句表示，正

2、確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題。3、一般地，如果命題 成立可以推出命題也成立，那么就說由S可以推出P，記作相反的，如果1成立不能推出成立，那么就說由 值不可以推出，記作 胃 。4、如果m戶，并且，那么就說“與等價，記作。二、四種命題形式1、一個數(shù)學(xué)命題用條件。，結(jié)論表示就是“如果 ，那么”，把結(jié)論與條件交換，就得到一個新命題“如果 /?,那么”，我們把這個命題叫做原命題的逆命題。2、如果一個命題的條件與結(jié)論分別是另一個命題的條件與結(jié)論的否定，我們把這兩個命題叫做互否命題。如果其中一個叫做原命題，那么另外一個叫做原命題的否命題。3、命題。、/?的否定分別記作 一、。4、如果把原命題“如

3、果 。，那么結(jié)論的否定作條件，把條件的否定作結(jié)論，那么就可以得到一個新命題，我們將它叫做原命題的逆否命題。5、四種命題形式及其相互關(guān)系 ：bi立立m工工上耳川二i.F T原命題若tn則B互逆逆命題 若反則互逆否否命題逆否命題若非g則晌3互逆若非再則非u6、常見結(jié)論的否定形式：（拓展內(nèi)容）原結(jié)論否定形式原結(jié)論否定形式是不是至少有一個沒有都是不都是至多什-個至少用一個小于或等于至少有n個至多后n-1個小于至多后n個至少有n+1個對所有的x成立存在x不成立p或q非p且非q對任彳的x不成立存在x成立p且q非p或非q、充要條件1、充分條件與必要條件:般地，用 、 分別表示兩個命題，如果 1成立，可以推出

4、口也成立，即。=/ ,那么儀 叫做p的充分條件。p叫做口的必要條件。2、充要條件:如果既有=/?,又有pna ,即有,那么a既是/的充分條件又是P的必要條件,高一數(shù)學(xué)秋季班課程命題和充要條件（教師版）5 / 21這時我們就說 以是的充要條件。專業(yè)引領(lǐng)共成長高一數(shù)學(xué)秋季班課程命題和充要條件(教師版)7 / 21一、有關(guān)命題的概念【例1】判斷下列語句是否是命題：1022張三是四川人；10是個很大的數(shù)；x 2x 0；x 6 0；1 1 2；【難度】【答案】是命題；不是命題；不是命題；不是命題；是命題.【例2】判斷下列語句是不是命題，若是，判斷出其真假，若不是，說明理由 (1)矩形難道不是平行四邊形嗎

5、？(2)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？2(3)求證：x R,方程x x 1 0無實根.(4) x 5(5)人類在2020年登上火星.【難度】【答案】(1)是命題，且是真命題.(2)不是命題，這是疑問句，沒有對垂直于同一條直線的兩直線是否平行作出判斷(3)不是命題，是祈使句.(4)是開語句，不是命題.(5)是命題.但目前無法判斷真假.【例3】下面有四個命題：若a不屬于N ,則a屬于N ;若a N , b N ,則a b的最小值為2 ;x2 1 2x的解可表示為1,1 .其中真命題的個數(shù)為()D. 3C.A. 0個B. 1個【難度】【答案】A1-【解析】 O命題，如a萬；O命題，集合N中最小

6、的數(shù)是0 ,如a0,b 1； O命題，1,1與集合元素的互異性矛盾.【例4】下列判斷中正確的是().A. 12是偶數(shù)且是18的約數(shù)”是真命題B. “方程x2 x 1 0沒有實數(shù)根”是假命題C. “存在實數(shù)x,使得|x 2 3且x2 16”是真命題 D. “三角形的三個內(nèi)角的和大于或等于120 ”是假命題【難度】【答案】C【例5】對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點A(x1 , %)、B(x2 ,丫2),定義它們之間的一種距離”|AB| |x x21 | y1 y2| .給出下列三個命題：若點C在線段ab上，則|ac| |cb| |ab| ；222在 ABC 中，若 C 90 ,則 |AC| |CB|

7、AB| ；在 ABC 中，| AC |cb| |ab| .其中真命題的個數(shù)為()A. 1個B. 2個 C. 3個 D. 4個【難度】【答案】A【解析】記A, B,C三點的坐標(biāo)分別為(xa, 丫人)，d，yB),(xo ,yC),則 |ac|cb|xaxcxcxb+ vavcvcyBxaxbvayBI ab|,當(dāng)小，yC都分另IJ在xa , xb與Va , Vb之間時，上面的不等式取到等號，故正確，不一定；對于，取C(0,0), A(0,1),B(1,0),則中等式左邊1 1 2,右邊(1 1)2 4,故隊喻專業(yè)引領(lǐng)共成長【鞏固訓(xùn)練】1、判斷命題真假：如果 a 2,那么a 2（）【難度】【答案】

8、真2、若 x 2,5 和 xx|x 1或x 4都是假命題，則 x的范圍是 高一數(shù)學(xué)秋季班課程命題和充要條件（教師版）# / 21【難度】x 2,或 x 51 x 4【答案】1,2【解析】x 2,5和x x|x 1或x 4都是假命題，則3、已知A, B是兩個集合，下列四個命題:對任意x A,有x的包含于B砂包含B存在x A, x B其中真命題的序號是 【難度】【答案】【解析】反例：A 1,2,3 ,B 2,3,44、下面有四個命題： 集合N中最小的數(shù)是 1;若 a不屬于N ,則a屬于N ;若 a N,b N,則a b的最小值為2;x2 1 2x的解可表示為1,1 .其中真命題的個數(shù)為（）A. 0

9、個B. 1個C. 2個D. 3個【難度】【答案】A【解析】假命題，集合 N中最小的數(shù)是0 ; 1假命題，如a ；2假命題，如a 0,b 1 ；假命題，1,1與集合元素的互異性矛盾、命題的四種形式及其關(guān)系【例6】命題 若x y,則|x| |y|”，寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假,【難度】【答案】逆命題：若|x|y|JUx y（假，如x 1, y 1）否命題：若x y ,則| x| | y |（假，如x 1 , y 1）逆否命題：若|x| |y|,則X y （真，y |x| |y|）【例7】有4個命題：（1）沒有男生愛踢足球；（2）所有男生都不愛踢足球；（3）至少有一個男生不愛

10、踢足球；（4）所有女生都愛踢足球；其中是命題“所有男生都愛踢足球”的否定是 【難度】【答案】（3）【例8】寫出命題 若a,b都是偶數(shù)，則a b是偶數(shù)”的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假.【難度】【答案】逆命題：若a b是偶數(shù)，則a,b都是偶數(shù)，它是假命題；否命題：若a,b不都是偶數(shù)，則 a b不是偶數(shù)，它是假命題；逆否命題：若a b不是偶數(shù)，則a,b不都是偶數(shù)，它是真命題.【例9】寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假.負數(shù)的平方是正數(shù)”；若a和b都是偶數(shù)，則a b是偶數(shù)”;當(dāng)c 0時，若a b ,則ac bc”;若x y 5,則x 3且y 2”；【難度】【答案】逆

11、命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù).（假）否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù).（假）逆否命題：若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù).（真）逆命題：若a b是偶數(shù)，則a和b都是偶數(shù).（假）否命題：若a和b不全是偶數(shù)，則a b不是偶數(shù).（假）0HI立立方專業(yè)引領(lǐng)共成長逆否命題為：若a b不是偶數(shù)，則a和b不都是偶數(shù).（真）a b ,結(jié)論是ac bc .分析：當(dāng)c 0時”是大前提，寫其他命題時應(yīng)該保留，原命題的條件是逆命題：當(dāng)c 0時，若ac bc ,則a b .（真）否命題：當(dāng)c 0時，若a w b ,則ac w bc.（真）逆否命題：當(dāng)c 0時，若ac w bc,則a w b .（

12、真）,逆命題：若x 3且y 2 ,則x y 5 .（真）否命題：若x y 5 ,則x 3或y 2 .（真）逆否命題：若x 3或y 2,則x y 5.（假）【例10】已知命題p方程x2 mx 1 0有兩個不相等的實負根，命題q ：方程4x（m 2）x 1 0無實根；若p與q中有且僅有一個為真命題，求實數(shù)m的取值范圍.【難度】【答案】由命題 p可以得到:由命題q可以得到：因為p,q有且僅有一個為真當(dāng)p為真，q為假時，mm-2m 4m 0_ 2=(m 2)1622,or m 6r i ， m 2當(dāng)p為假，q為真時，22 m 60 m 202 m 6m 6m 2所以，m的取值氾圍為m|m 6或2 m

13、2【鞏固訓(xùn)練】1、有下列四個命題：“若x y 0 ,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題；“全等三角形的面積相等 ”的否命題；“若q w 1 ,則x2 2x q 0有實根”的逆否命題;“等邊三角形的三個內(nèi)角相等 逆命題；其中真命題的個數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3【難度】【答案】C【解析】的逆命題為 若x,y互為相反數(shù)，則 的否命題為 不全等的三角形，面積一定不等 為真命題，:q 0 ,故有實根，原命題為真，從而它的高一數(shù)學(xué)秋季班課程命題和充要條件（教師版）11 / 21I %;智M專業(yè)引領(lǐng)共成長,上逆否命題為真命題；為真命題，“逆命題為三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形”2、原命題： 設(shè)a, b,

14、c R ,若a b ,則ac2 bc2”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命 題共有（）個.A. 0B. 1C. 2D. 4【難度】【答案】C【解析】逆命題和否命題是真命題.3、命題： 若x2 1,則1 x 1”的逆否命題是（）A.若 x21,則 x1 或 x1 或 x 0, .方程有實數(shù)根，即原命題為真，.它的逆否命題也為真； AI B B則B A, 原命題為假，因而其逆否命題也為假.5.原命題的否命題是“三條邊相等的三角形是等邊三角形”，原命題的逆命題是 三、有關(guān)等價命題【例12】與命題“ k，y,工不全是負數(shù)”等價的命題是（）a、|x|, |y, Z中至少有一個是正數(shù)B、，y,工全不

15、是負數(shù)C、忖，y,卜中只有一個是負數(shù)d、m, y,衛(wèi)中至少有一個是非負數(shù)【難度】【答案】D【例13】與“一元二次方程+ bx+ E 華U）有一正根、一負根”等價的命題是（D ）高一數(shù)學(xué)秋季班課程命題和充要條件（教師版）# / 21儲立智立方專業(yè)引領(lǐng)共成長數(shù)學(xué)秋季班課程命題和充要條件（教師版）# / 21A、2二0B、2VoC、L0D、E2”是“11”的充分不必要條件； x 2一個命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真.其中說法不正確的序號是 .【難度】【答案】【解析】逆命題與逆否命題之間不存在必然的真假關(guān)系，故錯誤；此命題的逆否命題為設(shè)a, bC R,若a= 3且b=3,則a+ b = 6，此

16、命題為真命題，所以原命題也是真命題，錯誤；-1,x 2則1一1=0，解得x2,所以“x2是-1(B) a+b=2(C) ab1(D)a+b20HI立立方專業(yè)引領(lǐng)共成長高一數(shù)學(xué)秋季班課程命題和充要條件（教師版）15 / 21【答案】D四、充要條件的判定【例16】對任意實數(shù)a、b、c ,在下列命題中，真命題是（）A, “ac bc”是“ a b ”的必要條件B. “ ac bc”是“ a b ”的必要條件C. “ac bc”是“ a b ”的充分條件D. “ ac bc”是“ a b ”的充分條件【難度】【答案】B【解析】若A真，則a b ac bc ,不成立；若 C真，則ac bc a b ,不

17、成立；若D真，則ac bc a b,在c 。時有反例，故不成立； 答案為B, a b ac bc .【例17】若 a b c d ”和“ a b ew f ”都是真命題，其逆命題都是假命題， 則“ cw d 是 “ ew f ” 的（）A.必要非充分條件B.充分非必要條件C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件【難度】【答案】B【解析】 記命題P ： a b ,命題q ： c d ,命題r ： e 1B, a -1D. a 3【難度】【答案】A【解析】P ： | x 1|W2,得 3WxW1； q ： x1.【例21】給出以下四個條件： ab 0；a 0或b 0；a b 2；a 0且b 0.其

18、中可以作為“若a,b R,則a b 0”的一個充分而不必要條件的是 .【難度】【答案】【解析】 ab 0不充分，如a 1,b 2；既不充分，如 a 1,b 2 ；、充分而不必要，a b 2 a b 0 ,但反之不成立，a 0且b 0 a b 0,但反之不成立.【例22】已知不等式|x m| 1成立的充分不必要條件是11-x ,則m的取值范圍是32,41A. m | m 32C. m | - m 23【難度】【答案】C【解析】|x m| 11B.D.m| m - 24m | m - 311 .m x 1 m,- x 一時必有 |x m|1,即 1 m x 1 m ,32 11,0141 m-,1

19、m-，由此得一m-.3223X 1【例23】已知命題P： 1W2； q： x2 2x 1 m2 0(m 0),若P是q的必要非充分 37條件，求實數(shù)m的取值范圍.【難度】【答案】9 ,)【解析】先明確 p和q ,再由q p,且p? q,尋求m應(yīng)滿足的等價條件組.r 22一由 x 2x 1 mW0,m 0得 1 m x 9 ,1 m10 (3)注意到當(dāng)m 9時，中等號成立，而中等號不成立.m的取值范圍是9 ,).【例24】已知a 0,函數(shù)f(x) ax bx2 ,當(dāng)b 0時，若對任意xR都有f (x) w 1 ,證明:當(dāng)b 1時，證明：對任意 x 0,1, |f(x) w 1的充要條件是b 1W

20、aW2jE;當(dāng)0 b w 1時，討論對任意x 0,1,都有| f (x) w 1的充要條件.【難度】【答案】見解析22【解析】: b 0 , f (x) b x , 2b 4b2.當(dāng) x R 時，有 f (x)max , 4b高一數(shù)學(xué)秋季班課程命題和充要條件(教師版)19 / 21fcSiifi專業(yè)引領(lǐng)共成長2 a 于是，對 x R 都有 f(X)Wl ,f(x)max 14b, a 0, b 0 , - a 2而.先證必要性:1,高(0,1),f(1)wif(1戶 1f B1一，b 1 w a w 2 Jb .1W 1高一數(shù)學(xué)秋季班課程命題和充要條件(教師版)21 / 21再證充分性:0 b

21、 K a2s/b ,又 0 x (b 1)x bx bx(1 x) x x 1 ,且 f (x)axbx20 2 也x bx21 (1Vbx)2 0 1 ,f(x) & 1 ,綜上知，命題成立. 22當(dāng)a 0, 0 bW1,對任意x 0,1都有f(x) ax bx bx b 1 ,其次，若對任意 x 0 ,1都有 f(x) W 1 ,則 f (1)W 1 a b 1 a b 1 .反之，若awb 1, 0 bW1,則對任意x 0,1都有 22f (x) ax bx (b 1)x bx (1 x)(bx 1) 1 1 .綜上所述，當(dāng)a 0, 0 bW1時，對任意x 0,1都有f (x) W1的充

22、要條件是a0).由 1,1,得 a2, b 1 , . q p.1一為證明p? q ,可以舉出反例：取 4,1 ,它滿足a2, b 1 ,但q不成立.綜上討論可知a 2,b 1是 1,1的必要但不充分條件.3、求證：關(guān)于x的方程x2 2ax b 0有實數(shù)根，且兩根均小于2的一個充分條件是22且|34 .【難度】【答案】見解析【解析】當(dāng)a2且|b|w 4時，由題設(shè)有：4(a2 b) 4(4 b) 0 ,所以原方程有實數(shù)根.2函數(shù)f(x) x 2ax b的圖象為拋物線，開口向上，對稱軸為x a442480,因此方程的兩根都小于 2.故a2且|b|w 4是方程有實根且實根均小于2的充分條件.I反思總

23、結(jié)命題和充要條件是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,在高考中占有很高的地位.歷年高考命題中，充分條件和必要條件已經(jīng)成了高考考查的一個熱點，雖然這一部分在課本中只占一小節(jié)內(nèi)容，定義也很簡單，但它涉及的知識面很廣，幾乎滲透了高中數(shù)學(xué)的每一個角落；充要條件是數(shù)學(xué)中極其重要的一個概念，有關(guān)充要條件問題的求解是解題的一個難點，解這類問題需熟練掌握條件的概念，理解其含義，結(jié)合題設(shè)條件正確地分清條件與結(jié)論.在高考數(shù)學(xué)卷中，判斷充要條件的問題常出現(xiàn)在選擇題中，一般會與函數(shù)、不等式、立體幾何等知識結(jié)合起來進行考查.IA1普立方專業(yè)引領(lǐng)共成長課后練習(xí)一、填空題：2b1、設(shè)A : Xi,X2是萬程ax bx c 0(a 0)的兩

24、實數(shù)根；B:x X2，則A是B的a條件。【難度】【答案】充分不必要2、“乂僅-丫)0”是“ 1”成立的 條件。x【難度】【答案】充要3、已知命題：“a,b R,且a b 0”(1)該命題的一個充分非必要條件是 ;【難度】【答案】a 0,b 0(2)該命題的一個必要非充分條件是 ?！倦y度】【答案】a b 1 ;a,b中至少有一個小于 0；4、命題“面積不相等的兩個三角形不全等”的逆否命題是 ?！倦y度】【答案】兩個全等三角形的面積相等5、 a Kb 2”是a b 3”成立的 條件?！倦y度】【答案】必要不充分條件。6、“|x y| 2 是 “|x| 1且|y| 1 的【難度】【答案】必要非充分7、定義：若對定義域D上的任意實數(shù)x都有f(x) 0,則稱函數(shù)f(x)為D上的零函數(shù).根據(jù)以上定義，f(x)是D上的零函數(shù)或g(x)是D上的零函數(shù)”為“ f(x)與g(x)的積函數(shù)是D上的零函數(shù)” 的條件.【難度】【答案】充分非必要 二、選擇題：8、設(shè)m,n是整數(shù)，則“ m,n均為偶數(shù)”是“ m+n是偶數(shù)”的()(A)充分而不必要條件(B)必要而