二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題導(dǎo)學(xué)案

1、3. 3二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題第1課時(shí)二元一次不等式（組）與平面區(qū)域叵預(yù)習(xí)學(xué)案qZI ZHU -VU - XI -XUE-ANCl情景引入ing jing yin ru景泰藍(lán)是我國(guó)古老而又令很多人喜歡的手工藝品，它制作的關(guān)鍵一步是在制好的銅胎上，用扁銅絲依據(jù)圖案要求把銅胎表面劃分為若干個(gè)小的區(qū)域.例如，一片樹葉就需要兩條銅絲圍成樹葉形的封閉區(qū)域，一個(gè)三角形需要三條銅絲圍成一個(gè)封閉區(qū)域，.銅絲有直有曲、有長(zhǎng)有短，區(qū)域形狀各異，然后再經(jīng)“點(diǎn)藍(lán)”等工藝就制作成功.那么在制作過程中，這些區(qū)域是如何確定的呢？1 .二元一次不等式（組）（1）定義：我們把含有一兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)

2、是 _1_的不等式稱為 元一次不等式 ;把由幾個(gè) 二元一次不等式 組成的不等式組稱為二元一次不等式組.（2）解集：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)（x, y）,所有這樣的有序數(shù)對(duì)（x, y）構(gòu)成的集合 稱為二元一次不等式（組）的解集.有序數(shù)對(duì)可以看成是直角坐 標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo) .于是,二元一次不等式（組）的 解集就可以看成直角坐標(biāo)內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合.2 .平面區(qū)域（1）定義：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ax+By+C0表示直線 Ax+ By + C= 0 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，直線 Ax+By+C= 0 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的 平面區(qū)域，直線 Ax+ By+C=

3、0稱為這個(gè)平面區(qū)域的 邊界一這時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中， 把直線Ax+ By + C=0畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界；而不等式 Ax+By+C0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成 實(shí)線.（2）判斷方法：只需在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)取某個(gè)特殊點(diǎn)（x。，yo）作為測(cè)試點(diǎn)，由Axo+ Byo+ C的符號(hào)就可以斷定 Ax+ By+ C0表示的是直線 Ax+ By+C= 0哪一側(cè) 的平面區(qū)域.特別地，當(dāng)CW0時(shí)，常取原點(diǎn)（0,0）作為測(cè)試點(diǎn);當(dāng) C=0時(shí)，常?。?,1）或（1,0）作 為測(cè)試點(diǎn).1 .下列各式中，不是二元一次不等式的是（C ）A. -x-y+20C. y22xD. x+ 2y1

4、3x y解析選項(xiàng)C中，y的最高次數(shù)是2,不符合二元一次不等式的定義，故選 C.2 .原點(diǎn)和點(diǎn)(1,1)在直線x+ ya=0的兩側(cè)，則a的取值范圍是(C )A . a2B. a=0 或 a=2C. 0a2D. 0Waw 2解析 設(shè) F(x, y) = x+ y-a,由題意知 F(0,0) F(1,1)0,即一a(2 a)0,0a2.3 .以下不等式所表示的平面區(qū)域中包含原點(diǎn)的是(D )A. x-y+ 10C. 2x+5y-1010D. 4x-3y 12解析當(dāng)x=0, y=0時(shí)，4x 3ywi2成立，故選 D.x0 表示的平面區(qū)域的面積是 6 .2x+y+2011解析作出平面區(qū)域如圖 ABC, A

5、( 1,0)、B(1,2)、C(1 , -4), Sabc= 2 |BC| d=-X 6X2 =6.（d表示A到直線BC的距離.）命題方向1 ?二兀一次不等式表布的平面區(qū)域例題1畫出不等式2x+ y6W0表示的平面區(qū)域.解析先畫直線2乂+丫6=0（畫成實(shí)線），把原點(diǎn)（0,0）,代入2x+y6.因?yàn)?2X 0+ 0-6=- 60,所以（0,0）在2x+ y-6 0表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式2x+ y- 60（或v 0）表示直線的哪一側(cè)，當(dāng) CW0時(shí)，常把原點(diǎn)作 為此特殊點(diǎn).跟蹤練習(xí)1畫出不等式x+ 2y4V0表示的平面區(qū)域.解析 先畫直線x+2y4=0（畫成虛線），取原點(diǎn)（0,0）,代入x+2y4

6、,因?yàn)?+2X04 V 0,所以，原點(diǎn)在一x+ 2y 4 V 0表布的平面區(qū)域內(nèi)，所以，不等式一 x+ 2y 4V 0表 示的區(qū)域如圖所示.命題方向2 ?二元一次不等式組表示的平面區(qū)域例題2畫出下列不等式組表示的平面區(qū)域.x y+ 5 0 x+ y+ 1 0 x0表示直線x-y+ 5=0上及右下方的點(diǎn)的集合， x+y+ 1 0 表示直線x+y+1 = 0上及右上方的點(diǎn)的集合，xw 3表示直線x= 3上及左方的點(diǎn)的集合， 所 以不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分 （包括邊界）.規(guī)律總結(jié)1.在畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時(shí)，應(yīng)先畫出每個(gè)不等式表示“交”；表示.的區(qū)域，再取它們的公共部分即可.

7、其步驟為：畫線；定側(cè)；求2 .要判斷一個(gè)二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，只需在它所對(duì)應(yīng)的直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)（x。, yo）,從Axo+Byo+C的正負(fù)判斷.跟蹤練習(xí)22x-y- 1 0回出不等式組 x y表木的平面區(qū)域.x0表示的平面區(qū)域是直線2x-y-1=0下方區(qū)域（包括直線上的點(diǎn)）；不等式x-y即x+ y0,表示的區(qū)域是直線 x+y=0上方區(qū)域（不包括直線）；x0.所以直線 x+2y-1 = 0對(duì)應(yīng)的不等式為 x+2y-10.把 P(1,1)代入 x- y+2,彳導(dǎo) 1 1 + 20;代入 2x+ y-5,得 2X1 + 150,2x+ y-50所以所求區(qū)域的不等式組為x-y+202

8、x+ y 5W 0規(guī)律總結(jié)已知平面區(qū)域，用不等式（組）表示，其一般步驟是求出邊界的直線方程；確定不等號(hào)，從平面區(qū)域內(nèi)不在所有直線上的點(diǎn)中任取一點(diǎn)，將其坐標(biāo)代入直線方程判斷符號(hào)確定不等號(hào).跟蹤練習(xí)3試用不等式組表示由 x+y+2=0,x+2y+1 = 0和2x+ y+1 = 0圍成的三角形區(qū)域（包括 邊界）.解析直線x+ y+ 2=0, x+ 2y+ 1 = 0,2x+ y+1=0表示的三角形區(qū)域如圖陰影部分所 示. 3.取區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（2, 0）驗(yàn)證：3 一一 1-2+。+2 = 20,31-2+ 0+1 = -20,32X （-2）+0+1 = - 20x+2y+10 .2x+ y+10易混易

9、錯(cuò)警示三,Yi h|niinn ahi :忽略邊界虛實(shí)、位置不明致使表示平面區(qū)域失誤i hun yi cuo jing shi例題4畫出不等式組x+y 2 0x- y+ 10表布的平面區(qū)域.錯(cuò)解不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.辨析錯(cuò)解中，畫圖時(shí)沒有注意邊界的虛實(shí)，且位置不明而致誤.正解不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.學(xué)科核心素養(yǎng)X ， ，.ue ke he xin su yang求平面區(qū)域的面積y xx+ 2yW 4表示的平面區(qū)域的面積為 （B ）50B萬10D-925A. V 3looc. 丁 3分析首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，求出各直線的交點(diǎn)，再結(jié)合平面區(qū)域的形 狀確定

10、直接求面積不是先分割再求面積.yw x解析不等式組x+ 2y0表示的平面區(qū)域在直線2xy6=0的(D )A.左上方B.右上方C.左下方D.右下方解析將(0,0)代入2x-y-6,得60表示的平面 區(qū)域的異側(cè)，則所求區(qū)域在對(duì)應(yīng)直線的右下方.2 .不在不等式3x+ 2y6表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是 (D )A. (0,0)B. (1,1)C. (0,2)D, (2,0)解析x= 0, y=0 時(shí)，3x+ 2y6 成立，x= 1, y= 1 時(shí)，3x + 2y6 成立，x= 0, y=2 時(shí)，3x + 2y6 成立，x= 2, y=0 時(shí)，3x + 2y6 不成立.故選D.x+3y-603 .不等式組表

11、示的平面區(qū)域是(B )x y+ 20解析將(0,0)代入檢驗(yàn)知點(diǎn)(0,0)滿足x+ 3y- 6 0,平面區(qū)域應(yīng)在直線x+ 3y- 6= 0的卜方，點(diǎn)(0,0)不滿足x y+20,故平面區(qū)域應(yīng)在直線x y+2=0的上方，結(jié)合圖形知選B.x0表示的平面區(qū)域的面積為2y-x .IF-a.PJA級(jí)基礎(chǔ)鞏固、選擇題yv x1 .不等式組x+ y3A. Pi?D, P2?DB. Pi?D, P2 DC. Pi C D, P2?DD. PiC D, P2C D解析Pi點(diǎn)不滿足y3.P2點(diǎn)不滿足yvx和y3.，選A .2 .圖中陰影部分表示的區(qū)域?qū)?yīng)的二元一次不等式組為（A ）x+ yi 0 A.x-2y+2

12、0x+y K 0 B.x-2y+2 0 C.x- 2y+20解析取原點(diǎn)O（0,0）檢驗(yàn)?t足x+y-K0,故異側(cè)點(diǎn)應(yīng)為x+y- i0,排除B、D.O點(diǎn)滿足x-2y+20,排除C. .選A.3 .不等式x2y20表示的平面區(qū)域是（B ）解析將（*0）代入均滿足，故選B.4.已知點(diǎn)（3,1）和（一4,6）在直線3x2y+a=0的兩側(cè)，則a的取值范圍是（C ）B. - 24a7A. a24C. 7a24D. a7解析要使點(diǎn)（3,1）和（4,6）在直線3x2y+a=0的兩則，必須且只需（3X32X1 +a）3N 4） 2 X6+a0 即可,解得7a05.不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)（C ）0x0,知點(diǎn)

13、（0,1）在不等式（xy+5）（x+y） 0表示的對(duì)頂 角形區(qū)域內(nèi)，再畫出直線 x= 0和x=3,則原不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，它 是一個(gè)梯形.x- y + 6 06 .不等式組x+ y0表示的平面區(qū)域的面積是（B ）x0表示的平面區(qū)域內(nèi)， 則m、n滿足的條件是 5m + 4n 1 w 0.解析由題意知點(diǎn)P不在不等式5x+4y10表示的平面區(qū)域內(nèi)， 即為點(diǎn)P在不等式 5x+ 4y1W0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則5m+ 4n-1 0.x0 表示的平面區(qū)域?yàn)镮,則當(dāng)a從2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線 y-x 0表布的平面區(qū)域.x y 09 .畫出不等式組y 3x0表示在直線 x+y6= 0上及右上

14、方的點(diǎn)的集合，x-y0表示在直線xy=0上及右下方的點(diǎn)的集合，yW3表示在直線y= 3上及其下方的點(diǎn)的集合，x+ y - 6 0x y 0xv 5表示直線x=5左方的點(diǎn)的集合，所以不等式組y01 .不等式組-wxW4表示的平面區(qū)域是（B ）A.兩個(gè)三角形C.梯形解析如圖B. 一個(gè)三角形D.等腰梯形. （x-y+1）（x+ y+1）0表示如圖（1）所示的對(duì)頂角形區(qū)域，且兩直線交于點(diǎn) A（1,0）.故 添加條件一1 w xW 4后表示的區(qū)域如圖（2）.10 完成一項(xiàng)裝修工程，木工和瓦工的比例為2 3,請(qǐng)木工需付工資每人 50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人 40元，現(xiàn)有工資預(yù)算 2 000元，設(shè)木工x人，瓦

15、工y人，請(qǐng)工人數(shù)的約束條件是（C ）2x+ 3產(chǎn) 5A.*x、yC N50x+ 40y 2000B- x_2y 35x+6yv 100D. x_2y35x+4y0表示的區(qū)域內(nèi)，貝 U a= _ 3 _.解析由條件知，|1-. 2| = 羋，a=0或3,又點(diǎn)P在3x+y30表示的區(qū)域 內(nèi)，3+a-30,a0, a= 3.x+ y 2 04,不等式組 x+ 2y-40解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,得 A(8,2).x+3y-2=0由x+2y-4=0由 x+y2=0 得 B(0,2).又 |CD|=2,故 S 陰影=1X2X2+1X2X2= 4.22三、解答題12 畫出不等式(x+2y

16、+1)(x y+4)0x y+ 4V 0x+ 2y+ 1 v 0x y+40在同一直角坐標(biāo)內(nèi)作出兩個(gè)不等式在直角坐標(biāo)系中畫出直線 x+2y+1 = 0與xy+4=0,(畫成虛線)取原點(diǎn)(0,0)可以判斷.不等式x+ 2y+ 1 0表不直線 x+ 2y +1=0的右上方區(qū)域，x+ 2y+ 1 v 0表不直線x +2y+1 = 0的左下方區(qū)域；x y+40表示直線x y+ 4= 0的右下方區(qū)域.所以不等式組表示的平面區(qū)域，即原不等式表示的平面區(qū)域如圖所示.i + Zfl-QC級(jí)能力拔高x- y + 8 01.設(shè)不等式組x + y0x 一 i,即t 0t 一 7 t+ 1 0(2)由已知得t 0y

17、0上述不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分（含邊界）.第2課時(shí)線性規(guī)劃的概念叵預(yù)習(xí)學(xué)案3ZI - ZHU - YU , XIXUEAN情景引入ing jing yin ru戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的齊國(guó)大臣田忌與國(guó)王賽馬，用自己的下等馬對(duì)國(guó)王的上等馬，用自己的上等馬對(duì)國(guó)王的中等馬，用自己的中等馬對(duì)國(guó)王的下等馬，這樣田忌以2： 1取得了勝利，這個(gè)故事講述了規(guī)劃的威力. 實(shí)際生產(chǎn)生活中，我們常常希望以最少的投入獲得最大的回報(bào).線 性規(guī)劃提供了解決優(yōu)化問題的有效工具.新知導(dǎo)學(xué) 號(hào)X/in zhi dao xue線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件變量x, y滿足的一組條件線性約束條件關(guān)于x, y的二k次不等式

18、目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于x, y的一次函數(shù) 解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題Y u xi zi cex+3yW31. （2017全國(guó)卷I文，7）設(shè)x、y滿足約束條件 x-y1,則z=x+y的最大值為y 0（D ）A. 0B. 1C. 2D. 3解析根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由2=乂+丫得丫= x+Z.作出直線y=-x,并平移該直線，當(dāng)直線y=x+z過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值.由圖知A（3,0）,故

19、zmax =3 + 0=3.故選D.2x+3y-30 ,則z= 2x+ y的最小 y+30值是（A ）A. - 15B. 9C. 1D. 9解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.2j-Jy+3 -0ys-2x將目標(biāo)函數(shù) z= 2x+ y化為y=2x+z,作出直線y=-2x,并平移該直線，知當(dāng)直線y= 2x+z經(jīng)過點(diǎn)A( 6, 3)時(shí)，z有最小值，且 Zmin=2X (-6)-3=- 15.故選A .3x+ y-603.設(shè)變量x、y滿足約束條件 x-y-20，則目標(biāo)函數(shù)z=y2x的最小值為(A )y-30x-y-20,畫出可行域如圖，容易求出 A(2,0)、B(5,3)、y-3 0曰 4

20、c解析本題考查線性規(guī)劃與最優(yōu)解.一L-1 /可知z=y2x過點(diǎn)B(5,3)時(shí)，z最小值為公3，3- + 1-6-()3-2X 5=- 7.4.已知z 2x+y,式子中變重 x、y滿足條件y xx+ywi,則z的最大值 3.y ) 1解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.C. 1D. 2作直線lo： 2x+ y=0,平移直線10,當(dāng)直線10經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A（2, 1）時(shí)，z取最大值 2X 2- 1 = 3.國(guó)探究學(xué)案HU - DONG-TAN-JIU - XUE-ANH互動(dòng)探究解疑u dong tan jiu jie yi命題方向1?求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題x一 4yW 3例題1設(shè)z= 2x+

21、 y,式中變量x、y滿足條件3x+5y 1最小值.分析由于所給約束條件及目標(biāo)函數(shù)均為關(guān)于x、y的一次式，所以此問題是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題，使用圖解法求解.解析作出不等式組表示的平面區(qū)域 （即可行域），如圖所示.把z= 2x+ y變形為y= 2x+ z,得到斜率為一2,在y軸上的截距為z,隨z變化的一 族平行直線.由圖可看出，當(dāng)直線 z= 2x+y經(jīng)過可行域上的點(diǎn) A時(shí)，截距z最大，經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，截 距z最小.x 4y+ 3= 0解萬程組，得A點(diǎn)坐標(biāo)為（5,2）,3x+5y25=0x= 1解萬程組，得B點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,x- 4y+ 3=0所以 zmax= 2X 5+ 2=12, zmin = 2X

22、 1 + 1 = 3.規(guī)律總結(jié)（1）解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地作出可行域，正確理解 z的幾何意義，對(duì)一個(gè)封閉圖形而言，最優(yōu)解一般在可行域的邊界線交點(diǎn)處或邊界線上取得.在解題中也可由此快速找到最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(2)要注意直線斜率的大小.跟蹤練習(xí)1xw 3,則x+ 2y的最大值為(D )（2017北京理，4）若x、y滿足x+y2 y w x11設(shè) z= x+ 2y,則 y=- 2x+2z.1 11作出直線10： y=1x,并平移該直線，可知當(dāng)直線y=-1x+ 2z過點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值.x= 3x= 3由 得 ，故C(3,3).y = xy= 3Zmax= 3+2X 3=9.故選D.命題方向

23、2 ?簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃中的整數(shù)解例題2設(shè)z= 7x+ 5y中的變量x、y滿足下列條件4x+3y-20 0y 0分析先作出不等式組所表示的可行域，需要注意的是這里的 x、y是整數(shù)，故只是可行域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，然后作出與直線7x+5y= 0平行的直線再進(jìn)行觀察.解析由題意知，作出可行域如圖所示.4x+3y-20=0 由方程組x- 3y-2=0,解得交點(diǎn)A的坐標(biāo)為4、,5)-作直線7x+ 5y =0,平行移動(dòng)過點(diǎn) A時(shí)，z= 7x+ 5y取最大值.,點(diǎn)A不是整數(shù)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的 z值不是最優(yōu)解.此時(shí)過點(diǎn)A的直線為7x+5y =174應(yīng)考慮可行域中距離直線7x+5y =174最近的整點(diǎn)，即 B（2,4）.z（B）

24、= 7X2 + 5X4=34,，z 的最大值為 34.規(guī)律總結(jié)在求解最優(yōu)解為整數(shù)點(diǎn)的題型時(shí)，若最優(yōu)解不在直線的交點(diǎn)處,應(yīng)考慮可行域中距離鄰近最優(yōu)解的邊界線附近的整點(diǎn)，比較后作出正確的解答.跟蹤練習(xí)2|x+ y| 1不等式組|x y|1表示的平面區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 （D ）A. 0B. 2C. 4D. 5解析不等式組|x+ yH變形為|x y|1x+ y 1-K x+ y 1.作出其平面區(qū)域如圖.x y 1可見其整點(diǎn)有:(1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0, 1)和(1,0)共 5 個(gè).命題方向3 ?非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題x y+ 2 0例題3已知x、y滿足x+y-402x一 y一 5

25、w 0求：z=x2+y2I0y+25的最小值；(2)z= 的取值范圍.x+1分析(1)將z化為z=x2+(y5)2,問題轉(zhuǎn)化為求可行域中的點(diǎn)與定點(diǎn)的最小距離問 題；y 1 .、 (2)將式子化為z=或y+1 = z(x+1),問題轉(zhuǎn)化為求可仃域中的點(diǎn)與te點(diǎn)的連線x 1的斜率的最值問題.解析(1)作出可行域，如圖.并求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1,3)、(3,1).(1)z=x2+(y5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x, y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的平方，過 M作直線AC的垂線 MN,垂足為 N,則：z最小= |MN|2=(弋5詈)2 = 1,111 kQA = 2 , kQB =, = o- 1+

26、13+1 2.z的取值范圍為2，2 . 規(guī)律總結(jié)求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，要注意分析充分利用目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，通常與截距、斜率、距離等聯(lián)系. 跟蹤練習(xí)3 x+y 2(2016山東理，4)若變量x、y滿足2x-3y 0A. 4.(2)z= =1表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x, y)與定點(diǎn)Q(-1, 1)連線的斜率，可知，kAQ最大,kQB最小.而B. 9x+1 x- -12x-y+ 10(2)設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件x+ 3y-30,則z=的取值范圍是(D )B.16解析D.(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設(shè)P(x, y)為平面區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，則x2+y2表示|OP|2.顯然

27、，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，|OP|2,即x2+y2取得最大x+y=2值.由2x- 3y=9x= 3,解得，故A(3, -1).所以x2+y2的最大值為32+(1)2=10.y=- 1(2)作出可行域如圖,B(1,0)連線的斜率k,顯然z =x+y 2 0kBM k0x3y+7W0，求使得線性目標(biāo)函數(shù) z=x+ 2y2x+ y 7 0點(diǎn)（0,2）,因此要使目標(biāo)函數(shù)z=yx2取到最小值一4,應(yīng)有l(wèi)與x軸的交點(diǎn)A（余0）在點(diǎn)B（2,0）的右邊.依據(jù)最值列萬程即k可求得k值.解析若k0, z=y-x沒有最小值，不合題意.若k0，則z= x-y的取值范y 0圍是（B ）A. -3,0B. 3,2C. 0,2

28、D. 0,3解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.由題意可知，當(dāng)直線 y=x- z過點(diǎn)A（2,0）時(shí)，z取得最大值，即Zmax= 2 0=2；當(dāng)直線 y = x- z過點(diǎn)B（0,3）時(shí)，z取得最小值，即 zmin=0-3=- 3.所以z=x y的取值范圍是3,2.故選B.2x+ y0x+ 2y 2 0一2. （2017天津卷理，2）設(shè)變量x、y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù) z= xx0y23.設(shè)變量x、y滿足約束條件2x+y 13 aA. 2, 6C. -1,6，則目標(biāo)函數(shù)z= 3x y的取值范圍是（A ）B.D.解析作出不等式組表示的可行域,-|, -13 6,習(xí)如圖中的陰影部分，

29、作直線3x-y=0,并向左上、右下平移.由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z=3xy取最大值；當(dāng)直線過點(diǎn) B時(shí)，z=3x-y取最小值.由x+ 2y-2=0，得 A(2,0);2x + y4=04x y+ 1 = 02x+ y 4= 01得 B(-, 3),由3Hl0*山-x%1 c 3 - Zmax= 3X 2 0 = 6, Zmin= 3X/ 3=一萬.3z= 3x y的取值范圍是一萬，6.x y+ 5 04.若不等式組 ya表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則 a的取值范圍是0x 0解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當(dāng) y=a過點(diǎn)A(0,5)0x2時(shí)原不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危碅BC.當(dāng)

30、5a7時(shí)，表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?綜上可知，當(dāng) 5 a7時(shí)，表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?A級(jí)基礎(chǔ)鞏固、選擇題x-2y+50,則z=x+ 2y的最大值是y 0, y 0,且x+yW1,則z=xy的最大值為(B )A. 1B. 1C. 2D. 2解析可行域?yàn)閳D中 AOB,當(dāng)直線y=xZ經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，一Z最小從而Z最大，Zmax3.已知x y+ 5 0x、y滿足約束條件x+ y0x 3,貝U z= 2x+ 4y的最小值為（B ）A. 5B. 6C. 10D. 10解析可行域?yàn)閳D中 ABC及其內(nèi)部的平面區(qū)域，當(dāng)直線 y=-2x+ :經(jīng)過點(diǎn)B（3,3）時(shí)，Z 最小，Zmin=6.4. （2017山東理，4）已

31、知x、y滿足約束條件 3x+ y+50B. 2A. 0C. 5解析如圖所示，先畫出可行域,D. 6作出直線l: x+ 2y=0.,3x+ y+5=0由，x+3= 0x= 3解得y= 4A(-3,4).由圖可知平移直線l至過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值,zmax= 3+2X4= 5.2x+ y 45.設(shè)x、y滿足約束條件 x-y1,則目標(biāo)函數(shù)z= x+y( A )x-2y4解析畫出不等式組 x-y1表示的平面區(qū)域，如下圖，由 z=x+y,得x- 2y06.實(shí)數(shù)x、y滿足x+y 0x 1z則z= x+2y的最小值是(A )A. 1_ 1B. 2C. 5D. 1解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,平移直線x

32、+2y=0知，當(dāng)z= x+2y經(jīng)過點(diǎn)A(1 , 1)時(shí)，取得取小值，Zmin= 1 2 =二、填空題7.在 ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A(2,4)、B(1,2)、C(1,0),點(diǎn) P(x, y)在 ABC 的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則y-x的取值范圍為1,32解析回出二角形區(qū)域如圖，易知kAB = -1 ,3令Z= y-x,則y=x+z,作出直線lo： y= x,平移直線10,當(dāng)經(jīng)過點(diǎn) C時(shí)，Zmin= 1, 當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，Zmax=3, 一 1 w z w 3.2x+3y-6 0所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn),y 0則|OM|的最小值是卷.解析本題考查不等式組表示平面區(qū)域及點(diǎn)到直線距離問題.不等式組所表示

33、平面區(qū)域如圖,由圖可知|OM|的最小值即O到直線x+ y2=0的距離.故|OM|的最小值為三、解答題x y ） 一 19.若非負(fù)變量x、y滿足約束條件，求x+ y的最大值.x+ 2y 0y 0解析由題意知x、y滿足的約束條件x- y 一 1x+ 2y 11 .若x、y滿足約束條件 x-y- 12x- y 2則a的取值范圍是（A ）A. (-4,2)C. (4,0)解析作出可行域如圖所示,即一4a0,那么x2 + y2的取值范圍是（D ）A. 1,44 - C. g，4解析B. 1,5D. 4, 55不等式組X 1y0 2=0的距離最小，為白等=泉,此時(shí)可得（xZ+ybminrg;點(diǎn)（1,2）到

34、原點(diǎn)O的距離最大, 為、12+22 =木,此時(shí)可得（x2+ y2）max= 5.故選D .二、填空題x 1y1 一，, 一，一3.已知點(diǎn) M、N是所圍成的平面區(qū)域內(nèi)的兩點(diǎn)，則|MN|的最大值是x y+1 0x+ y04 . （2016全國(guó)卷出文，13）設(shè)x、y滿足約束條件 x-2y- 1 0 ,則z= 2x+ 3y 5的x 1最小值為_- 10z= 2x+ 3y 5解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A( 1 ,三、解答題2x y02x y 0Zmax= 2 X 1 + 2=4.，z= 2x+ y的最大值是 4.x+ y 06.在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組 x-y

35、0 （a為正常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積是4,x0,，a=2.設(shè) z= 2x + y,，y= 2x+z,y = x由 ，得（2,2）,即z在（2,2）處取得最大值6.x=2C級(jí)能力拔高x+ |y|w 1一一1 .已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1,2），點(diǎn)P的坐標(biāo)（x, y）滿足約束條件，求z= OA OPx0的最大值.解析作出可行域如圖中陰影部分所示，易知 B（0,1）, z=OA 0P=x+ 2y,平移直線x + 2y=0,顯然當(dāng)直線z = x+2y經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值，且Zmax= 2.工戶1xy+502 .設(shè)x、y滿足條件 x+ y0x 01.設(shè)x、y滿足約束條件 2x + y-50, 2x-y-30則z= 3x+2y的最大值為（D ）A. 8B. 9C. 28D. 29解析約束條件滿足的區(qū)域如圖陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)