直線與平面垂直的判定

1、直線與平面垂直的判定授課教師：首醫(yī)附中 張健教 材：人教版高級中學教科書（試驗修訂本.必修） 第二冊（下A）2001年第2版 2002年第2次印刷一、 教材分析1. 地位和作用空間直線和平面的位置關系是立體幾何的基礎知識，學好這一部分知識對于學生建立空間觀念，實現(xiàn)從認識平面圖形到認識立體圖形這一飛躍是非常重要的一步，直線和平面垂直，是直線和平面相交的一種非常重要的情況，它是學生學習直線和直線垂直，直線和平面平行基礎上學習的，也是研究三垂線定理、面面垂直，空間距離，線面角，面面角的基礎。同時本節(jié)判定定理的證明，對學生空間觀的建立，觀察能力的培養(yǎng)，邏輯思維和探索精神的培養(yǎng)方面有著十分重要的意義。2

2、.教學目標根據(jù)教學大綱對知識傳授、能力培養(yǎng)、情感教育三者統(tǒng)一的要求和教材的特點，從素質(zhì)教育的要求出發(fā)，結合學生的認知規(guī)律，確定本節(jié)課的教學目標為：(1)、知識目標：使學生理解并基本掌握線面垂直的定義及其判定定理；(2)、能力目標：通過學習過程中，培養(yǎng)學生善于觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學生的空間想象能力、空間分析能力及思維能力；(3)、情感目標：激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生不斷探索新知的精神，滲透事物間相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點，并通過圖形的立體美、對稱美，培養(yǎng)數(shù)學審美意識。3.教學內(nèi)容重點、難點分析線面垂直的概念和判定是學習立體幾何其他概念和方法的重要依據(jù)之一。由于線面垂直判定定理

3、的推導過程比較復雜抽象，根據(jù)教材的要求、特點以及學生的實際，確定重點和難點分別如下：(1)、重點：線面垂直的定義、判定定理及其應用；(2)、難點：判定定理的證明。4 .教學方法和手段數(shù)學教學是數(shù)學活動教學，在整個教學活動中要展現(xiàn)數(shù)學思想方法，因此在本節(jié)內(nèi)容的教學中，充分體現(xiàn)“觀察實驗思考猜想證明（或反駁）”這一數(shù)學知識的再創(chuàng)造過程和整體的思考過程。同時為幫助學生克服難點，使用多媒體手段，增強學生對空間的認識。二、教學過程設計與分析教學環(huán)節(jié)教 學 過 程設計分析（一）提問引入結合課題進行復習及情境設置：問題1、直線與平面的的位置關系有哪幾種？兩直線垂直的定義？說明：（1）“線在面內(nèi)屬于初中平面幾

4、何所研究的內(nèi)容；（2）“線面平行”我們前兩節(jié)課已經(jīng)學習了包括它的定義、判定定理及性質(zhì)定理等內(nèi)容；（3）“線面相交”可分為垂直相交和斜交兩種情況，今天我們將要學習的就是線面垂直的這種位置關系。問題2：觀察以下圖片，觀察線面垂直的例子。（用校園風光照片進行投影提問）新課引入：由示例看出在日常生活中，線面垂直的例子隨處可見。那么一條直線垂直于一個平面的條件是什么？該怎樣給它下定義呢？引出新課。通過復習提問，引出本節(jié)課要講授的新課通過圖片的直觀展現(xiàn)，讓學生對線面垂直有一定感性認識。（二）講授新學生觀察“書直立桌面”的實例，由此引出線面垂直的定義：說明：觀察書脊和各頁與桌面的交線，顯然它們都是垂直的，所

5、以書脊與桌面也是垂直的。1、 線面垂直的定義： 如果一條直線與一個平面內(nèi)任何一條直線都垂直，我們就說這條直線與這個平面相互垂直，這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面，它們的交點叫做垂足。說明：用實物教具講解“任何一條”與“無數(shù)條”的區(qū)定義的結論使用：ab ab練一練：判斷下列命題是否正確？ I、若一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則這條直線與這個平面垂直。（ ）II、過一點有且只有一條直線和一個已知平面垂直。（ ）III、過一點有且只有一個平面和一條已知直線垂直。（ ）從這一實例中猜想線面垂直的定義及其相應條件。邊學邊用，講練結合，檢測學生對定義的理解。教學環(huán)節(jié)教 學 過 程設計

6、分析講授新課2.試驗探索：拿出課前準備好的一塊三角形紙片，過頂點A翻折該紙片得到折痕AD，將翻折后的紙片放置在水平的桌面上（如圖），并請學生觀察：折痕AD與桌面垂直嗎？      又如何來翻折AD才能夠與桌面垂直？在動手操作的過程中，學生很容易發(fā)現(xiàn)：當且僅當折痕是邊BC上的高，這樣翻折之后折痕不偏不倚地站立著，即CD與桌面垂直（如圖）。         這又是為什么呢？ADBC,翻折之后這一垂直關系是一個不變關系，即在右圖中有ADCD且ADBD。

7、這樣看來，似乎應有以下的結論 ：CD與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則，CD,這不就是線面垂直的判定定理嗎？那么能不能再退一步，即折痕CD與桌面上的一條直線垂直，是否足以保證CD？讓學生再動手試一試看：我們將折紙展平并讓它豎起來，發(fā)現(xiàn)盡管有AB，但紙張并不能穩(wěn)穩(wěn)地豎立在桌面上，看來CD至少要與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，才有CD。猜想得到判定定理：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線就垂直于這個平面（1）分析定理的證明步驟：（投影，采用動畫效果）I、根據(jù)已知條件畫出相應的圖形：在學生自己的操作體驗中使一個抽象的數(shù)學定理直觀地展示在了面前，這樣既提高學生的學習興趣，又激發(fā)了他們解決問題

8、的熱情。同時定理的得出變?yōu)橐粋€合情的認識過程。教學環(huán)節(jié)教 學 過 程設計分析講授新課（通過交點B）（不通過交點B）分析：下面我們先來證明通過交點B的情況，可根據(jù)圖形寫出相應的“已知”和“求證”。II、分析：根據(jù)定義，要證明la，只需證明l垂直于平面a內(nèi)的任何一條直線，因此可設想，g是平面a內(nèi)的任意一條直線，只要證明lg，則la。任作一條直線g與直線m、n、l的位置關系有以下幾種情況：（通過交點B，包括g與m或n重合的情況）由學生畫出相應的圖形給出相應的分類幾種不同的位置關系同時給出，增強學生的邏輯思維能力及加深學生對問題的理解。比較幾種不同的位置關系，培養(yǎng)學生的邏輯思維及加深其對問題的理解。教

9、學環(huán)節(jié)教 學 過 程設計分析（不通過交點B） 分析：下面首先證明直線l與g都通過交點B的情況。III 、分析：根據(jù)已知條件，從角度方面證明直線g與直線l所成的角為90°是不可能的，因此，考慮轉(zhuǎn)化為平面問題運用中垂線或全等圖形的手段去證明。設想到在直線l上點B的兩側(cè)分別取點A和點A，并使AB=AB，使B為中點。IV：分析：由此可知直線m，n都是線段AA的垂直平分線，如果能證明直線g也是線段AA的垂直平分線，便可得證la。那么直線g怎樣與已知直線m、n聯(lián)系上呢？過直線m、g、n任作一條直線，把直線g與直線m、n聯(lián)系起來。V：在平面a內(nèi)任作一條直線CD，與直線m，n，g分別交于點C、D、E

10、，連結AC、AC、AD、AD、AE、AE。最后則有：AC=AC，AD=AD，CD=CDACDACD（SSS）得ACE=ACEACEACE（SAS）得AE=AE g是AA的垂直平分線即lg。VI：分析：上面證明的是直線g與l都通過交點B的情況，當直線l或g中有一條或兩條不經(jīng)過點B時，該怎么證明呢（設問）？不通過交點B的情況均可通過平移轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^交點B的情況，同理可證lg，綜上所述la。（2）投影判定定理的證明過程：已知：如圖m a，n a，mn=B，lm，ln。求證：la。證明：如圖，設直線g是平面a內(nèi)的任一條直線。教學環(huán)節(jié)教 學 過 程設計分析AAlmngBCED第一種情況：l、g都過交點B的

11、情況。 在直線l上點B的兩側(cè)分別取點A和點A，使AB=AB，在平面a內(nèi)任作一條直線CD，與直線m、n、g分別交于點C、D、E，連接AC、AC、AD、AD，AE、AE，則有：AC= AC，AD= AD，CD=CDACDACD（SSS）得ACE=ACEACEACE（SAS）得AE=AEg是線段AA的垂直平分線，即lg。第二種情況：l、g有一條或兩條不通過交點的情況。這種情況可通過平移轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^交點B的情況，根據(jù)平行直線的有關原理同理可證lg，綜上所述la。（3）定理強化：I）若一條直線與一個三角形的兩條邊垂直，則這條直線垂直于三角形所在的平面。（ ）II）若一條直線與一個平行四邊形的兩條邊垂直，則

12、這條直線垂直于平行四邊形所在的平面。（ ）III）若一條直線與一個梯形的兩腰垂直，則這條直線垂直于梯形所在平面。（ ）（4）強調(diào)判定定理中的關鍵詞：“兩條”、“相交直線”，如果將定理中的“兩條”換成“一條”或?qū)ⅰ跋嘟恢本€”換為“平行直線”，定理是否仍然成立？3、例題講解：例1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么，另一條也垂直于同一個平面。及時理解及時消化，檢測同學們對關鍵詞的理解。 突出強調(diào)關鍵詞。教學環(huán)節(jié)教 學 過 程設計分析（二）講授新課abmn已知：如圖ab，aa。求證：ba。分析：要證ba根據(jù)判定定理，需要證明b垂直于平面a內(nèi)的兩條相交直線，故可在平面a內(nèi)任作兩條相交直線m、

13、n,由已知aa，根據(jù)線面垂直的定義，可知am和an，再根據(jù)已知ab，從而得證ba平面a。證明：在平面a內(nèi)任作兩條相交直線m與n，則：a am a Þ amn a an Þ bm ab bn Þ ba。該例題的證明是“定義”與“判定定理”的綜合使用，對學生加深本節(jié)課重點的理解起著重要的作用。（三）課堂 練習練習：在正方體ABCDABCD中，與AB垂直的棱有多少條？請列出并說明原因。答：與AB垂直的棱分別是DA、CB 、CB和DA。根據(jù)線面垂直的判定定理,這幾條棱都垂直于AB所在的平面ABBA，所以再根據(jù)線面垂直的定義,它們就垂直于面內(nèi)的直線AB。這道練習題的完成質(zhì)量

14、如何直接反映出學生對本節(jié)課知識點的理解及掌握情況，同時也培養(yǎng)學生的空間想象及空間分析問題的能力。（四）小結和布置作業(yè)1、小結： （1）線面垂直的定義：如果一條直線與一個平面內(nèi)任何一條直線都都垂直，那么這條直線就與這個平面相互垂直。（2）線面垂直的判定定理：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線就垂直于這個平面。 判定定理線線垂直 線面垂直 定 （3）2、課后作業(yè)： （1）已知：平面a平面=KL，直線AB a，直線CD ，且ABCD，AEKL于E，AFCD于F。求證：AB平面AEF。（2）若RTABC所在平面外一點P到ABC的三個頂點距離相等,求證過點P和ABC斜邊中點的直線必垂直于三角形所在的平面。 （3）的總結是本節(jié)內(nèi)容深入認識的精髓，如何實現(xiàn)“線線垂直”與“線面垂直”的互相轉(zhuǎn)化，實質(zhì)上是如何正確使用“定義”及“定理”去解決問題。為鞏固本節(jié)課的內(nèi)容，進一步通過課后作業(yè)加以掌握。教學設計說明：1.指導思想：中學數(shù)學中的主要數(shù)學思想和方法數(shù)學思想是分析、處理和解決數(shù)學問題的根本想法，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識重要的數(shù)學思想落實到數(shù)學教學過程中符合中學生的思維能力及他們的實際生活經(jīng)驗，易于被他們理解和掌握?！坝^察實驗思考猜想證明（或反駁）”這一發(fā)現(xiàn)數(shù)學、理解數(shù)學的一般過程在教學中