第三章《整式的加減》學海導航

1、第三章整式的加減學海導航【基礎思維】1.含有數(shù)字與字母積的代數(shù)式叫做 單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式.單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做 .一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的 .2.幾個單項式的和叫做 .在多項式中，每個單項式叫做 .其中，不含字母的項叫做 .在多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，就是這個 .把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從 排列起來，叫做把多項式按這個字母 排列.把一個多項式按 的指數(shù)從小到大的順序排列起來叫做 升冪排列.3.單項式和 統(tǒng)稱 .4.所有字母相同，并且相同字母的 也相同的項叫做 .幾個常數(shù)項也是 .把多項式中的同類項合并成一項，叫做 .合并同類項的法則是： .5.去括

2、號法則： 括號前是“+”號，把 . 括號前是“”號，把 .6.添括號法則： 添括號后，括號前面是“+”號， . 添括號后，括號前面是“”號， .7.整式加減的一般步驟是：1.如遇到括號，按 ；2.合并 .【學法指要】例1、填表：單項式x2y2a7x20.68mnr3系數(shù)次數(shù)揭示思路：根據(jù)單項式的系數(shù)，次數(shù)的定義可知：系數(shù)依次是：1，1，7，0.68，次數(shù)依次是：四次，一次，二次，二次，四次，三次.對于x2y2可看成1x2y2，而a可看成1a，所以它們的系數(shù)分別為1，1，只是“1”通常省略不寫.a1規(guī)定為a，指數(shù)也可省略.它的次數(shù)是一次而不是零次.對于以上問題，必須引起重視，才能避免錯誤的產(chǎn)生.

3、對于單項式的系數(shù)必須包括前面的符號，千萬不能把符號遺失.對于可寫成的形式，這時便知系數(shù)為，指數(shù)為四次.對于中的“”是無限不循環(huán)小數(shù)， = 3.14159265，它是一個數(shù)，不能當作字母.例2、把多項式2xy2x2y +x3y37重新排列：(1)按x的降冪排列；(2)按y的升冪排列.揭示思路：根據(jù)升冪或降冪的法則進行排列如下：(1) x3y3x2y +2xy27(2)7x2y +2xy2 +x3y3排列多項式時要分清多項式中的各項，例如，2xy2x2y +x3y37的項是：2xy2，x2y，+x3y3，7；重新排列多項式時，各項都要帶著符號移動位置.對含有兩個或者兩個以上字母的多項式，一般按其中

4、的某一個字母的指數(shù)排列順序.多項式的系數(shù)帶有“+”號，移到首項時“+”號可以省略，首項移到后面時應添上“+”號.例3、下列說法：（選擇）(1)2000與2001是同類項；(2)4a2bc與bca2是同類項；(3)x4與x3是同類項；(4)4(ab)2與3(ab)2可以看作同類項.其中正確的個數(shù)有（ ）(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個揭示思路：根據(jù)同類項的定義可知：(1)題中它們是常數(shù)項，所以2000與2001是同類項.(2)題中字母的順序有所變化，但仍然符合同類項的條件，因此4a2bc與bca2是同類項.(3)題中所含字母相同，但相同字母次數(shù)不相同，不符合同類項的條件，所以它們不

5、是同類項.(4)題中把(ab)看成一個整體，即符合同類項的條件，可以看作是同類項.故正確的個數(shù)有3個，選(C).根據(jù)同類項的定義，同類項要求所含字母相同，且相同的字母的次數(shù)也相同，它與系數(shù)，所含字母順序無關.例4、合并下列多項式中的同類項(1)5ab25ab3 + 0.5a3b3ab2 + 6ab34.5a3b(2)x2x + 0.2x3 + 0.25x0.5x2x3(3)3(ab)27(ab) + 8(ab)2 + 6(ab)(4)3xyx3y2x3y24揭示思路：根據(jù)合并同類項的法則可知：(1)原式= (53)ab2 + (5 + 6)ab3 + (0.54.5)a3b = 2ab2 +

6、ab34a3b(2)原式= (0.5)x2 + ( + 0.25)x + (0.2)x3 = 0(3)原式= (3 + 8)(ab)2 + (7 + 6)(ab) = 11(ab)2(ab)(4)原式= (3)xy + (1)x3y24 = xyx3y24要正確合并同類項，必須先找準同類項.再把同類項的系數(shù)相加，字母與字母系數(shù)不變.合并同類項時，要帶著每一項的符號交換多項式的位置，防止出現(xiàn)符號錯誤.合并后的同類項系數(shù)通常要化成假分數(shù).(ab)2，(ab)都是多項式，要把(ab)看成一個字母，即各當作一個因式合并同類項，同時要注意：(a + b) = (b + a)，(ab)2 = (ba)2等

7、例5、先去括號，再合并同類項：(1)a(3a2b)(4a + 3b)(2)(x2y2) + (4x23)(x2 + y2)(3)(x2y2)4(2x23y)(4)(5a24ab)(3a2 + 2abb2)揭示思路：根據(jù)去括號的法則，可進行如下計算：(1)原式= a3a + 2b4a3b = (134)a + (23)b = 6ab(2)原式=x2 + y24x23x2y2 = 6x23(3)原式= (x2y2)(8x212y) = x2y28x2 + 12y =7x2y2 + 12y(4)原式= a22aba2ab + b2 = a2ab + b2題目要求“先去括號，再合并同類項”，指出多項式

8、化簡的動作順序.但要正確去掉括號，必須牢記去括號的法則，對括號前是“”號的尤其要注意.法則的“去掉”是把“括號”和“前面的符號”一起去掉，“不變”及“改變”是指括號里“各項”的符號，而不是某一項或部分項的“不變”和“改變”.對于含有數(shù)與多項式相乘，要注意它們的運算步驟；先用乘法分配律計算數(shù)與多項式相乘，再去括號，最后合并同類項.熟練后，可將相乘與括號同時進行，省略第二步.例6、按下列要求，把多項式4a23b + 2c7添上括號：(1)把它放在前面帶有“”號的括號里.(2)把它的后三項放在前面帶有“+”號的括號里.(3)把它的中間兩項放在前面帶有“”號的括號里(4)把它的前兩項放在前面帶有“”號

9、的括號里，把它的后兩項也放在前面帶有“”號的括號里.揭示思路：根據(jù)添括號的法則可知：(1)4a23b + 2c7 = (4a2 + 3b2c + 7)(2)4a23b + 2c7 = 4a2 + (3b + 2c7)(3)4a23b + 2c7 = 4a2(3b2c)7 (4)4a23b + 2c7 = (4a2 + 3b)(2c + 7)無論是將多項式去括號還是添括號，都是在不改變多項式的值的前提下進行的多項變形.它也是檢查去括號，添括號是否正確的根本標準.另外，添括號與去括號正好相反.要想檢查添括號是不是正確，可以用去括號法則去檢查，反之亦正確.在添括號的過程中，一定要注意符號的變化，尤其

10、添括號前面有“”號的，更要謹慎.例7、計算： 2(a2b + 2b3ab2) + 3a3(2ba23ab2 + 3a3)4b3揭示思路：根據(jù)整式加減的一般步驟可知：原式= 2a2b + 4b32ab2 + 3a32a2b + 3ab23a34b3 = ab2整式的加減一定要遵循它的兩大步驟，并在去括號時，注意符號的變化.例8、先化簡再求值：(2xyy2 + x2)2(xy + y2x2)，其中x =1，y =2揭示思路：按照題目要求，可作如下計算：原式=2xy + y2x2xyy2 + 2x2 = xy + y2 + x2當x =1，y =2時，原式=(1)(2) + (2)2 + (1)2

11、= + 2 + =當把字母的給定數(shù)值代入化簡后的代數(shù)式時，遇到乘方或原來省略乘號的地方，則需要添上括號或者乘號.【思維體操】例、計算：3mn22m2n5m2nmn24mn23m2n + (8m2n6mn2)揭示思路：本例有多層括號，根據(jù)運算順序，應逐層去括號.在具體去括號時，又可靈活些，可由里向外，也可由外向里，也可里外同時，總之，既要符合運算律，又要注意符號的變化，于是可找到如下幾種思路.解法一：（由里向外去括號）原式= 3mn22m2n5m2nmn24mn23m2n + 8m2n6mn2 = 3mn22m2n5m2nmn24mn2 + 3m2n8m2n + 6mn2 = 3mn22m2n5

12、m2n + mn2 + 4mn23m2n + 8m2n6mn2 = (3 + 1 + 46)mn2 + (253 + 8)m2n = 2mn22m2n解法二：（由外向里去括號）原式= 3mn22m2n5m2n + mn2 + 4mn23m2n + (8m2n6mn2) = 3mn22m2n5m2n + mn2 + 4mn23m2n + (8m2n6mn2) = 3mn22m2n5m2n + mn2 + 4mn23m2n + 8m2n6mn2 = (3 + 1 + 46)mn2 + (253 + 8)m2n = 2mn22m2n解法三：（里，外同時去括號）原式= 3mn22m2n5m2n + mn2 + 4mn23m2n + 8m2n6mn2 = 4mn27m2n + 5m2n2mn2 = 2mn22m2n