正方形性質(zhì)與判定

1、 正方形正方形矩形矩形菱形菱形平行四邊形平行四邊形有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等回顧：特殊的平行四邊形回顧：特殊的平行四邊形矩 形正方形鄰邊鄰邊相等相等發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)： 一組鄰邊相等一組鄰邊相等的矩形叫正方形的矩形叫正方形 菱菱 形形一個(gè)角一個(gè)角是直角是直角正方形發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)： 一個(gè)角為直角的一個(gè)角為直角的菱形叫正方形菱形叫正方形正方形的定義：正方形的定義：有一組有一組鄰邊相等鄰邊相等并且有一個(gè)角是并且有一個(gè)角是直角直角的的平行四邊形平行四邊形叫做正方形叫做正方形有一個(gè)角是有一個(gè)角是直角直角的的菱形菱形叫做正方形叫做正方形有一組有一組鄰邊相等鄰邊相等的的矩形矩形叫正方形叫正

2、方形正方形即是特殊的平行四邊形又是特正方形即是特殊的平行四邊形又是特殊的矩形和菱形殊的矩形和菱形 平行四邊形，矩形，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的關(guān)系菱形，正方形的關(guān)系!菱形菱形矩形矩形平行四邊形平行四邊形正正形形方方正方形具有平行四邊形、矩正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)形、菱形的所有性質(zhì)正方形有哪些性質(zhì)？正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)邊邊角角對(duì)角線對(duì)角線對(duì)稱性對(duì)稱性圖圖形形語(yǔ)語(yǔ)言言 文文字字語(yǔ)語(yǔ)言言 符符號(hào)號(hào)語(yǔ)語(yǔ)言言ACDBACDBACDBO對(duì)邊平行，對(duì)邊平行， 四條四條邊都邊都相等相等 四四 個(gè)個(gè) 角角 都是直角都是直角對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相垂直平分且相等，每平分且相等，每條對(duì)角

3、線平分一條對(duì)角線平分一組對(duì)角組對(duì)角四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形A=B=C=D=90四邊形四邊形ABCD是正是正方形方形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形CDBA正方形對(duì)邊平行正方形對(duì)邊平行且四條邊相等且四條邊相等數(shù)學(xué)語(yǔ)言：數(shù)學(xué)語(yǔ)言：四四邊形邊形ABCD是正是正方形方形ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD正方形四個(gè)角都是直角數(shù)學(xué)語(yǔ)言：數(shù)學(xué)語(yǔ)言：四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形A=B=C=D=90ABCD對(duì)角線互相垂直平分且相等，每對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平

4、分一組對(duì)角條對(duì)角線平分一組對(duì)角四邊形四邊形ABCD是正是正方形方形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD1 1、正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（、正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（ ） （A A）四條邊相等）四條邊相等 （B B）對(duì)角線互相垂直平分）對(duì)角線互相垂直平分 （C C）對(duì)角線平分一組對(duì)角）對(duì)角線平分一組對(duì)角 （D D）對(duì)角線相等）對(duì)角線相等2 2、正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（、正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ） （A A）四個(gè)角相等）四個(gè)角相等 （B B）對(duì)角線互相垂直平分）對(duì)角線互相垂直平分 （C C）對(duì)角線相等）對(duì)角線相等 （D D）對(duì)角互補(bǔ)）對(duì)角互補(bǔ)3

5、 3、如圖：正方形、如圖：正方形ABCDABCD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為15cm15cm，則矩形，則矩形EFCGEFCG的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) 為為 cmcm。 ABCDEGFDB7.57.56.正方形正方形ABCD中，中，M為為AD中點(diǎn)，中點(diǎn)，MEBD于于E，MFAC于于F,若若ME+MF =8cm，則，則AC=_.課堂練習(xí)課堂練習(xí)4.已知正方形已知正方形ABCD中中,AC=10,P是是AB上一點(diǎn)上一點(diǎn),PEAC于于E，PFBD于于F,則則PE+PF=_.53016cm5.以正方形以正方形ABCD的邊的邊DC向外作等邊向外作等邊DCE,則則AEB=AEB=PABCDEFOEABCDMABCDEFO分析分析7.

6、 已知：如圖，四邊形已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，為正方形，E、F分別為分別為CD、CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=BF。 求證：求證：AFE=AEF。ABCDEF如圖，點(diǎn)E、F在正方形ABCD的邊BC、CD上，BE=CF，探索圖中AE與BF的關(guān)系。A AB BC CD DE EF FG G 你覺(jué)得什么樣的四你覺(jué)得什么樣的四邊形是正方形呢邊形是正方形呢?( ?( 判判斷一個(gè)四邊形是正方斷一個(gè)四邊形是正方形有哪些方法？）形有哪些方法？）平行四邊形平行四邊形正方形正方形一組鄰邊相等一組鄰邊相等且一內(nèi)角是直角且一內(nèi)角是直角1 1、 正方形正方形菱形菱形 2 2、一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直

7、角矩形矩形3 3、一組鄰邊相等一組鄰邊相等正方形正方形平行四邊形平行四邊形正方形正方形對(duì)角線垂直且相等對(duì)角線垂直且相等4 4、 矩形矩形6 6、對(duì)角線垂直對(duì)角線垂直正方形正方形正方形正方形菱形菱形對(duì)角線相等對(duì)角線相等5、正方形的判正方形的判定定1、有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。2、一組鄰邊相等的矩形是正方形。3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。4、對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形。5、對(duì)角線相等的菱形是正方形。6、對(duì)角線垂直的矩形是正方形。總之，既是矩形又是菱形的四邊形是正方形總之，既是矩形又是菱形的四邊形是正方形(1)(1)正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的

8、正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的 等腰直角三角形（等腰直角三角形（ ）(2)(2)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形（對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形（ ）(3)(3)如果一個(gè)菱形的對(duì)角線相等，那么它一定如果一個(gè)菱形的對(duì)角線相等，那么它一定 是正方形是正方形 （ ）(4)(4)如果一個(gè)矩形的對(duì)角線互相垂直，那么它如果一個(gè)矩形的對(duì)角線互相垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （ ）(5)(5)四條邊相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形四條邊相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形 是正方形（是正方形（ ）1不能判定四邊形是正方形的是（）A對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形 B對(duì)角線互相垂直的矩形C對(duì)角

9、線相等的菱形 D對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形2、（綿陽(yáng)）四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，能判定它是正方形的條件是（）AAB=BC=CD=DA BAO=CO，BO=DO，ACBDCAC=BD，ACBD且AC、BD互相平分 DAB=BC，CD=DAAC3.已知四邊形ABCD是菱形，則只須補(bǔ)充條件： （用字母表示）就可以判定四邊形ABCD是正方形4.已知四邊形ABCD是矩形，則只須補(bǔ)充條件： （用字母表示）就可以判定四邊形ABCD是正方形例例2.已知已知:如圖如圖,ABC中中.ABC=90,BD是角平分是角平分線線,DEAB,DFBC,垂足分別是垂足分別是E、F.FABCDE求證：四邊形求證：

10、四邊形DEBF是正方形是正方形.證明證明: DEAB,DFBCBED=BFD=ABC=900,四邊形四邊形DEBF是矩形是矩形, BD平分平分ABC,且且 DFBC , DEAB, DE= DF, 四邊形四邊形DEBF是正方形是正方形. （有一組鄰邊相等的矩形是正方形）（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）例例3 3：在正方形中，點(diǎn)：在正方形中，點(diǎn) ， ， ， 分別是，分別是，的中點(diǎn)，四邊形的中點(diǎn)，四邊形 是正方形嗎？是正方形嗎？為什么？為什么？DCB 變式訓(xùn)練：正方形中，點(diǎn)變式訓(xùn)練：正方形中，點(diǎn) ， ， ， 分別在，上，分別在，上，且且 .四邊形四邊形 是正方形嗎？為什么？是正方形嗎？為什么？DC

11、BADCBA變式練習(xí):正方形中，對(duì)角線正方形中，對(duì)角線AC和和BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，點(diǎn)，點(diǎn)，分分別是別是O，O，O，O的中點(diǎn)，判斷的中點(diǎn)，判斷四邊形四邊形的形狀。說(shuō)明原因的形狀。說(shuō)明原因DCBO變式練習(xí):正方形中，對(duì)角線正方形中，對(duì)角線AC和和BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，點(diǎn)，點(diǎn)，分別在分別在AC、BD上，且上，且=.判斷四邊形判斷四邊形的形狀的形狀DCBO例例3：（淄博）已知：如圖，在：（淄博）已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC，ADBC，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)D，AN是是ABC外角外角CAM的平分線，的平分線，CEAN，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)E，（1）求證：四邊形）求證：四邊形ADCE為矩形；（為矩形；（

12、2）當(dāng)）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正是一個(gè)正方形？并給出證明方形？并給出證明例例4、如圖，、如圖，ABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)O是是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線作直線MNBC，設(shè)，設(shè)MN交交BCA的平分線于的平分線于E，交，交BCA的外角平分線于點(diǎn)的外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證：求證：EO=FO(2)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你是矩形？并證明你的結(jié)論的結(jié)論.(3) 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是有可能是正方是有可能是正方形？并證明你的結(jié)論形？并證明你的結(jié)論. 邊邊角角對(duì)對(duì) 角角 線線對(duì)對(duì) 稱稱 性性平平 行行四邊形四邊形 矩矩 形形菱菱 形形正方形正方形幾種特殊四邊形的性質(zhì)幾種特殊四邊形的性質(zhì) 對(duì)邊平行對(duì)邊平行 且相等且相等對(duì)邊平行對(duì)邊平行 且相等且相等對(duì)邊平行對(duì)邊平行四邊相等四邊相等對(duì)角相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)鄰角互補(bǔ) 四個(gè)角四個(gè)角都是直角都是直角對(duì)角相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分