分式的概念和性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、分式的概念和性質(zhì)(基礎(chǔ))責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.1.理解分式的概念， 能求出使分式有意義、分式無(wú)意義、分式值為0 0 的條件 2 2掌握分式的基本性質(zhì)，并能利用分式的基本性質(zhì)將分式恒等變形，進(jìn)而進(jìn)行條件計(jì)算 【要點(diǎn)梳理】【高清課堂 403986403986 分式的概念和性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、分式的概念A(yù)一般地，如果A B表示兩個(gè)整式，并且 B B 中含有字母，那么式子 -叫做分式 其中 A AB叫做分子，B B 叫做分母 要點(diǎn)詮釋：(1 1 )分式的形式和分?jǐn)?shù)類似，但它們是有區(qū)別的 分?jǐn)?shù)是整式，不是分式，分式是兩個(gè)整式相除的商式 分式的分母中含有字母；分?jǐn)?shù)的分子、分 母中都不含字母 (2)

2、分式與分?jǐn)?shù)是相互聯(lián)系的：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性；分?jǐn)?shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況 (3)分母中的字母”是表示不同數(shù)的字母”，但n表示圓周率，是一個(gè) 常數(shù)，不是字母，如a是整式而不能當(dāng)作分式 (4)分母中含有字母是分式的一個(gè)重要標(biāo)志，判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式2不能先化簡(jiǎn)，如U是分式，與xy有區(qū)別，xy是整式，即只看形式，x不能看化簡(jiǎn)的結(jié)果 要點(diǎn)二、分式有意義，無(wú)意義或等于零的條件1.1.分式有意義的條件：分母不等于零 2.2. 分式無(wú)意義的條件：分母等于零 3.3. 分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零要點(diǎn)詮釋：(1 1)分式有無(wú)意義與分母有關(guān)但

3、與分子無(wú)關(guān)，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零 (2)本章中如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，所遇到的分式都是有意義的， 也就是說(shuō)分式 中分母的值不等于零 (3)必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值 要點(diǎn)三、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘( (或除以) )一個(gè)不等于 0 0 的整式，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做A A M A A M分式的基本性質(zhì)，用式子表示是： -, A(其中 M M 是不等于零的整式). .B B M B B M要點(diǎn)詮釋：(1 1)基本性質(zhì)中的 A A、B B M M 表示的是整式. .其中 BMBM 0 0 是已知條件中隱含著

4、的條件，一般在解題過(guò)程中不另強(qiáng)調(diào)；0 0 是在解題過(guò)程中另外附加的條件，在運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，必須重點(diǎn)強(qiáng)調(diào) W W0 0 這個(gè)前提條件 (2 2)在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式變形時(shí)，雖然分式的值不變，但分式工，1 x 1中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化 例如：，在變形后，字母X的取值范圍變大了要點(diǎn)四、分式的變號(hào)法則對(duì)于分式中的分子、 分母與分式本身的符號(hào), 其中任何一個(gè)或三個(gè)，分式成為原分式的相反數(shù)a互為相反數(shù). .分式的符號(hào)法則在以后關(guān)于分式的運(yùn)算中起著要點(diǎn)五、分式的約分，最簡(jiǎn)分式與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分 如果

5、一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有相同的因式（1 1 除外），那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式 要點(diǎn)詮釋：（1 1）約分的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)分式化成最簡(jiǎn)分式，即約分后，分式的分子與分母再?zèng)]有公因式. .（2 2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式. .分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次幕的積；當(dāng)分式 的分子、分母中含有多項(xiàng)式時(shí)，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子 與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進(jìn)行約分要點(diǎn)六、分式的通分與分?jǐn)?shù)的通分類似， 利用分式的基本性質(zhì)， 使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼剑桓淖兎质降闹担逊帜覆煌姆质交上嗤帜傅姆质?，這樣的分式變形叫做分式的通分

6、要點(diǎn)詮釋：（1 1）通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡(jiǎn)公分母：一般取各分母所有因式的最高次幕的積作為公分母 （2 2）如果各分母都是單項(xiàng)式， 那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相 同字母的最高次幕的乘積；如果各分母都是多項(xiàng)式，就要先把它們分解 因式，然后再找最簡(jiǎn)公分母（3 3） 約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對(duì)一個(gè)分式而言， 而通分則 是針對(duì)多個(gè)分式而言. .【典型例題】 類型一、分式的概念1 1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式?25a2x，一， 一，a一個(gè)常數(shù)，因此這三個(gè)式子都不是分式.【答案與解析】【總結(jié)升華】 判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不改

7、變其中任何兩個(gè)， 分式的值不變；改變要點(diǎn)詮釋：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有. .根據(jù)有理數(shù)除法的符號(hào)法則有b ba a重要的作用【思路點(diǎn)撥】X，-，3雖具有分式的形式，但分母不含字母，其中35-的分母中表示解：整式：,3I，32，分式:2 m 1a2a ma含有字母則不是分式.類型二、分式有意義，分式值為0 02都有意義.m29【總結(jié)升華】首先求出使分母等于零的字母的值, 有意義這是解答這類問(wèn)題的通用方法.舉一反三:x 1【變式 1 1】（20162016 丹東一模）若分式D有意義，則x的取值范圍是x 1【答案】解：由題意得：x 10，解得x 1，故答案為：x 1【變式 2 2】當(dāng)x為何值時(shí)，下列各式

8、的值為0 0.(1 1)2x1(2)2xx(3)x 2223x2x1x4【答案】解：（1 1） 由2x1 0得x12，1時(shí)，1當(dāng)x3x2 3 ()2 0,22當(dāng)x1時(shí)，分式2x1的值為0 0.23x2(2 2)由x2x0得x0或x1,當(dāng)x0時(shí) ,x2101 Cm取何值時(shí)，分式有意義?|m|【答案與解析】解：（1 1 ）由m故當(dāng)m2時(shí)分式一m-有意義.2(2)由|m|故當(dāng)m2時(shí)分式一1一有意義.|m| 2(3(3)由 m m29(m29） 0，即無(wú)論m取何值時(shí)m29均不為零，故當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)分式3m然后讓未知數(shù)不等于這些值，便可使分式當(dāng)x 1時(shí)，x21( 1)210,X2X當(dāng)x 0時(shí)，分式 p

9、的值為 0 0.X 1(3 3)由X 20得x 2,2 2當(dāng)x 2時(shí)，x 4(2)40,【總結(jié)升華】 利用分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于 0 0 的整式,分式的值不變 舉一反三：【變式 1 1】如果把分式中的x,y都擴(kuò)大 3 3 倍，那么分式的值（）3x 2yA A 擴(kuò)大 3 3 倍 B B 不變 C C 縮小 3 3 倍 D D 擴(kuò)大 2 2 倍【答案】B B；【變式 2 2】填寫下列等式中未知的分子或分母.(b a)(c b)(a c)(a b)(b c)【答案】（x y）2； 1 1 ；罕2的值永不為 0 0.x24【思路點(diǎn)撥】 將（1 1）式中分子、【答案與解

10、析】（2 2）式的分子、分母同乘 1212 即可.解：(1 1) 止 J0.02x 0.5y(0.2 x y) 5010 x 50 y(0.02x 0.5y) 50 x 25y(2)1 1xy3411xy231112xy341112xy234x 3y6x 4y(1)在分式有意義的前提下，分式分母同乘5050,解：（1 1）先觀察分子，等式左邊分式的分子為x y，而等式的右邊分式的分子為x2y2，由于(x y)(x y) x2y2，即將等式左邊分式的分子乘以x y，因而分母也要乘以x y，所以在？處應(yīng)填上(x y)2.根據(jù)分式的性質(zhì)可知應(yīng)將等式左邊分式的分子、分母同時(shí)除以(b a)(c b) (

11、a b)(b c)1，所以在？處填上 1 1.【總結(jié)升華】 在分子、分母、分式本身中，只有任意兩個(gè)同時(shí)改變符號(hào)時(shí)，才能保證分式的 值不變一般地，在分式運(yùn)算的最后結(jié)果中，習(xí)慣于只保留一個(gè)負(fù)號(hào)，寫在分式的前面.類型四、分式的約分、通分/、2a(2 2)4x /、3m /、2b(1 1)；(3 3)；(4 4)b5yn3c【答案與解析】2a2a4x4x/c、3m3m/八2b2b解: (1 1)(2 2)-(3 3)(4 4)bb5y5ynn3c3c不改變分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”號(hào).(2(2)先觀察分母，等式左邊的分母為(a c)(a b)(bc)，等式右邊的分母為a c，(a b)(

12、b c),因?yàn)?2015(2015 春？東臺(tái)市月考)約分，通分:【思路點(diǎn)撥】(1(1 )把分子與分母進(jìn)行約分即可；(2)(2)根據(jù)平方差公式和完全平方公式先把分子與分母進(jìn)行因式分解，然后約分即可;(3)(3)把分母進(jìn)行因式分解，然后相乘，即可得出答案.【答案與解析】解:(1)2a (a-1)8ab2(1 -ai2 |? ? - -4-9m29 m2- 12mi-4(3)(3)2 ?、31：n：1？(2_)2&(2+弘)(2_3ir )【總結(jié)升華】 此題考查了分式的約分， 用到的知識(shí)點(diǎn)是平方差公式和完全平方公式, 把分母因式分解，再進(jìn)行約分.舉一反三：【高清課堂 403986403986注意先【變式】通分：(1)(3)(3)分式的概念和性質(zhì)b a；廠；4ac 2b c丄與叟上；2a2b ab2c例 6 6 (2)2)】x2x 2(4(4)丄x 2(2)(2)1x214xx24【答案】解：(1)最簡(jiǎn)公分母為4ab2c,b4acb gb24ab2cb34ab2ca2b2ca g 2a4ab2c2a24ab2c(2)(2)x2x 2x2(x 1)最簡(jiǎn)公分母為2(x 1)(x1),(x 1)(x 1)x2x 2g(x 1)x22(x 1)(x 1)2(x 1)(x 1)