第七屆華杯賽決賽二試試題及解答

1、第七屆華杯賽決賽二試試題及解答1.某計算機(jī)接信息的速度為每秒2.8字節(jié)，發(fā)送信息的速度為每秒3.8字節(jié)?，F(xiàn)要從 A處接收，往B處發(fā)送，并還要將機(jī)內(nèi)儲存的58千字節(jié)的信息也發(fā)送 B處。如果發(fā)送、接收輪流進(jìn)行，每次發(fā)與收各 10秒鐘，問: (1)若先發(fā)送，經(jīng)過多少秒恰好將機(jī)內(nèi)儲存的信息送完(2)若先接收，經(jīng)過多少秒恰好將機(jī)內(nèi)儲存的信息送完?(結(jié)果保留分?jǐn)?shù))2.在三角ABC中，D，E是BC邊上的點(diǎn)，BD=AB CE=AC又/ DAE= / BAC 求/ BAC 的度數(shù)。C3.152個球。放入若干個同樣的箱子中，一個箱子最少放10個，最多放20個，且各個箱子的球數(shù)均不相同。問：有多 少種放法?(不計箱

2、子的排列，即兩種放法，若經(jīng)過箱子的重新排列后，是一樣的，就算一種放法)4.A , B兩地相距125千米，甲、乙二人騎自行車分別從A,B兩地同時出發(fā)，相向而行。丙騎摩托車每小時行63千米，與甲同時從A出發(fā)，在甲、乙二人間來回穿梭（與乙相遇立即返回，與甲相遇也立即返回 ），若甲車速每小時 9千米，且當(dāng)丙第二次回到甲處時（甲、丙同時出發(fā)的那一次為丙第 0次回到甲處），甲、乙二人相距45千米，問：當(dāng)甲、乙二人 相距20千米時，甲與丙相距多少千米5.3個三位數(shù)乘積的算式血M加Xcab =234235286,（其>b>C）在校對時，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯誤，但 是知道最后一位 6是正確的

3、。問：原式中的 必E是多少？6.對干自然數(shù)a,氐表示a的各位數(shù)字之和。求同時滿足下列條件的所有的自然數(shù)a（1）a為奇數(shù)，且不是3的倍數(shù)；（2） S止=mK50, m為自然數(shù)。1.【解】1）先發(fā)送10秒，發(fā)出：10X 3.8 = 38千字節(jié)，還剩：58-38= 20千字節(jié)，以后每20秒（收、發(fā)各10秒），可發(fā)機(jī)內(nèi)儲存的10X （3.8 - 2.8） = 10千字節(jié)，因此，將機(jī)內(nèi)儲存的信息送完需要 10 + 2X20= 50秒，2）每20秒（收、發(fā)各10秒）,可發(fā)機(jī)內(nèi)儲存的10千字節(jié)100秒可發(fā)機(jī)內(nèi)儲存的50千字節(jié)還剩58 - 50= 8千字節(jié)，再過 10秒，又輸入28（ = 2.8 X 10）千

4、字節(jié)，共有 8+ 28 = 36千字節(jié)，需要3雖貂19秒，因此，將機(jī)內(nèi)儲存的信息送完需999工 119一要 100 +10+ 19=19 秒.2.【解】設(shè)/ BAE / EAD / DAC分別為a , 3 , y，貝廿3)，即 2 P = a + Y.由AB= BD得，a + 3 =Z BDA= y+/ G 由CE= AC得，3 + Y =/ CEA= a +/ B,1©十得，a+ y + 2 3 =Z B+/ C+ a + y，兩邊再加上 3 得，a + Y+ 33= / B+/ C+Z BAC= 180° 由于上式即，5 3 = 180°所以 3 3 = 5

5、X 3= 108°,即/ BAC= 108°。3.【解】設(shè)箱子個數(shù)為 m因?yàn)槊恐幌渥拥那驍?shù)均不相同，最少放10個，最多放20個，所以 m?20- 10+ 1 = 11.如果m= 11,即么球的總數(shù)？10x 11 +(0 +1 + 2+ 10)=110 + 55> 152所以m?10.如果m?9那么球的總數(shù)？10X 9+(10 + 9+8+ 2)=90 + 54= 144<152所以m= 10,在 m= 10 時，10X 10+ (10 + 9+ 1) = 155= 152 + 3,所以一個箱子放10個球，其余箱子分別放11, 12, 14,15, 16, 17,

6、 18, 19, 20個球，總數(shù)恰好為152,而且符合要求的放法也只有這一種4.【解】先求乙的速度，設(shè)乙的速度為甲的K倍，丙與乙相遇時甲行S千米，則這時丙行 7S千米，乙行KS千米，于是 7S+ KS= 125(1)這時甲丙相距6S( = 7S- S)千米，丙第一次回到甲處時，甲33又向前行6S+ (7 + 1) =4 S(千米),丙行4 SX 7(千米),乙行34 S(7 -3334SX K（千米），所以甲、乙相距4SX 74 SX K=K)即（將代入消去S）6S刁1齊疋丿X 125（千米）【注】（3）中的125，如果改成其他數(shù)（例如A、A兩地原來相距250千米）.推導(dǎo)完全一樣，于是，在丙第

7、二次回到甲處 時，甲、乙相距3（7-疋、3（7-1刁Ijr疋丿X 4（齊丘丿X 125（千米）（4）（推導(dǎo)與上面完全-樣，只是125千米換成了 4（7 +疋丿X 125米）3卩3(7-巧根據(jù)已知條件：心4X 417 + 疋丿 X 125= 453門-腔、千杰(6)7-n4于是（只取正值）U +疋丿=57從而K= 9即乙的速度是每小時:79 X 9= 7（千米）當(dāng)丙第三次回到甲處時，甲、乙相距3X 45= 5 X 45= 27（千米）.3n-K34丿 X45= 4 X E丙第四次回到甲處時，甲、乙相距35 X 27= 5 < 20（千米）.因此，甲、乙相距 20千米發(fā)生在丙第四次回到甲處之

8、前，即他們都應(yīng)從丙第四次回到甲處這事往回倒退。由于811920三=匸而甲、乙速度之比是 9 : 7.所以甲應(yīng)退歲 _2_7 X 9 + 7丙的速度是甲的7倍，所以丙應(yīng)退甲的7倍，從而在甲、乙相距 20米時，甲丙相距5 X 9 + 7 X （1 + 7）5.【解】考慮除以9的余數(shù)，我們用x=y(mod9)表示x,y除以9的余數(shù)相同，也就是 x-y是9的倍數(shù)，讀作x與y模9同余熟知一個自然數(shù)與它的數(shù)字和模9同余，所以234235286 2+ 3+4+ 23+ 5+ 2+ 8 + 6=8(mod 9)3abc X 沁 X cab = (a + b + c) (mod 9)于是(a +b+ c)3=

9、8(mod 9)從而(用a+b + c=0, 1,2,，8代入上式檢驗(yàn))a+b + c=2, 5, 8(mod 9)(1)對a進(jìn)行討論 如果 a= 9,那么 b + c=2, 5, 8(mod 9)(2)又cxaxb的個位數(shù)字是 6,所以bxc=4X 1 = 7X2= 8x3 =6x4其中只有(b , c) = (4 , 1) , (8 , 3)符合(2)，經(jīng)檢驗(yàn)只有 983x 839x 398= 328245326 符合題意 如果 a= 8,那么 b + c=3, 6, O(mod9)(3) 又 bXC = 2X 1= 4X3= 6x2= 7x6= 7x 1, 其中只有(b , c)=(2

10、, 1)，符合(3).經(jīng)檢驗(yàn)必:=921,不合題意 如果 a= 7,那么 b + C三4, 7, 1(mod 9)(4)又bxC = 4X2=6X3,其中沒有符合(4)的b、c如果 a?6,那么血泌曲心 < 700X 600X 500= 210000000 <222334586,因此這時嬴不可能符合題意。綜上所述，血=983是本題唯一的解 本題采用枚舉法(也稱為窮舉法)，分情況進(jìn)行討論，這是 種極常用的方法.a6.【解】如果a是一位數(shù)，那么 顯然滿足 帆 =1)，由(1),a= 1, 5, 7。a如果a是兩位數(shù)，設(shè)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，則=1(k+y9 盂a由于a不是3的倍數(shù)

11、，所以Sa也不是3的倍數(shù)。但=m是9x自然數(shù)，所以x+y是自然數(shù)，即9x被x + y整除。因?yàn)镾a= x + y不是3的倍數(shù)，即X+ y與9互質(zhì)，所以x被x + y整除。但a是奇數(shù)，所以yz O, x< x+ y, x不可能被x + y整除。因此a不可能是兩位數(shù)。10z+ u,其如果a是四位以上的數(shù)，設(shè) a= 1000x + 100y中y,z,u 都是數(shù)字，x是自然數(shù)，則Sa?x + y + z +u,由(2),1000X1OOy+ 10z + uv 50(x + yu)于是 950 v 950x + 50yv 40z + 50uv 400 + 500 = 900 矛盾，因 此a不可能是

12、四位以上的數(shù)。如果a是三位數(shù)，設(shè) a= 1OO灶1Oy+ 1Oz, x、y、z都是數(shù)字，xz0,貝y Sa = x + y + z ,10(k+10y+z _q+90x-9Z _0 + 9(1(k-z) m= x+y+Zx+y+zx+y+z9(1 Ox-z)與前面的推理相同，x+y+z是奇數(shù),而且由于，mv 50,所以lOz-z 40x+y + z 9 v 5,10j-z從而，x+y + z = 1 或 3(1)以下分兩種情況來求 (1) 的解(a)10x z = x + y+ z，即 卩 9x = y + 2z(2)在 x= 1 時，由 (2) 可得 z= 1 ，y= 7 或者 z= 3，y= 3( 注意 a為奇數(shù),所以 z是奇數(shù) ),其中第一組得出 a=117 是3的倍數(shù)不合要求 .在x = 2時，由(2)可得z = 5, y = 8(不合要求);z = 7,y = 4;z = 9, y= 0.在x = 3時，由 得x