上海高中數(shù)學(xué)之立體幾何練習(xí)(打印).

1、立體幾何練習(xí)題26 / 12一、選擇題1 .已知平面外不共線的三點 A, B,C到 的距離都相等，則正確的結(jié)論是A.平面ABC必平行于B.平面ABC必與 相交C.平面ABC必不垂直于D.存在 ABC的一條中位線平行于或在 內(nèi)2 .若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上” 的(A)充分非必要條件；(B)必要非充分條件；(C)充要條件；(D)非充分非必要條件.3 .如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個芷交線面對”。在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的芷交線面對”的個數(shù)是(A) 48(B) 18(C) 24(D) 3

2、64 .已知二面角l的大小為600, m、n為異面直線，且m , n ，則m、n所成的角為(A) 300(B) 600(C) 900(D) 120O5 .已知球 O半徑為1, A、B、C三點都在球面上， A、B兩點和A、C兩點的球面距離都是B、C兩點的球面距離是則二面角B OA C的大小是43(A) (B) (C)一4327. 設(shè)m、n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面.考查下列命題，其中正確的命題是8. / , m ,n /C.,m , n/ m n D.8.設(shè)A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確m, n m n的是9.A. AC與BD共面，則AD與BC共面B.若AC與BD

3、是異面直線，則 AD與BC是異面直線C.若 AB=AC,D.若 AB=AC,DB=DC,DB=DC,貝U AD=BC貝U AD BC若l為一條直線,為三個互不重合的平面，給出下面三個命題:，；，/;l / , l.其中正確的命題有A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個10 .如圖，。是半徑為1的球心，點 A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧Ab與Ac的中點，則點E、f在該球面上的球面距離是(A)(D)(B)(C)43211 .如圖，正三棱柱 ABC A1BC1的各棱長都為 2, E、F分別為AB、A1C1的中點，則EF的長是(A) 2(B) 33(C)4(D) &

4、amp;12 .若P是平面外一點，則下列命題正確的是(A)過P只能作一條直線與平面相交(B)過P可作無數(shù)條直線與平面垂直(C)過P只能作一條直線與平面平行(D)過P可作無數(shù)條直線與平面平行13 .對于任意的直線l與平面 ，在平面內(nèi)必有直線 m,使m與l(A)平行 (B)相交 (C)垂直 (D)互為異面直線14 .對于平面和共面的直線m、n,下列命題中真命題是(A)若 m,mn,則 n/(B)若 mil,n /，則 mil n(C)若m,n/，則m/n (D)若m、n與所成的角相等，則miln15 .關(guān)于直線 m、n與平面 、，有下列四個命題：若m , n/ 且，則mn；若m , n 且 ，則m

5、n；若m , n / 且 / ，則m n;若m/ , n 且 ，則m/ n。其中真命題的序號式A. B. C. D.16 .給出下列四個命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行垂直于同一平面的兩個平面互相平行若直線11,12與同一平面所成的角相等，則1小2互相平行若直線l1,l2是異面直線，則與llJ2都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個數(shù)是(A) 1(B) 2(C) 3(D) 417.如圖，平面平面，A,B, AB與兩平面過A、B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A'、B，則AB: A'B'(A)2:1(B) 3:1(C) 3: 2(D) 4:318.如圖,平面平面 ，

6、所成的角分別為一和一。,B,AB與兩平面所成的角分別為B分別作兩平面交線的垂線,垂足為(A) 4(B) 6A'、BY(C) 8一和一。過A、46AB=12 ,則 A'B'(D) 9計算題1.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形,AC BD,AC與BD相交于點O,且頂點P在底面上的射影恰為。點，又BO 2, PO 叵PB PD .(I)求異面直接 PD與BC所成角的余弦值；(n)求二面角P AB C的大?。?出)設(shè)點M在PC上，且膽 ，問為何值MC時，PC 平面BMD?！窘狻?解法一：Q PO 平面ABCD ,POAB / DC,BD又 PB PD,BO

7、2,PO 72,由平面幾何知識得：OD 1,PD 3, PB.6(I)過D做DEBC交于AB于E,連結(jié)PE ,則與BC所成的角，Q四邊形ABCD是等腰梯形，OC OD 1,OB OA 2,OA OBBC J5, AB 2 2,CD 2又ABDC四邊形EBCD是平行四邊形。ED BC . 5, BE CD . 2PDPDE或其叵下異面直線E是AB的中點，且AE J2又 PA PB .6,PEA為直角三角形,PE ,PA2 AE26-2 2在PED中，由余弦定理得:cos PDEPD2 DE2 PE22PD DE3542 152 3 515故異面直線PD與BC所成的角的余弦值為2.1515(n)連

8、結(jié)OE ,由(I)及三垂線定理知,PEO為二面角P ABC的平面角sin PEO PO 2 , PE 2PEO 450面角P AB C的大小為45°(出)連結(jié) MD,MB,MO ,Q PC平面BMD ,OM平面BMD ,Q PCOM又在RtPOC 中，PCPD 3, OC1,PO 反,PMPMMC解法2時，PC 平面BMDQ PO 平面 ABCDPO又 PB PD ,BO 2,PO V2,由平面幾何知識得：OD OC 1,BO AO 2以O(shè)為原點，OA,OB,OP分別為x, y, z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為 O(0,0,0),A(2,0,0),C( 1,0,0),

9、 D(0,1,0), P(0,0，百uur(D Q PD(0, 1, V2)，uuurBC(1,uuirPDuuur3, BC-uuur uuir5, PD BCcosuuir uurPD,BCBDB(0,2,0)2,0),o15U,MCuuur uuirPD BC33uuun AB 0由 uuu 得n AP 0故直線PD與BC所成的角的余弦值為15(n)設(shè)平面 PAB的一個法向量為n (x,y,z),uuuuuu_由于 AB ( 2,2,0) , AP ( 2,0,后,取n(1,1,J2),又已知平面ABCD的一個法向量m(0,0,1)，cos m, nm n 2 。又二面角PAB C為銳角

10、,所求二面角P ABC的大小為45o(m)設(shè)M (X0,0, zO),由于P,M ,C三點共線,金,Q PC 平面BMDOMPC(1,0, 、2) (%,0,4)X - 2z002由(1) (2)知：X0Z0322M ( - ,0,)33PM 2MC故 2時，PC 平面BMD。2.如圖，a，3,an3=l , AC”，BC3，點A在直線l上的射影為Ai,點B在l的射影為 B1,已知 AB=2,AA 1=1, BB1=/，求：(I)直線AB分別與平面a , 3所成角的大?。?II)二面角A1AB B1的大小?！窘狻拷夥?：(I)如圖，連接A1B,AB1,a 1 3 , a n 3 =l ,AA1

11、L, BB1H,- AA 11 3 , BB11a .則/ BAB 1,/ABA 1 分別是 AB 與a和3所成的角.RtABB1A 中，BB1=V2 .sin/ BAB 1 = BB1 = AB,AB=2,普2 . / BAB 1=45°,AA 1Rt4AAB 中，AA1=1,AB=2, sin / ABA 1=7 =AB故AB與平面a ,3所成的角分別是 45° ,30° . / ABA 1= 30°(n) . BB11a平面ABBa。在平面a內(nèi)過 A1作A1ELAB1交AB1于E,則AE，平面 ABB。過E作EF± AB交AB于F,連接A

12、1F,則由三垂線定 理得 A1FXAB , /A1FE就是所求二面角的平 面角.在 RtABBi 中，/ BABi=45° ,. . AB i=BiB=>/2. RtAAAiB 中，AiB=1aB2 AA i2 =業(yè)1 =小。由 AAi AiB=AiF . AB 得AA i - AiBAlF= ABi x V3 _ 立 -2- = T,在 RtAAiEF 中,sin / AiFE =AiEAF*，27 / 12，二面角 AiABBi的大小為arcsi解法二：(I )同解法一.(n) 如圖,建立坐標系 , 則 Ai(0,0,0),A(0,0,i),B i(0,i,0),B(V2,

13、i,0).在 AB 上取一點F(x,y,z), 則存在 tCR,使得 AF=tAB , 即(x,y,zi)=t(V2,i,i),，點 F 的坐標為的t, t,i t).要使 Aid AB, 須 aIf AB=0, 即(J2t, t,it) (V2,i, i)=0, 2t+t (i t)=0， 解得 t=點F的坐標為(#1 4)AiF=(_2i 3、4 ,4, 4 ).設(shè)E為AB i的中點，則點E的坐標為(0,2, iEF=(C 11)4 , 4,4/又EF - ab4*，-1，1) .(Vii,i)= 2，/ Ai FE為所求二面角的平面角.i4 =0,.EF±AB ,又 cos/

14、AiFE=AiF , EF (4'4) i4)_9|AiF|EF|416+16+16 776+16+161+38 16 16131 = .13 =yj 4 2_33，二面角 AiABBi的大小為arcc營3.在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為 2的菱形，/ DAB =60，對角線AC與BD相交于點O, POL平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為 60 .(1)求四棱錐P-ABCD的體積；(2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的 大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).【解】(1)在四棱錐P-ABCD中,由POL平面ABCD，得 /PBO是PB與平面 ABCD所成的角，/ P

15、BO=60 .在 RtAAOB 中 BO=ABsin30 =1,由 POXBO,于是， PO=BOtg60 =V3,而底面菱形的面積為 2J3.二四棱錐 P-ABCD 的體積 V= 1 X2 J3 xJ3 =2/3 '(2)解法一：以。為坐標原點，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建 立空間直角坐標系.在 RtAAOB 中 OA= J3，于是，點 A、B、D、P的坐標分別是A(0, -3,0), B(1,0,0), D(1,0,0), P(0,0, V3)oE是PB的中點，則E(- ,0,)o22于是 DE =( ,0, - ), AP =(0, 3,3).223uuu

16、r uuu22. 2設(shè) DE 與 AP 的夾角為 0, 有 cos 0 -2 ,0 =arccos。9 344% 3 3,4 4異面直線DE與PA所成角的大小是2 arccos4解法二：取AB的中點F,連接EF、DF.由E是PB的中點，得 EF/ PA, / FED是異面直線DE與PA所成角|(或它的補在 RtAAOB 中 AO=ABcos30 = <3 =OP,于是 在等腰RtA POA中,PA= <6，則EF=2在正 4ABD 和正 4PBD 中，DE=DF= 33 .1 一EFcos/ FED=-DE- 642、3=7異面直線DE與PA所成角的大小是.2 arccos44 .

17、在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 90o,AB BC 1 .(1)求異面直線B1cl與AC所成的角的大?。?2)若AC與平面ABC所成角為45°,求三棱錐A ABC的體積?！窘狻?1) BC / B1C1,/ ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補角) / ABC=90 ,AB=BC=1 ,/ ACB=45 ,異面直線B1C1與AC所成角為45 °.(2) AA平面 ABC,/ACA1是A1C與平面 ABC所成的角，/ ACA 1=45 °. AAi=V2 。 / ABC=90 , AB=BC=1 , AC= J2，三棱錐A1-ABC的體積V

18、=5.如圖，四面體 ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點,CA CB CD BD 2, AB AD .2.(I)求證：AO 平面BCD;(II)求異面直線 AB與CD所成角的大小;(III)求點E到平面ACD的距離。【解】本小題主要考查直線與平面的位置關(guān) 系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本 知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算 能力。方法一 ：(I)證明：連結(jié)Q BO DO,AB AD,Q BO DO, BC CD,在AOC中，由已知可得而 AC 2, AO4OCAO BD.CO BD.AO 1,CO ,3.CO2 AC2.Q BD I OC O,AO 平面BCDAOC 90

19、o,即 AO OC.7229 / 12異面直線AB與CD所成角的大小為2 arccos4(II)取AC的中點M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點知ME/AB,OE/ DC直線OE與EM所成的銳角就是異面直線 AB與CD所成的角1 _2 _1 _ _.在 OME 中，EM AB ,OE DC 1,2 2212QOM是直角 AOC斜邊AC上的中線，OM -AC 1, cos OEM ,(III) 設(shè)點E到平面ACD的距離為h.Q VE ACDVA CDE , hgS ACD 31gAOgS CDE. 3在 ACD 中，CA CD 2, AD 72,S _A ACD而 AO 1，SCDE 2

20、日hDES ACD1 2二2.21735 / 12點E到平面ACD的距離為 方法二：(I)同方法一。B(1,0,0), D( 1,0,0),(II)解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標系，則C(0, 3,0), A。,"；與uur,0), BAuuur1,0,1),CD1,3,0).uuur uuur cos BA, CDuuu uuur BA.CD uuu uur BA CD_24異面直線AB與CD所成角的大小為arccos二r(III)解：設(shè)平面ACD的法向量為n(x, y, z),則r uuur n.AD r uuur n.AC(x, y,z).( 1,0, 1) 0,(x,y

21、,z).(0,3, 1) 0,0,0.r1,得n(J3,1,J3)是平面ACD的一個法向量。uuir 又EC,0),點E到平面ACD的距離uur r ECgnrn3 21T6.如圖，在棱長為 1的正方體 ABCD A1B1C1D1中, (I)試確定m,使得直線AP與平面BD D1B1所成角的正切值為3貶；(n)在線段 A1C1上是否存在一個定點 Q,使得對 任意的m, D1Q在平面APD1上的射影垂直于 AP,并證 明你的結(jié)論?！窘狻勘拘☆}主要考查線面關(guān)系、直線與平面所 成角的有關(guān)知識及空間想像能力和推理運算能力?？疾?應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。解法 1 : (I)連AC,設(shè)AC I B

22、D O,P是側(cè)棱CC1上的一點，CP=m,AP與面BDDB1交于點G,連OG.因為 PC/面BDD1B1 ,面BDD1 BI I 面APC OG,1m故 OGPC。所以 OG -PC - o 22又 AO DB,AO BB1,所以 AO 面BDD1 B1 .故 AGO即為AP與面BDDiBi所成的角。二在 RtAOG 中，tanAGO 2 3衣，即 m 1.32故當m 1時，直線AP與平面BDDiBi所成的角的正切值為3J2。(n )依題意，要在 AC 上找一點Q ,使得DiQ AP .可推測AiCi的中點Oi即為所求的Q點。因為 DiOi AiCi. Di Oi AA ,所以 DQ 面ACC

23、1Al.又 AP面ACC1Al.，故 DiOi AP o從而DiOi在平面ADi P上的射影與AP垂直,解法二：(I)建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A(i,0,0),B(i,i,0),P(0,i, m), C(0,i,0),D(0Q0),Bi(i,i,i),Di(0Qi).uuruuuu所以 BD ( i, i,0),BBi(0,0,i),uuruuurAP ( i,i,m),AC ( i,i,0).uuur uur uuur uuuu uur又由AC BD 0, AC BBi 腹口 AC為平面BB, Di D的一個法向量設(shè)AP與面BDDiBi所成的角為則sincos(一 2uuu uuu

24、r、|AP AC I)-tuir-iuirI AP| | AC |22 .2 m2依題意有：-4 31,解得m 1 .2 .2 m2 J (3 .12)23故當m £時，直線AP與平面BDDM所成的角的正切值為 啦。(n)若在 ACi上存在這樣的點 Q ,設(shè)此點的橫坐標為 x ,uuuu則 Q(x,1 x,1),DQ(x,1 x,0)。依題意，又任意的 m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于 AP。等價于uuuuuuu uuuu1D1Q AP AP D1Q 0 x (1 x) 0 x -即Q為A C1的中點時，滿足題設(shè)的要求。7.如圖，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長為 1,M是底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN=2C1N 。(I)求二面角 B1 AM N的平面角的余弦值;(n )求點B1到平面AMN的距離?！窘狻勘拘☆}主要考查線面關(guān)系、二面角和點到平面距離的有關(guān)知識及空間想象能力和推理運算能力?？疾閼?yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。解法1: (I)因為M是底面BC邊上的中點，所以 AM BC,又AM CC1,所以AM 面BCC1B1 ,從而 AM BM , AM NM ,所以B1MN為二面角B1 AM N的