Poisson過(guò)程教學(xué)目的了解計(jì)數(shù)過(guò)程的概念掌握泊松

1、第三章Poisson過(guò)程教學(xué)目的：(1) 了解計(jì)數(shù)過(guò)程的概念；(2)掌握泊松過(guò)程兩種定義的等價(jià)性；(3)掌握泊松過(guò)程的到達(dá)時(shí)刻的分布、等待時(shí)間的分布和來(lái)到時(shí)刻的條 件分布；(4) 了解泊松過(guò)程的三種推廣。教學(xué)重點(diǎn)：(1)泊松過(guò)程兩種定義的等價(jià)性；(2)泊松過(guò)程的到達(dá)時(shí)刻的分布、等待時(shí)間的分布和來(lái)到時(shí)刻的條件分布；(3)泊松過(guò)程的三種推廣。教學(xué)難點(diǎn)：(1)泊松過(guò)程兩種定義的等價(jià)性的證明；(2)泊松過(guò)程來(lái)到時(shí)刻的條件分布；(3)泊松過(guò)程的推廣。3.1 Poisson 過(guò)程教學(xué)目的：掌握Poisson過(guò)程的定義及等價(jià)定義；會(huì)進(jìn)行Poisson過(guò)程相關(guān)的概 率的計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)：Poisson過(guò)程的定義

2、與其等價(jià)定義等價(jià)性的證明；Poisson過(guò)程相關(guān)的概率的計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)：Poisson過(guò)程的定義與其等價(jià)定義等價(jià)性的證明。Poisson過(guò)程是一類(lèi)重要的計(jì)數(shù)過(guò)程，先給出計(jì)數(shù)過(guò)程的定義定義3.1 :隨機(jī)過(guò)程N(yùn)(t), t20稱(chēng)為計(jì)數(shù)過(guò)程，如果N(t)表示從0到t時(shí)刻某一特定事件A發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個(gè)特點(diǎn)：(1)N取值為整數(shù)；set時(shí),N(s)«N(t)且N(t)-N(s)表示(s,t時(shí)間 內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)。計(jì)數(shù)過(guò)程有著廣泛的應(yīng)用，如：某商店一段時(shí)間 內(nèi)購(gòu)物的顧客數(shù)；某段時(shí)間內(nèi)電話(huà)轉(zhuǎn)換臺(tái)呼叫的次數(shù)；加油站一段時(shí)間內(nèi)等候加油的人數(shù)等。如果在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)是獨(dú)立的，

3、則稱(chēng)該計(jì)數(shù)過(guò)程有獨(dú)立增量。即當(dāng)ti ct2Ht3,有X(t2)-X(ti)與X(t3)-X(t2)是獨(dú)立的。若在任一時(shí)間區(qū)間中的事件個(gè)數(shù)的分布只依賴(lài)于時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度，則計(jì)數(shù)過(guò)程有平穩(wěn)增量。即對(duì)一切t1 <t2及S>0,在(t1 +S,t2 +S中事件個(gè)數(shù)N(t2 +s)-N(ti +s)與區(qū)間(ti%中事件的個(gè)數(shù)N(t2)-N(ti)有相同的分布。Poission過(guò)程是計(jì)數(shù)過(guò)程，而且是一類(lèi)最重要、應(yīng)用廣泛的計(jì)數(shù)過(guò)程，它 最早于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家Poission引入。獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量是某些級(jí)數(shù)過(guò)程的主要性質(zhì).Poisson過(guò)程是具有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的計(jì)數(shù)過(guò)程.定義3.2 :計(jì)

4、數(shù)過(guò)程N(yùn)(t), t 2 0稱(chēng)為參數(shù)為"九A0) Poisson過(guò)程，如果(1)N(0) =0;(2)過(guò)程具有獨(dú)立增量；(3)對(duì)任意的s,t之0,P(N(t +s)-N(s) =n) =e史且 n!例3.1 :設(shè)顧客到達(dá)商店依次 3人/h的平均速度到達(dá)，且服從Poisson分布，已知商店上午9: 00開(kāi)門(mén)，試求(1)從9: 00到10: 00這一小時(shí)內(nèi)最多有 昭顧客的概率？(2)到9:30時(shí)僅到一位顧客，而到11:30時(shí)總計(jì)已達(dá)到5位顧客的概率？(解：見(jiàn)板書(shū)。)注：(1) Poisson過(guò)程具有平穩(wěn)增量。(2)隨機(jī)變量N(t)服從參數(shù)為九t的Poisson分布，故EN(t) = ?t

5、 (顯然，可以認(rèn)為九是單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)，稱(chēng) 兒是Poisson過(guò)程的強(qiáng)度或速 率或發(fā)生率。)(3) lim P(N(t s)-N(s) =0) lim e-,t 1 - t o(t) lim P(N(t s)-N(s) =1)氣叮 te=t o(t)lim P(N(t s)-N(s) _2) =ot p -(讓同學(xué)們通過(guò)討論來(lái)解釋這幾個(gè)極限結(jié)果的實(shí)際意義，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際 并應(yīng)用二項(xiàng)分布與Poisson分布之間的關(guān)系來(lái)解釋這3個(gè)極限。)根據(jù)稀有事件原理，在概率論中我們已經(jīng)學(xué)到:Bernoulli試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率很小，而實(shí)驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，二項(xiàng)分布會(huì)逼近Poisson分布

6、.這一現(xiàn)象也體現(xiàn)在隨機(jī)過(guò)程中.首先，將(0,t劃分為n個(gè)相等的時(shí)間小區(qū)間，則由 條件(4)'可知，當(dāng)nT電時(shí)，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生2次或2次以上的概率 t 0.事件發(fā)生一次的概率p定九白(=Kh),顯然p很小,n這恰好是1次Bernoulli試驗(yàn).其中發(fā)生1次為成功，不發(fā)生的為失敗，再由(2)'給出的平穩(wěn)增量，N就相當(dāng)于n次獨(dú)立Bernoulli試驗(yàn)中試驗(yàn)成功的總次數(shù)。Poissons布的二項(xiàng)逼近可知，N(t)將服從 參數(shù)為M白Poisson分布。(讓學(xué)生討論如何判斷一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程是不是Poisson過(guò)程，則必須驗(yàn)證是否滿(mǎn)足(1) (3),條件(1)說(shuō)明計(jì)數(shù)過(guò)程從0開(kāi)始，條件(

7、2)通常可以從我么 對(duì)過(guò)程的實(shí)際情況去直接驗(yàn)證，然而條件(3) 一般完全不清楚，如何去判斷？ 是否可以從我們所得到的Poisson過(guò)程的這三條性質(zhì)來(lái)判斷定義中的條件(3)是否成立？接下來(lái)就證明計(jì)數(shù)過(guò)程滿(mǎn)足 Poisson過(guò)程定義中的條件(1)和(2)及 這里的性質(zhì)的時(shí)候，該計(jì)數(shù)過(guò)程是一個(gè)Poisson過(guò)程。于是得到Poisson過(guò)程的等價(jià)定義)定義3.2 ': 一計(jì)數(shù)過(guò)程 N(t), t20稱(chēng)為參數(shù)為九的Poisson過(guò)程，若滿(mǎn)足：(1)' N(0) =0;(2)1是獨(dú)立增量及平穩(wěn)增量過(guò)程，即任取 0 Mti t2 用 tn, n乏N ,N(t1)-N(0), N(t2)-N(

8、t1),IH,N(tn)-N(tn)相互獨(dú)立；且-s,t 0, n _0, PN(s t)_N二 n二 PN(t) n(3)'對(duì)任意t >0,和充分小的h >0,有P N(t h) - N(t) =1 =U.h 二(h)(4)'對(duì)任意t > 0,和充分小的h >0,有PN(t h) -N(t) _2 - (h)定理3.1:定義3.2與定義3.2是等價(jià)的。證明：定義3.2'=定義3.2由增量平穩(wěn)性,記：Pn(t) =PN(t) =n =PN(s t) N(s) =n(I ) n =0情形：因?yàn)镹(t h) =0=N(t) =0, N (t h) -

9、N(t) =0, h 0我們有:P0(t h) = PN(t) =0, N(t h)-N(t) =0=P N (t) = 0P N(t h) - N(t) = 0 = P0(t)B(h)另一方面P)(h) -PN(t h) -N(t)-0-1-( ' h ： (h)代入上式,我們有:P0(th)-P°(t)二(h)- -1P° 二令hT 0我們有:靄)款:)。0(II ) n >0情形：因?yàn)?N(t h) =n =N(t) -n, N(t h) -N(t) =0LN(t)=n -1, N(t h) -N(t) =1 IN(t)-n-l,N(t h)-N(t)-

10、l故有：Pn(t h) = Pn(t)(1 - h-： (h) Pn(t)d h 二(h)二(h)化簡(jiǎn)并令hT 0得：R(t) = -，uPn十叫兩邊同乘以e為，移項(xiàng)后有：d- e'T。)-e'tPn_i(t)« dt -、P,(0) = PN(0) = n=0當(dāng)n =1時(shí)，有：d.tte Pi(t)=',耳(0) =0 =Pi(t) =(，t)e-dt -由歸納法可得：('t)n，tPn(t) =e , n N0n!注意：EN(t)=M = 九=EN ,因此九代表單位時(shí)間內(nèi)事件A出現(xiàn)的 平均次數(shù)。定義3.2二 定義3.2'，h ( '

11、 h)1PN(t h)-N=1=PN(h)-N(0)= 彳_ '(二；h)=Kh£ =，由(1 一Kh+o(h) =£h+o(h) (3)成立。nz0n!:h (' h)nPN(t h) -N(t) -2 = PN(h) -N(0) 2 = " e-n=2n!_，h L ( ' h) -,h ( h)h h二e ' - =e - -1 - 1 h -e e -1 - h n丑n!n!=1 -eh 一九he'a =o(h) (4)'成立。例3.2 :設(shè)N(t), t之0服從強(qiáng)度為 g向PoissorH程，求(1) PN

12、(5) = 4;(2) PN=4,N(7.5) =6,N(12)=9;(3) PN(2) =9| N=4.例3.3 :事件A勺發(fā)生形成強(qiáng)度為 Poisson過(guò)程N(yùn)(t),t >0,如果每次事件 發(fā)生時(shí)以概率P能夠被記 錄下來(lái)，并以M(t)表示t時(shí)刻記錄下來(lái)的事件總數(shù)，則 M,t之0是一個(gè)強(qiáng)度為KP白PoissorH程。例3.4 :某商場(chǎng)為調(diào)查顧客到來(lái)的客源情況，考察了男女 顧客來(lái)商場(chǎng)的人數(shù) 假設(shè)男女顧客到達(dá)商場(chǎng)的人數(shù)分別是獨(dú)立服從每分鐘1人與每分鐘2人的Poisson過(guò)程。(1)到達(dá)商場(chǎng)顧客的總?cè)藬?shù)應(yīng)該服從什么分布？已知t時(shí)刻已有50人到達(dá)的條件下，問(wèn)其中有30位是女性顧客的概率有多大？

13、 平均有多少女性顧客？作業(yè)1 :設(shè)通過(guò)某十字路口的車(chē)流可以看做Poisson過(guò)程，如果1分鐘內(nèi)沒(méi)有車(chē)輛通過(guò)的概率為0.2.(1求2分鐘內(nèi)有多于1輛車(chē)通過(guò)的概率。(2)在5分鐘內(nèi)平均通過(guò)的車(chē)輛數(shù)。(3)在5分鐘內(nèi)平均通過(guò)的車(chē)輛數(shù)方差。(4)在5分鐘內(nèi)至少有一輛車(chē)通過(guò)的概率。3.2 Poisson過(guò)程相聯(lián)系的若干分布教學(xué)目的：掌握Xn和Tn的分布；理解事件發(fā)生時(shí)刻的條件分布。教學(xué)重點(diǎn)：Xn,1的分布；事件發(fā)生時(shí)刻的條件分布。教學(xué)難點(diǎn)：事件發(fā)生時(shí)刻的條件分布。PoissonH程N(yùn)(t),t *0的一條樣本路徑一般是 跳躍度為1的階梯型函數(shù)。Tn :n =1,2,用是n次事件發(fā)生的時(shí)刻，也稱(chēng)為第 n次

14、事件的等待時(shí)間，規(guī) 定：T oO.Xn：n=1,2,|n與n-1次事件發(fā)生的時(shí)間 問(wèn)隔，序歹1Xn,n之1也稱(chēng) 為時(shí)間間隔序列.n顯然 Tn =£ Xi , Xn=Tn -Tn。 i 1接下來(lái)討論Xn:n=1,2,|及Tn :n=1,2,|分布，先討論X1的分布，讓學(xué)生根據(jù)Poisson過(guò)程的兩個(gè)等價(jià)定義中的條件來(lái)分析猜想X1的分布，引導(dǎo)學(xué)生用Poisson過(guò)程的平穩(wěn)獨(dú)立增量性和無(wú)記憶性之間的聯(lián)系。復(fù)習(xí)：1.指數(shù)分布 e-，x x -01 -e-，xx -00x ： 0f(X)=0 x；0F(x)=P(XMx) = f f(t)dt = S2.無(wú)記憶性若隨機(jī)變量滿(mǎn)足 P(XAS+t|

15、XAt) = PXAS則稱(chēng)隨機(jī)變量X是無(wú) 記憶 性的。(指數(shù)分布無(wú)記憶性).如果將X看做某儀器的壽命，則X的無(wú)記憶性表示為: 在儀器已工作了 t小時(shí)的條件下，它至少工作s+t小時(shí)的概率 與它原來(lái)至少工 作 s、時(shí)的概率是相同的。結(jié)論：若XE(Q則對(duì)任意的s0,t>0,恒有：P(X s t|X t) =PX s一、Xn和Tn的分布定理3.2 : Xn, n =1,2,川服從參數(shù)為K的指數(shù)分布，且相互獨(dú)立.注：定理3.2的結(jié)果應(yīng)該是在預(yù)料之中的，因Poisson過(guò)程有平穩(wěn)獨(dú)立增量,因此 過(guò)程在任何時(shí)刻都“重新 開(kāi)始”，即從任何時(shí)刻起過(guò)程獨(dú)立于先前已發(fā)生的一 切 （由獨(dú)立增量），且有與過(guò)程完全

16、一樣的分布（由平穩(wěn) 增量）.換言之，過(guò)程“無(wú)記 憶 性"，與指數(shù)分布的"無(wú)記 憶性"相對(duì)應(yīng).定理3.2給出了 Poisson過(guò)程的又一種定義方法：定義3.3:如果每次事件發(fā)生的時(shí)間間隔Xi,X2,|相互獨(dú)立且服從同一參數(shù)九的指數(shù)分布，這該計(jì) 數(shù)過(guò)程N(yùn)（t）,t之0是一個(gè)強(qiáng)度為九的PoissorH程.注：如果任意相繼出現(xiàn)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)間間距是相互獨(dú)立，且服從同一參數(shù) 為九的指數(shù)分布，則質(zhì) 點(diǎn)流構(gòu)成強(qiáng)度為 九的Poisson過(guò)程.定理3.2告訴我們,要確定一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程是不是Poisson過(guò)程，只要用統(tǒng)計(jì)方法 檢驗(yàn)點(diǎn)問(wèn)問(wèn)距是否獨(dú)立，且服從同一指數(shù)分布。例3.5:設(shè)從早上

17、8Q0FF始有無(wú)窮多個(gè)人排隊(duì)等候服務(wù)，只有一名服務(wù)員，且每個(gè)人接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的并服從均值為20min的指數(shù)分布，則到中午12:00為止平均有多少人已經(jīng)離去，已有9個(gè)人接受服務(wù) 的概率是多少？例3.6:甲、乙兩路公共汽車(chē)都通過(guò)某一站，兩路汽車(chē)的達(dá)到 分別服從10分鐘1輛（甲）1陽(yáng)鐘一輛Q）白Poisson布假定車(chē)總不會(huì)滿(mǎn)員，試問(wèn)可乘坐甲或乙兩路公共 汽車(chē)的乘客在此車(chē)站所需要等待時(shí)間的概率分布及其期望。定理3.3: Tn，n=1,2,“服從參數(shù)為n和九的F的分布.證明：見(jiàn)板書(shū)、事件發(fā)生時(shí)刻的條件分布討論在給定N(t) = n的條件下，Ti,T2,|,Tn的條 件分布相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用。引理：彳

18、貿(mào)設(shè)N(t),t 20是PoissonS程，則 70 <swt,有P(工 < s|N(t) =1) =s即在已知0,t內(nèi)A只發(fā)生一次的前提下，A發(fā)生的時(shí)刻 在0,t上是均勻分布.因?yàn)镻oisson過(guò)程具有平穩(wěn)獨(dú)立 增量,事件在0,1的任何相等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)發(fā)生的概率是等可能的，即它的條件分布是0,t上的均勻分布.自然我們要問(wèn)：(。這個(gè)性質(zhì)能否推廣到N6 = n,n . 1的情況？(2)這個(gè)性質(zhì)是否是Poisson過(guò)程特有的？本定理的逆命題是否成立？首先討論順序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)：設(shè)丫,匕川,工是n個(gè)隨機(jī)變量，如果Y(k)是Yi,Y2,W,Yn中第k個(gè)最小值，k=0,1,l|,n,則稱(chēng)Y(

19、i),Y,IH,Y(n)是對(duì)應(yīng)于Y1,Yj|l,Yn的順序統(tǒng)計(jì)量。若丫,YjM,Yn是獨(dú)立同分布的連續(xù)型隨機(jī)變量且具有概率密度f(wàn)(y),則順序統(tǒng)計(jì)量Y1),Y2),Hi,Yn)的聯(lián)合密度為：nf (y1,y21H,yn) =n!i【f(yj(必 » 二川，：二 yn)i 1原因：(1)(%,%),，)將等于(y1,y2,W,yn),而(YZMLY)等于(y1, y2,lll,yn)的n!個(gè)排列中的 任一個(gè)；當(dāng)(乂,五，山區(qū))是(%)21兒外)的一個(gè)排列時(shí),(丫"1此)等于(其返川退) 的概率密度nf(yi1,yi2川l,yin) = f(y”川1 "yj = f(

20、y" id1汪：若Y,i =1,2,llln都在(0,t)上獨(dú)立同均勻分 布，(即f(yi)=?則其順序統(tǒng)計(jì)量(%)，/)，| |，Y(n)的聯(lián)合密度函數(shù)是 r . n!.f (%, 丫2川1, yn) =p (0 二必：v? IH,二 yn 二 t)定理3.4 :設(shè)N(t),t20為PoissorH程，則在已知N(t) = n的條件下，事件發(fā)生的n個(gè)時(shí)刻工,丁2，|,工的聯(lián)合分布密度是：一， . n!，一，一 、f (tl,t2,l|,tn) = (0 二 ti r2 ：二 III,二 tn ；t)注：上式恰好是0,t區(qū)間上服從均勻分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量Y,YJU,Yn的順序

21、統(tǒng)計(jì)量Y(1),Y 2)川|,Yn)的聯(lián)合分布。直觀上理解：在已知0,t內(nèi)發(fā)生了欹事件的前提下，各次事件 發(fā)生的時(shí)刻Ti，T2，HI，Tn(不排序)可看做相互獨(dú)立的 隨機(jī)變量，且服從0,t上的均勻分布。例3.7:(見(jiàn)書(shū))乘客按照強(qiáng)度為入的Poissons程來(lái)到某火車(chē)站，火車(chē)在時(shí)刻t啟程，計(jì)算N(t)在(0,t內(nèi)達(dá)到的乘客等待時(shí)間的總和的期望值，即要求 e£ (t-Ti),其中Ti=1是第i個(gè)乘客來(lái)到的時(shí)刻。例3.8:(見(jiàn)書(shū)例3.6)考慮例3.3中每次事件發(fā)生時(shí)被記錄到的概率隨時(shí)間發(fā)生變化的情況，設(shè)事件A在s時(shí)刻發(fā)生被記錄到的概率P(s),若以M(t)表示t時(shí)刻被 記錄的事件數(shù)，那么它

22、還是Poisson程嗎？試給出M(t)的分布。3.3 Poisson過(guò)程的推廣教學(xué)目的：掌握非齊次Poisson過(guò)程的定義；了解非齊次Poisson過(guò)程與Poisson 過(guò)程之間的聯(lián)系；理解復(fù)合Poisson過(guò)程的定義；掌握復(fù)合Poisson過(guò)程的性質(zhì)； 了解條件Poisson過(guò)程的定義；掌握條件Poisson過(guò)程的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：非齊次Poisson過(guò)程與Poisson過(guò)程之間的聯(lián)系；復(fù)合Poisson過(guò)程 的性質(zhì)；條件Poisson過(guò)程的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：非齊次Poisson過(guò)程與Poisson過(guò)程之間的聯(lián)系。一、非齊次Poisson過(guò)程當(dāng)PoissorM程的強(qiáng)度K不再是常數(shù)，而與時(shí)間t有關(guān)

23、系時(shí)，Poisson±程被推廣 為非齊次Poisson過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，非齊次PoissonS程是不具備平穩(wěn)增量的(例如書(shū)例3.6)在實(shí)際中， 非齊次Poisson過(guò)程也是比 較常用的.例如在考慮設(shè)備的故障率時(shí)，由于設(shè)備使 用年限的變化，出故障的可能性會(huì)隨之變化；放射性物質(zhì)的衰變速度，會(huì)因各種外 部條件的變化而隨之變化;昆蟲(chóng)產(chǎn)卵的平均數(shù)量隨著年齡和季節(jié)而變化等在這樣的情況下，再用齊次Poissons程來(lái)描述就 不合適了，于是改用非齊次Poissons 程來(lái)處理。定義3.4:計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t), t20稱(chēng)為參數(shù)為九。)1圭0的非齊次Poisson過(guò)程, 若滿(mǎn)足： N(0) =0;(2)過(guò)程

24、有獨(dú)立增量；(3)對(duì)任意t > 0,和充分小的h>0,有PN(t h) -N(t) =1 = (t)h 二(h)對(duì)任意t>0,和充分小的h >0,有PN(t h) -N(t) -2 u - (h)t在非齊次poissonS程中，均值 m(t) = (K(s)ds.非齊次Poisson過(guò)程有如下等價(jià)定義:定義3.5 :計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn),t之0稱(chēng)為參數(shù)為Mt),t00的非齊次Poisson過(guò)程,若滿(mǎn)足: N(0) =0;(2)過(guò)程具有獨(dú)立增量；t “s(3)對(duì)任意實(shí)數(shù) t >0,s>0,N(t +s) N(t)具有參數(shù)為 m(t+s)-m(t) = ( K(u)du的

25、Poisson分布。m(t s) -m(t)可證：P( N (t s)-N(t) = n) =exp -(m(t s) -m(t)- n!注1：我們稱(chēng)m(t)為非齊次poisson過(guò)程的均值或強(qiáng)度。注2:定義3.4與定義3.5是等價(jià)的。定理3.5 :設(shè)N(t), t之0是一個(gè)強(qiáng)度為K(t),t之0的非齊次Poisson過(guò)程,對(duì)任意 實(shí)數(shù)t “，令N*(t) = N(m,(t),則N*(t)是一個(gè)強(qiáng)度為1的齊次Poisson過(guò)程。注3:用此定理可以簡(jiǎn)化非齊次 Poisson過(guò)程的問(wèn)題 到齊次Poisson過(guò)程中 進(jìn)行討論。另一方面也可以 進(jìn)行反方向的操作，即從一個(gè)參數(shù)為的Poisson構(gòu)造一個(gè)強(qiáng)

26、度函數(shù)為的非齊次Poisson過(guò)程。定理3.5 '：設(shè)M (u),u20是齊次PoissonS程，且九=1.若強(qiáng)度函數(shù) t>.(s),s>0,令m(t) = j/(s)ds, N(t) = M(m(t),則N(t)是具有強(qiáng)度為 K(s)的 非齊次Poisson過(guò)程。(一般了解)例3.9:(見(jiàn)書(shū))設(shè)某設(shè)備的使用 期限為10年，在前5年內(nèi)它平均2.5年需 要 維 修一次，后5年平均2年需要維修 一次。試求它在使用期內(nèi)維修過(guò) 一次 的概率。二、復(fù)合 Poisson 過(guò)程定義3.6:稱(chēng)X,t之0為復(fù)合PoissorH程，如果對(duì)于t之0,X(t)可以表示N(t)為：X(t) = E Y,其中N(t),t 20是一個(gè) Poisson程,Y,i =1,2| 是一族獨(dú)立同 i