【教育資料】第三章3.1.2(一)學(xué)習(xí)精品

1、教育資源sin( 就=cos3. 1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)【學(xué)習(xí)目標】1.掌握兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式.2.會用兩角和與差的正弦、余弦公式進行簡單白三角函數(shù)的求值、化簡、計算等.3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦公式的靈活運用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法.知識點一兩角和的余弦公式思考 如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？答案 用一3代換cos(a 9 = cos ocos 3+ sin asin 3中的3便可得到.梳理公式cos( a+ g)=cos ocossin osin3簡記符號CXJ)使用條件a, 6都是任意

2、角記憶口決：“余余正正，符號相反”.知識點二兩角和與差的正弦公式思考1如何利用兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式得到兩角和的正弦公式?答案= cos - /cos 葉 sin9Jin 3 =sin ocos 3+ cos osin 3.思考2怎樣由兩角和的正弦公式得到兩角差的正弦公式？答案 用一3代換 3,即可得 sin( a 9 = sin ocos 3- cos asin 3梳理內(nèi)容兩角和的正弦兩角差的正弦簡記符號S(什3S(a-3公式形式sin( a+ =sin acos 葉 cos osin 3sin( a新=sin ocos 3 cos asin 3記憶口訣：“正余余正，符號相同1.不存在角

3、 a, & 使得 cos( a+ 3)=cos ocos 汁 sin asin 3.( X )提示 如 a= 3= 0, cos( 3 = cos 0= 1, cos acos 3+ sin asin 3= 1.教育資源2.任意角 a, & 都有 sin( a+ 9 = sin ocos 汁 cos osin 3(， )提示 由兩角和的正弦公式知結(jié)論正確.3. 存在角 a, & 使 sin( a 3 w sin coos 3 cos osin 3(x )提示由兩角差的正弦公式知不存在角a, 3,使sin( a 就 w sin ocos 3 cos osin 84. 存在

4、角 a, & 使 sin( a+ 3 = sin ocos 3 cos osin 3( ， )提示 如 a= 3= 0 時，sin(a+ ) = 0, sin acos 3- cos osin 3= 0.類型一給角求值例1 (1)(2019衡水高一檢測)已知角a的終邊經(jīng)過點(一3,4),則sin。+41的值為()A.坐 B.10考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案 C解析 因為角a的終邊經(jīng)過點(一3,4),則sin所以 sin ("+4 j=.4 4sin ocos 4+ cos osin 4=5'也_3乂也=也252 10.(2)計算:sin

5、 14 c6s 16 4- sin 76 c6s 74 . °考點兩角和與差的正弦公式題點 利用兩角和與差的正弦公式求值解 原式=sin 14 cos 16 °+ sin(90 - 14 )cos(90 - 16 )=sin 14 cos 16 4 cos 14 sin 16 °。一。 一。1= sin(14 : 16 ) = sin 30 = 2.反思與感悟解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符 合三角公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形.(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形

6、式，化為正負相消的項并消項求值，化分 子.分母形式進行約分，解題時要逆用或變用公式.跟蹤訓(xùn)練1求值:sin 7 平 cos 15 sin 8 ; cos 7 sin 15 sin 8 °考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案 2-小sin （15 8° 廿 cos 15 sin 8解析原式:1cos（15 8 j- sin 15 sin 8sin 15 cos 8 cos 15 sin 8 平 cos 15 sin 8cos 15 cos 8 ; sin 15 sin 8 sin 15 sin 8sin 15 cos 8 sin 15:=:-=cos

7、15 cos 8 cos 15.6 . 2sin(45°30°)4=i-r-=2V3cos(45°-30°) V6+V24類型二給值求值例2考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值3 L c 一 一兀 37t t、., , z5, 且 0<a<4<3<-4, 求 cos( a+ 就.37<37+ a<7t,一於<2 3<0.4 42 4反思與感悟（1）給彳1 （式）求值的策略當“已知角”有兩個時，“所求角” 一般表示為兩個 “已知角”的和或差的形式.的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)以免產(chǎn)生增解或漏當“

8、已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于 “所求角”與“已知角用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角” .(2)給值求角本質(zhì)上為給值求值問題，解題時應(yīng)注意對角的范圍加以討論,解.跟蹤訓(xùn)練2 已知cosi'x+lk3, xC (0,力，則sin x的值為(65A.4 13 310B4,3-3B. 101 c.23D.萬考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案解析所以4加卜+6廠5,所以sin x= sin ,x +6 廠 6 =si" +6cos x+-兀4in _=一6 5&31=必25 210類型三輔助角公式 例 3 (1)求值：cos y+43sin y2

9、=.考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用輔助角公式化簡求值答案 2解析 原式=2cos 12+興sin 12 i= 2sin 4= V2.(2)當函數(shù)y=sin xgcos x(0<x< 2可取得最大值時，x=考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用輔助角公式化簡求值5兀答案 不6解析 y= 2sin x-3 ;；W 2 兀,3&-；w 等教育資源當 X2 =2 '即 x=56寸'ymax=2.反思與感悟 一般地，對于asin a+ bcos a形式的代數(shù)式，可以提取 ya .計算 5/2cos + 4sin：的值是（）+ b2,化為Asin（cox

10、 十 昉的形式，公式 asin a+ bcos a= a2 + b2sin（ a+ 昉（或 asin a+ bcos a= >Ja2+ b2cos（ a（0） 稱為輔助角公式.利用輔助角公式可對代數(shù)式進行化簡或求值.跟蹤訓(xùn)練3 sin卷一43cos君=考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用輔助角公式化簡求值答案-婿解析原式=2（2sin工一孚cos總 兀=2 cos§sin工12sin工 工)3cos127t7t7t=2 sin 12cos 3- cor 兀.J '針n32412教育資源A. 2B. 2 C. 2V2 D.(1 . sin 7 cos 37 - si

11、n 83 sin 37 的值為().13113A. - 2 B. - 2 C.2 D. 2考點兩角和與差的正弦公式題點 利用兩角和與差的正弦公式化簡答案 B1解析 原式=sin 7 cos 37 cos 7 sin 37 = sin( 30 ) = sin 30 =考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式化簡答案 B解析©cos 兇+ 小sin 12=2gcos 亳+ysin 巧）_7t6cos兀_7t12+cos 6sin教育資源= 2Usin* + 12 + 2 Vsin : = 2.3 .已知銳角 a, 3滿足sin a= cos 3=噌2 則a+ 3=考點兩角和與

12、差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求角答案3-T4解析 : a, 3為銳角，sin a=曰& cos 3=cos5.3 10A 5 , sin 3= 10 .sin( a+ 9 = sin ocos 3+ cos asin 3= 2V5X近+迅*啦=返5105102 .L 兀 ,-3兀又 0< a+ 3< 兀，且 o>4，. . a+ 片-4.sin 50 sin 20 cos 30 °4 . cos 20 °考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式化簡,1答案2解析原式=sin(20 °+30° 尸 sin

13、20 c6s 30cos 20sin 20 cos 30 + cos 20 sin 30 sin 20 c6s 30cos 20 °cos 20 § in 30cos 20 °=sin 305 .求函數(shù) f(x)= sin xcos3+6，勺值域.考點兩角和與差的正弦公式題點兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用解 f(x) = sin x-惇cos x 2sin x !2sin x - 3cos x =V3sin x 故函數(shù)f(x)的值域為5, ®7.210教育資源1 .公式的推導(dǎo)和記憶 (1)理順公式間的邏輯關(guān)系以-玳換0誘導(dǎo)公式以-玳換0C(丁份>

14、C(計份 > S(#3> S(丁(2)注意公式的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律對于公式C(3，C(a+3可記為“同名相乘，符號反”；對于公式S(a3, S(計3可記為“異名相乘，符號同 :(3)符號變化是公式應(yīng)用中易錯的地方，特別是公式C(C(a+” S(a-3,且公式sin(a份=sin ocos 3 cos osin 3,角a, 3的“地位”不同也要特別注意.2 .應(yīng)用公式需注意的三點 (1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創(chuàng)造條件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，將未知角用已知角表示出來，使之能直接運用公式.(3)注意常值代換

15、：用某些三角函數(shù)值代替某些常數(shù)，使之代換后能運用相關(guān)公式，其中特別要注意的是“1” 的代換，如 1 = sin，+ cos2 a, 1 = sin 90 ,= cos 60；*=sin 60 等，再如:0,2，4,中等均可視為某個特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù)一、選擇題1. sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 等于（）,3311A. - 2 B. 2 C- - 2 D,考點兩角和與差的正弦公式題點 利用兩角和與差的正弦公式化簡答案 D1 解析 sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 = sin 20 cos 10 + cos 20 sin 1

16、0 = sin 30 =-23 一.,2A.而3,則s1n，等于()B7B. 10D.C.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案 B解析 由 氐 2,兀j,彳44 44<< a+聲學(xué),所以 sin a= sin 4 廠；,故選B.3.（2019江西上饒高一期末考試）已知cos（“一 3）=3，sin 3= 一卷，且 代口，2舐0 j貝U sin ”等于（）A.33 B.56 C. -33 D. -5665656565考點兩角和與差的正弦公式題點 利用兩角和與差的正弦公式求值答案 A& o< 2,解析 : 0< a-夫兀.兀I-2< 皿

17、3又cos( a-四=相5sin( a- §=、1 - cos2( a2< 華0, sin 3=513'cos 3=1213'sina= sin(33a一 份+ g=sin(a一 份cos 計 cos(a 份sin 3= 77.654.在 ABC中，若A = j cos B =邛，則 sin C 等于()2,52 ,5A. 5 B- - 5教育資源考點兩角和與差的正弦公式題點兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用答案解析sin C= sin l (A+ B) = sin(A+ B)2.2=sin Acos B+ cos Asin B= +(cos B+yj 1 - co

18、s2B)走x返+啦嶇211010 廠 5 .5. (2019 杭州高一檢測)已知 sin a+ cos a=, a 3C （0,句，則sin計12 j的值為（）A. 3+2,2B.C.D.1 2,6考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案解析2 一因為 sin a+ cos a= ,氐 3所以21+2sin acos a= , 2sin acos97A 9,所以sin o>0,cos a<0,由(sin a cos、2a) = 1 2sin ocos a=16可得sina cos a=".3解得sin4 + V2a= -, cos a= 6因為7tco

19、s -= cos4廠cos兀7cos 3二十 sin 42c 2c十3sin 4=4. 工 一岳工、一:一 d 工工sin 12 = sin 4 尸sin 3cos 4803$%;.6- .27t4 4 + V2 V6 + V2 42 4sin ocos+cos *訪12= -6x 4+ 6V6-V2 2V2+V3X=6. （2019安徽馬鞍山?？迹┖瘮?shù)f（x）=sin' + ；;Lsin,一教育資源A.周期為 兀的偶函數(shù)B.周期為2兀的偶函數(shù)C.周期為 兀的奇函數(shù)D.周期為2兀的奇函數(shù)考點兩角和與差的正弦公式題點兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用答案 B解析 因為 f(x) = sin,

20、x+4siMx 4 ；= sin xcos4 +cos xsin4sin xcosj +cos xsin 4=啦cos x,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2兀.又 f( x)=成cos( x) = 42cos x= f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).考點題點sin7.已知cosa= 453,則 sin7；的值為(兩角和與差的正弦公式利用兩角和與差的正弦公式求值答案解析- cosQ-6 j+ sin a= 45-3,兀ocos 二十 sin6osin 八+sin (x= ， 65./- 2(3 cos a+ 2sina= ,即:cos a+ "/sin a= , 5225sin7jt

21、a+ 6尸,44 sin "+ 6 尸5.、填空題8 . (2019全國n)函數(shù)f(x) = 2cos x+sin x的最大值為 考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用輔助角公式化簡求值答案 .5解析f(x) = 2cos x+ sin x則 f(x) = -5sin(x+ a),函數(shù)f(x)= 2cos x+ sin x的最大值為 5.9 . sin 15 平 sin 75 的值是.考點兩角和與差的正弦公式題點 利用兩角和與差的正弦公式求值答案T6解析 sin 15 % sin 75 = sin(45 -30°) + sin(45 4 30 )=2sin 45 cos

22、 30 °=更.sin 27 平 cos 45 sin 1810 .cos 27 sin 45 sin 18考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式化簡答案 1解析原式=sin(4518 了 cos 45 sIn 18cos(45°- 18。)- sin 45 sin 18sin 45 cos 18 cos 45 sin 18 平 cos 45 sin 18cos 45 cos 18 4 sin 45 sin 18 sin 45 sin 18 =tan 45 = 1.11 .已知 sin x+3/-33,則 cos x+cos考點兩角和與差的正弦公式題點 利用兩

23、角和與差的正弦公式求值答案 1解析因為sin 3+3/=號,cos x+ cos3,衛(wèi)=2cos x+ 2 sin x =3尸x所以1 退cos x+ 2cos x+ 2 sin x=淄sin x+ 3廣1.三、解答題一一兀3兀 ,1 12.,3 4 .八"，士12 .已知 2< 華 a<-4， COS( “一 3 = , Sin( a+ 份=- 5,求 Sin 2 a 的值.考點兩角和與差的正弦公式題點 利用兩角和與差的正弦公式求值解 因為2<仔a<；j, 所以 0< a <- 4 兀4+ <2.又 cos( a12份=石，Sin(a+ 3)=- 5,所以sin( acos( a+ 3 = 1j 1 sin ( a+ 3尸一所以 sin 2 a= sin( a份+ ( a+ 即=sin( a 9cos( a+ 份+ COS( a就Sin( a+ =& x(_ 4 空 x J 315613 I 513 I 5 65.13.已知 cos a= 55, sin( a X10,且飛配o, 2j求：(1)sin(2 a9 的值；(2) 3的值.考點兩角和與差的正弦公式題點兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用