點到直線的距離公式的七種推導方法

1、點到直線的距離公式的七種推導方法已知點P(x0, y0)直線l ： Ax十By +C = 0( A式0, B式0)求點P到直線l的距離。(因為特殊直線很容易求距離, 這里只討論一般直線)一、 定義法證：根據(jù)定義，點 P到直線|的距離是點P到直線丨的垂線段的長，設點P到直線|的垂線為|'，垂足為Q,由_ |可知i'的斜率為如圖Abl'的方程：yy0 = (xx0)與I聯(lián)立方程組A2 2解得交點 Q(B0 ABy02 AC, AABXjBC)a2+b2，a2+b22 B2x()_ABy0-AC2 A2y0-ABx3_BC 2|PQj(0 2 02X0)2 ( 0 2 02y

2、°)2A2 B22A x0 ABy0 AC2 / =( 2 2 ) (A2 B22-B y° - ABx - BC)2A2 + B2丿A2 + B2A2(AX0 By。C)2 B2(AX0 By。C)2222(A2 +B2)2二、 函數(shù)法證：點P到直線|上任意一點的距離的最小值就是點兩點的距離公式有，為了利用條件(A2 B2)(x-x°)2 (yy°)2=A2(x -X0)2 B2(y -y°)2 A2(y -y°)2 B2(x -冷)2二A(x-x°) B(y -y°)2 A(y-y°) B(x-X0)

3、2一A(x-X0)B(y-y°)2 =(Ax0 By° C)2(： Ax By C =0)/、2 /| AX0 By° C|d(x人)+(yy°) Kr=VA2 +B2當且僅當A(y - y0) =B(x -冷)時取等號所以最小值就是1 Ax0 By0 C 1(Axo Byo C)2(A2 B2)2A2 B2P到直線|的距離。在|上取任意點 Q(x, y)用Ax - By -i C = 0上式變形一下，配湊系數(shù)處理得： A2B2三、不等式法證：點P到直線|上任意一點 Q(x, y)的距離的最小值就是點 P到直線|的距離。由柯西不等式：(A2B2)(x-x

4、。)2(y-y0)2_A(x-x。)B(y-y°)2=(Ax0By。C)2V Ax + By +C = 0,” J(x -X0)2 +(y - y°)2Ax° + By° +C |當且僅當A(y-y0) =B四、轉化法證：設直線l的傾斜角為(xi, yjI P M F | y A2x-CBXi，A2 B2X易得/ MP（圖 2）或/ MPQ= 1800 （圖 3）A21在兩種情況下都有 tan2NMPQ =tan22所以cos./MPQ二B+tan2aAx0 + By0 + C| B | Ax0 + By0 + C |PQ|=|PM |cos MPQ =

5、|00| .00J A2 + B2.A2 B2五、三角形法證：P作PM / y軸交|于M，過點P作PN / x軸交|于N （圖4） 由解法三知 |PM |=| Ax° Byo C |;同理得 | PN |=| Ax。Byo C | 在Rt MPN中，PQ是斜邊上的高 打 PQ|=刊1 |PN|7|PM I2 +|PN |2六、參數(shù)方程法| Axo By。C |.A2 B2|B|.A2 B2Nx證：過點P（xo,yo）作直線i'： *；x -x°COS&交直線| 于點q。（如圖1）'y = y0+tsi n°由直線參數(shù)方程的幾何意義知|t|=

6、| PQ |，將l'代入I得Ax0 - At cost - By0 - Bt si nv C = 0整理后得|t|=|x0 By0 C |-A cos日-Bsin 日（1）當_丨時，我們討論 二與l的傾斜角:的關系：當:-為銳角時 （tan = - A . 0,不妨令A>0,B<0 ）有v - 90°匕Bta n：（圖2）_B_.A2 B2|B| 2A.A2B2-Bcos -sin :Ji +tan2a.口1sin - cos：寸1+tan2aJa2 +B2Ja2 十 B2當:-為鈍角時（tan . - -A : 0,不妨令 A>0,B>0 ）有 -

7、900B得到的結果和上述形式相同，將此結果代入得（圖3）11 _ |Ax0 By。C| = 葉 A2B2_| |A2 B2A2 B2七、向量法證：如圖五，設直線I: AxBn = （1,） , Q直線上任意一點，則A線的距離為：B2| Axo By。 C |By C=0（ A0, B 0的 一個法向量PQ =（為- x。， - y0）。從而點P到直yQ圖五x1 A2斗TB| n £Q | |Xl x° A（yi 一 yo）| I A（Xi -x。）B（% - y。）| a 二|n|:P點在直線I上Am By“ C=0 從而 4 = I A/+B% - Ax。- By。| |

8、Ax° + By°+C|A2 B2A2 B2丄I可線PQ的兩點距離相交，過I PSi = | y。v I =Ax。 By。CI RSl= .PR2 PS2ABxAx0 By0 - C |由三角形面積公式可知:d|附:設點P到直線I的垂線段為PQ垂足為Q,由PQB知，直線PQ的斜率為（A 0）,根據(jù)點斜式寫出直A方程，并由丨與PQ的方程求出點 Q的坐標；由此根據(jù)公式求出丨PQI,得到點P到直線丨的距離為d方案二：設 2 0, Bm 0，這時丨與x軸、y軸都 點P作x軸的平行線，交丨于點R（xi, yo）；作y軸的平行線，交丨于點S（x。，y2）,A xi * By。*C=0-

9、By°-C Ax。- C由得 Xt =, y2 =.Ax。+ By2 + C = 0AB比,Ax0 + By0+C所以，1 PR I = 1 x。I = 0-ARS | = | PR | PS| -Ax。 By。 C可證明，當a=0時仍適用僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r StudienpForsg, zu kommerziellen Zwecken verwendet werd

10、en.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to員bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 員 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 員 ex.僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellZwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uni