波利亞怎樣解題表

1、波利亞的怎樣解題表1 喬治波利亞喬治 波利亞（George Polya, 18871985）是美籍匈牙利數(shù)學家、數(shù)學教育家.在解題方 面，是數(shù)學啟發(fā)法（指關于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法）現(xiàn)代研究的先驅(qū)由于他在數(shù)學教育方面取得的成就和對世界數(shù)學教育所產(chǎn)生的影響，在他93歲高齡時，還被ICME（國際數(shù)學教育大會）聘為名譽主席.作為一個數(shù)學家，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合數(shù)學、計算和應用數(shù)學等眾多領域，都做出了開創(chuàng)性的貢獻，留下了以波利亞”命名的定理或術語； 他與其他數(shù)學家合著的數(shù)學分析中的問題和定理、不等式、數(shù)學物理中的等周問題、復變 量等書堪稱經(jīng)典；而以200多篇論文構成的

2、四大卷文集，在未來的許多年里，將是研究生攻讀的內(nèi)容.作為一個數(shù)學教育家，波利亞的主要貢獻集中體現(xiàn)在怎樣解題（1945年卜數(shù)學與似真推理（1954年）、數(shù)學的發(fā)現(xiàn)（1962年）三部世界名著上，涉及 解題理論”、解題 教學”教師培訓”三個領域波利亞對數(shù)學解題理論的建設主要是通過怎樣解題”表來實現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也在解題講習班”中對教師現(xiàn)身說法他的著作把傳統(tǒng) 的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識和新技能的學習過程，他的目標不是找出可以機械地用于解決一切問題的 萬能方法”而是希望通過對于解題過程的深入分析，特別是由已有的成功實踐，總結(jié)出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用

3、.他所總結(jié)的模式和方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與特殊化 方法、從后往前推、設立次目標、歸納與類比、考慮相關輔助問題、對問題進行變形等，都 在解題中行之有效.尤其有特色的是，他將上述的模式與方法設計在一張解題表中，并通過一系列的問句或建議表達出來，使得更有啟發(fā)意義.著名數(shù)學家互爾登在瑞士蘇黎世大學的會議致詞中說過：每個大學生、每個學者、特別是每個教師都應該讀這本引人入勝的書”（195年 2 月 2 日）.2 怎樣解題表波利亞是圍繞 怎樣解題”、怎樣學會解題”來開展數(shù)學啟發(fā)法研究的，這首先表明其對問題解決”重要性的突出強調(diào)，同時也表明其對 問題解決”研究興趣集中

4、在啟發(fā)法上波利 亞在風靡世界的怎樣解題（被譯成14種文字）一書中給出的怎樣解題表”正是一部啟 發(fā)法小詞典”2.1 怎樣解題”表的呈現(xiàn)弄清冋題第，你必 須弄清問題未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知，條 件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫張圖，引入適當?shù)姆?把條件的各個部分分開你能否把它們寫下來？擬定計劃第二，找出 已知數(shù)與未 知數(shù)之間的 聯(lián)系如果 找不出直接 的聯(lián)系，你 可能不得不 考慮輔助問 題.你應該 最終得出一 個求解的計 劃你以前見過它嗎？ 你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題 ？ 爾是否知道一個可能用得上

5、的定理？看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題.這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關，且早已解決的問題.你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用 它，你是否應該引入某些輔助元素 ？你能不能重新敘述這個問題 ？ 爾能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去.如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題.你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？爾能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？爾能不能從已知數(shù)據(jù)導出某些有用的東西 ？爾能不能想出

6、適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù) ？你是否利用了整個條件 ？爾是否考慮了包 含在問題中的必要的概念 ？實現(xiàn)計劃第三，實行你的計劃實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟.你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？第四，驗算所得到的解.?你能不你能否檢驗這個論證 ？你能否用別的方法導出這個結(jié)果 能一下子看出它來？你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題3 波利亞的解題觀對于波利亞的怎樣解題表及有關著作，人們從不同的角度闡發(fā)了對波利亞解題思想的認識（見參考文獻），我們將其歸結(jié)為5個

7、要點.3.1 程序化的解題系統(tǒng)怎樣解題表，就“怎樣解題”、“教師應教學生做些什么”等問題，把“解題中典型有用的智力活動”，按照正常人解決問題時思維的自然過程分成四個階段一一弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧，從而描繪出解題理論的一個總體輪廓，也組成了一個完整的解題教學系統(tǒng)既體現(xiàn)常識性，又體現(xiàn)由常識上升為理論（普遍性）的自覺努力.這四個階段首先是一個四步驟的宏觀解題程序，其中“實現(xiàn)計劃”雖為主體工作，但較為容易完成，是思路打通之后具體實施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心”； 其次，“弄清問題”是認識問題、 并對問題進行表征的過程，應成為成功解決問題的一個必要前提；與前兩者相比，“回顧”

8、是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來，是一個有遠見的做法，在整個解題表中“擬定計劃”是關鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容.“擬定計劃”的過程是在“過去的經(jīng)驗和已有的知識”基礎上，探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，波利亞的建議是分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系（模式識別等）;第二，如果找不出直接的聯(lián)系， 就對原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進輔助問題，為此，波利亞又進一步建議：看著未知數(shù)，回到定義去，重新表述問題，考慮相關問題，分 解或重新組合，特殊化，一般化，類比等，積極誘發(fā)念頭，努力變化問題.這實際上是闡述 和應用解題策略并進行資源的提取與分配.于是，這個系統(tǒng)就集解題程

9、序、解題基礎、解題策略、解題方法等于一身，融理論與實 踐于一體.3.2 啟發(fā)式的過程分析（1）還在當學生的時候，波利亞就有一個問題一再使他感到困惑：“是的，這個解答好像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想出這樣的解答呢？是的，這個實驗好像還行，它看起來是個事實，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的事實 ？ 而且我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢 從解題論的觀點看，這實際上是既提出了“怎樣解題”又提出了 “怎樣學會解題”的問題，波利亞說，這“終于導致他寫出本書”（指怎樣解題波利亞認為“數(shù)學有兩個側(cè)面”，“用歐幾里得方式提出來的數(shù)學看來像是一門系統(tǒng)的演繹科學；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學看來卻像是一門實驗性的歸納科學.這兩

10、個側(cè)面都像數(shù)學本身一樣古老.但從某一點說來，第二個側(cè)面則是新的，因為以前從來就沒有照本宣科 地把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學照原樣提供給學生，或教師自己，或公眾.”他以數(shù)十年的時間悉心研究數(shù)學啟發(fā)法，其“怎樣解題”的基本思想就可以概括為“知識+啟發(fā)法”.在解題表中，波利亞給出了 “啟發(fā)法小詞典”，讓讀者通過閱讀詞典來開闊思路、指導實踐，自己學會怎樣解題.這些看法來源于波利亞對數(shù)學教育宗旨的認識，波利亞認為，數(shù)學教育應“教會年輕人去思考”，培養(yǎng)學生的“獨立性、能動性和創(chuàng)新精神”； 他認為一個人在學校所受的教育應 該受益終生，他贊成，良好的教育應該“系統(tǒng)地給學生自己發(fā)現(xiàn)事物的機會”，“應該幫助學生自己再發(fā)

11、現(xiàn)所教的內(nèi)容”，“學東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”；他特別重視發(fā)展學生的數(shù)學思維能力， 強調(diào)數(shù)學教學要加強思維訓練，要發(fā)展學生運用所學知識的能力，發(fā)展技能、技巧、有益的思考方式和科學的思維習慣，他反復指出，數(shù)學教育的目的不僅僅是傳授知識，還要“發(fā)展學生本身的內(nèi)蘊能力”.教師要“教學生證明問題”，也要“教他們猜想問題”.波利亞提出“合情推理”的概念，號召：“讓我們教猜想吧！”“我自（2）在解題表的展開中，波利亞則通過剖析典型例題的思維過程來研究“發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的 方法和規(guī)律”.波利亞不斷地提問、不斷地建議，“怎樣才能想出這樣的解答呢己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢？”既驅(qū)使人們?nèi)シ治鼋忸}過程，又要求人們?nèi)?/p>

12、總結(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī) 律波利亞在數(shù)學的發(fā)現(xiàn)序言中提出：“領會方法的最佳時機，可能是讀者解出一道題 的時候，或是閱讀它的解法的時候，也可能是閱讀解法形成過程的時候”.波利亞書中的例題，其實就是對典型例題進行解題過程的分析，就是暴露數(shù)學解題的思維過程，也就是教人“怎樣學會解題”.在例1中，數(shù)學操作與思維開展相結(jié)合的圖解或闡釋，使我們既領會到了這樣的意圖，也見到了這樣的行動.波利亞對解題過程淋漓盡致的剖析，實質(zhì)上已接觸到心理層面，但沒有用到多少教育學或思維學的相關名詞， 基本上都是其數(shù)學前沿研究中切身體驗的自然流露，數(shù)學功底和過程體驗發(fā)揮了重要作用. 這正是數(shù)學家研究數(shù)學教育的優(yōu)勢，處處有數(shù)學的“真刀真槍”

13、，絕非“紙上談兵”波利亞說“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”， 在“知識”與“組織良好”之間，波利亞更強調(diào)后者，他說“良好的組織使得所提供的知識易于用上，這甚至可能比知識的廣泛更為重要.”用現(xiàn)在的話來說，波利亞在這里強調(diào)了“原有的知識經(jīng)驗”和“優(yōu)化的認知結(jié)構”對問題解決的基礎作用.3.3 開放型的念頭誘發(fā).波利亞解釋說：“我們表中的問題和建議并不直接提到念頭；但實際上，所有的問題和建議都與它有關（可以說解題表中的每一個問句，都是從認知或元認知的角度向讀者啟發(fā)解 題念頭），弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準備；擬訂計劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實現(xiàn)它；回顧此過程和求解的結(jié)果，我

14、們試圖更好地利用它.”他強調(diào)指出：“老師為學生所能做的最大的好事是通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個好念頭.”在怎樣解題一書里，出現(xiàn)“念頭”這個詞不下四五十次.念頭有什么用皴利亞說：“它會給你指出整個或部分解題途徑” “也許有些念頭會 把你引入歧途”，但這并不可怕，“在明顯失敗的嘗試和一度猶豫不決之后”會“突然閃出 一個好念頭”， 最糟糕的是沒有任何念頭，還“笨頭呆腦地干等著某個念頭的降臨，而不會做任何事情去加速其來到.”這里說的念頭不僅在字面上比“問題表征”更為淺白，而且在內(nèi)涵上更為豐富， 其實質(zhì)是開展積極活躍的思維活動，產(chǎn)生念頭與找出解題途徑完全可以理解為同義語.那么產(chǎn)生念頭的基礎是什

15、么呢皴利亞的回答是：“過去的經(jīng)驗和已有的知識”.（解題力量）“如果我們對該論題知識貧乏， 是不容易產(chǎn)生好念頭的.如果我們完全沒有知識，則根本不可能產(chǎn)生好念頭”波利亞一再提到“好念頭”，其實這就是直覺、頓悟或靈感，“想出一個好念頭是一種'靈感運動”，“想像力有了一個突然的跳躍，產(chǎn)生了一個好念頭，這是天才的一次閃 爍”，“是我們觀點上的重大突變， 我們看問題方式的一個驟然變動，在解題步驟方面的一個剛剛露頭的有信心的預感”.波利亞關于念頭的種種議論，正是開展積極思維活動的激發(fā)與激活.3.4 探索性的問題轉(zhuǎn)換這里說的“問題轉(zhuǎn)換”，在怎樣解題一書中亦叫“變化問題”、“題目變更”，它 揭示了探索解

16、題思路的數(shù)學途徑，也體現(xiàn)了解題策略的實際運用.波利亞強調(diào)：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘，為了找出哪個方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們從各個方面、各個側(cè)面去試驗，我們變更問題” “變 化問題使我們引進了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們有關的元素接觸的新可 能性” “新問題展現(xiàn)了接觸我們以前知識的新可能性，它使我們做出有用接觸的希望死而復蘇通過變化問題，顯露它的某個新方面，新問題使我們的興趣油然而生”.在“怎樣解題”表中，波利亞擬出了啟引我們不斷轉(zhuǎn)換問題的30多個問句或建議：把問題轉(zhuǎn)化為一個等價的問題，把原問題化歸為一個已解決的問題， 去考

17、慮一個可能相關的問 題，先解決一個更特殊的問題、 或更一般的問題、或類似的問題那些啟發(fā)新念頭的問句，也往往與問題轉(zhuǎn)換有關.“如果我們不用題目變更， 幾乎是不能有什么進展的”一一這就是波利亞的結(jié)論.3.5 樸素的數(shù)學解題元認知觀念.元認知是對認知的再認知，包括元認知知識，元認知體驗和元認知監(jiān)控.雖然元認知概念提出較晚，但元認知思想早就存在，在波利亞的解題思想中存在著樸素的元認知觀念.波利亞解題表的大量問句或建議，都不是問別人，而是自己給自己提問題、提建議，這 是解題者的自我詰問、自我反思.問題中的一部分，其對象針對具體的數(shù)學內(nèi)容，屬于認知性的；另一部分則以解題者自身為對象，屬于元認知性的.比如，

18、“你以前見過它嗎 ？”“你是否知道一個與此有關的問題？”“這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關,且早已解決的問題.你能不能利用它 ？”等等，都不涉及問題的具體內(nèi)容，都是針對解題主體、對其解題思維活動 的反思，都屬于元認知提問，而不完全是認知提問.波利亞解題表中的“回顧”也并不完全是常規(guī)解題中的“檢驗”，主要是有分析地領會所得的解法（參見例1的回顧），它包含著把“問題及其解法”（）作為對象進行自覺反思的元認知意圖.至于解題表本身所給出的解題程序 （一種程序性知識）,所體現(xiàn)的解題策略（一 種策略性知識）及所進行的元認知提問，都屬于元認知知識波利亞對具體范例的分析，基 本上是對“問題及其解法”的再認知，已反

19、映出開發(fā)元認知的樸素意圖.波利亞的另一些問句，如“你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？”“你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接 近？ ”（接近度，“你能不能一下子看出它來？ ” o題感則屬于樸素的元認知體驗.至于解題表本身，則自始至終體現(xiàn)著元認知調(diào)控.綜上所述，“解題系統(tǒng)”是波利亞解題思想的整體框架，“分析解題過程”是波利亞解題思想的思維實質(zhì)，“念頭誘發(fā)”是波利亞解題思想的外在表現(xiàn)，“問題轉(zhuǎn)換”是波利亞解題思想的具體實現(xiàn)，樸素的元認知觀念是波利亞解題思想的心理學基礎.而這一切的背后， 豐富的數(shù)學前沿研究經(jīng)歷和發(fā)現(xiàn)體驗是波利亞解題思想的物質(zhì)

20、基礎，現(xiàn)代啟發(fā)法是波利亞解題思想的靈魂，揭示“發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律”是波利亞解題思想的目標.4 波利亞解題研究的發(fā)展4.1 反思數(shù)學上存在證明的方法與發(fā)現(xiàn)的方法，在邏輯實證主義占主導地位的歷史時期，關于數(shù)學發(fā)現(xiàn)方法的研究一度陷于停頓，波利亞的貢獻就在于自覺承擔起復興數(shù)學啟發(fā)法的重任， 并提出合情推理，為數(shù)學啟發(fā)法的現(xiàn)代研究提供了必要基礎.20世紀80年代初期，美國數(shù)學教育界興起的“問題解決”研究是對波利亞現(xiàn)代啟發(fā)法的直接繼承，曾經(jīng)有“對波利亞的重新發(fā)現(xiàn)”、“數(shù)學啟發(fā)法幾乎成了問題解決的同義詞”等提法.但是，已有數(shù)學實踐卻未能獲得預期的成功，盡管學生已經(jīng)具備了必要的數(shù)學知識，也已經(jīng)了解了相關的

21、方法原則，或者說已執(zhí)行了解題表的建議，卻仍不能有效地解決問題， 這不能不引起數(shù)學教育界的反思.波利亞構建的“四階段”解題系統(tǒng)具有開創(chuàng)性的意義，但局限于“四階段”對學會“數(shù)學地思維”而言是不是有點簡單化了謝數(shù)學問題解決全過程的探索可能比解題表所簡潔描述的復雜得多.（2）數(shù)學啟發(fā)法的現(xiàn)代復興及其所取得的成功，無論怎樣評價都不算過分，但啟發(fā)法能不能看成影響問題解決能力的惟一要素？ +知發(fā)法”之外可能還有更多的因素需要重視（如“元認知調(diào)節(jié)”、“觀念”等 ），“好念頭”的出現(xiàn)可能也需要從方法論的角度做出更 為自覺的分析.（3）波利亞從數(shù)學內(nèi)部研究數(shù)學問題解決并強調(diào)解題實踐是一個值得繼承的研究方向（與那些

22、連數(shù)學題都沒有出現(xiàn)的解題研究形成鮮明對照，也與那些對中學教材作業(yè)題都不那么過關的研究者形成鮮明對照），但局限于“解題”、專注于技能技巧是不是狹窄了點？至少“問 題發(fā)現(xiàn)（提出）”、“實際應用”都與解決問題有同樣的重要性.4.2 發(fā)展近十幾年來，通過反思和對解題實踐活動的深入考察，數(shù)學教育界已經(jīng)在“問題解決”的全過程和“高級數(shù)學思維”的內(nèi)外部機制等研究方面取得了新的進展，中國式的“問題解決”也初成特色，這些都構成了對波利亞的超越.（1）美國學者舍費爾德在名著數(shù)學解題一書中，提出了一個新的理論框架，描述 了復雜的智力活動的四個不同性質(zhì)的方面. 認識的資源即解題者所已掌握的事實和算法； 啟發(fā)法.即在困難的情況下借以取得進展的“常識性的法則”； 調(diào)節(jié)它所涉及的是解題者運用已有知識的有效性（即現(xiàn)代認知心理學中所說的元認知）； 信息系統(tǒng).即解題者對于學科的性質(zhì)和應當如何去從事工作的看法.（2）中國的數(shù)學教學歷來重視解題訓練、中國的數(shù)學教師歷來重視解題研究，20世紀80年代，隨著美國“問題解決” 口號傳入中國，波利亞的解題理論受到了重視也得到了發(fā)展.早在20世紀40年代，波利亞的怎