華東理工大學(xué)2010線性代數(shù)答案 第7冊(cè)

1、華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿（第七冊(cè)）學(xué) 院_專 業(yè)_班 級(jí)_學(xué) 號(hào)_姓 名_任課教師_5.1 方陣的特征值與特征向量1. 選擇題(1) 設(shè)為方陣的特征值，則 ( ). (A) 矩陣的對(duì)應(yīng)特征值的所有特征向量構(gòu)成一個(gè)向量空間;(B) 矩陣的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量一定有無窮多個(gè);(C) 對(duì)應(yīng)特征值的特征子空間的維數(shù)等于矩陣()的秩;(D) 矩陣()一定可逆.解：B. 若是對(duì)應(yīng)的特征向量，那么 ()也是對(duì)應(yīng)的特征向量，故有無窮多個(gè)。注：特征向量一定是非零向量，矩陣的對(duì)應(yīng)特征值的所有特征向量和零向量一起才構(gòu)成向量空間，即特征子空間。(2) 設(shè)為方陣的特征值，則矩陣()一定有特征值 ( ). (A) ;

2、(B) ; (C) 1/; (D) 0. 解：D. 因?yàn)榉疥嚨奶卣髦担示仃?)的行列式等于 0，故0一定是矩陣()的特征值。(3) 設(shè)階方陣和有完全相同的特征值，如下錯(cuò)誤的是 ( ). (A) ; (B) ; (C) 矩陣和有完全相同的特征向量; (D) 矩陣和有相同的奇異性(同為可逆或同為不可逆). 解：C. 比如二階矩陣有相同的特征值 （二重特征值），但和的對(duì)應(yīng)的特征向量不同. (4) 設(shè), 且有特征值, 則= ( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) .解: B. 一方面；又, 所以得.(5) 設(shè)為實(shí)正交矩陣, 即, 則的特征值只能是 ( ).(A) 1; (B) ; (C

3、) 0; (D) .解: D. 設(shè)是的特征值, 是對(duì)應(yīng)的特征向量, 即有,所以有,另一方面, 又有,結(jié)合上述兩式得, 即. 2. 計(jì)算題 （1）求矩陣的特征值與特征向量. 解: 由,得的特征值為: ,當(dāng)時(shí), 解方程 , 由, 得基礎(chǔ)解系為 ,，故對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 ;當(dāng)時(shí), 解方程 , 由, 得基礎(chǔ)解系為 ,故對(duì)應(yīng)的全部特征向量為.(2) 已知3階矩陣有特征值,求的特征值.解: 當(dāng)是的特征值時(shí), 則矩陣的多項(xiàng)式必有特征值. 記, 故有特征值: , , .(3) 設(shè)矩陣, 且的特征值為, 求.解: ,因?yàn)橛刑卣髦禐榈? , 即, 解得 , 無限制, 故.(4) 設(shè)向量是矩陣的逆矩陣的特征向量,

4、 試求常數(shù)的值.解：設(shè), 左乘得 , 即 ,即, 解得, 故有或.3. 證明題 (1) 設(shè)分別是矩陣屬于不同特征值的特征向量, 試 證: 不可能是的特征向量. 證明: 設(shè)是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量, 即有, 另一方面, 又有, 綜上得, 再由定理“矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的”, 知必有 即得 , 與已知條件 矛盾, 故命題得證. (2) 設(shè)， 試證明的特征值為,并求.（本題可選做. 提示：利用哈密爾頓-卡萊定理: 若為矩陣的特征多項(xiàng) 式，則為零矩陣） 證明：根據(jù)計(jì)算題(1)知的特征多項(xiàng)式為： , 因的特征值為，5，故的特征值為： ，. ， 因?yàn)榈奶卣鞫囗?xiàng)式，故, 代入得 =1，

5、即 的特征值為 . 由，知 ， 又因 ，代入得 .5.2 相似矩陣1.選擇題 (1) 設(shè)兩個(gè)不同的階矩陣與相似，則錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 ( ). (A) ; (B) 與有相同的特征值; (C) 與等價(jià); (D) 若存在可逆陣使為對(duì)角陣，則也是對(duì)角陣.解：D. 選項(xiàng)A，B顯然正確. 又若與相似，則存在可逆陣使，即可通過矩陣初等變換化為，故與等價(jià)，即選項(xiàng)C也正確. (2) 已知是階可逆矩陣， 如果與矩陣相似，則下列四個(gè) 命題中，正確的命題共有( )個(gè). a) 與相似； b) 與相似； c) 與相似； d) 與相似. (A) ; (B) ; (C) ; (D) .解：A. 選項(xiàng)b、c、d顯然成立；因?yàn)?，故選

6、項(xiàng)a也成立. (3) 設(shè)矩陣與對(duì)角陣相似，其中， 則如下錯(cuò)誤的選項(xiàng)是( ). (A) 矩陣可逆; (B) ; (C) 與單位陣相似; (D) 有特征值.解：C. 可逆陣一定與單位陣等價(jià)，但未必與單位陣相似。選項(xiàng)A、B、D顯然成立.2. 判斷下列矩陣能否與對(duì)角陣相似，并說明理由. (1); (2); (3).解：(1)顯然有三個(gè)不同的特征值, 故有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 從而相似于對(duì)角陣.(2) ,由得A的特征值由 知方程組有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量；而單根必有另一特征向量, 故有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而三階矩陣能夠相似于對(duì)角陣.(3), 由得A的特征值又, 故方程組只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向

7、量, 三階矩陣沒有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 故不能相似于對(duì)角陣.3. 設(shè)矩陣，求.解: 由, 可得矩陣的特征值. 易求：對(duì)應(yīng)特征值, 有兩個(gè)線性無關(guān)特征向量 , ； 對(duì)應(yīng)特征值, 有一個(gè)線性無關(guān)特征向量 ； 令, 則 由，得 , 故 .4已知矩陣與相似，(1)求； (2)求一個(gè)可逆陣，使得.解: (1) 由相似于, 得 , , 即，解之得 ；(2)與有相同的特征值, 解方程組 , 得特征向量 , 解方程組 , 得特征向量 ,解方程組 , 得特征向量 , 令, 則有. 5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化1. 選擇題 (1) 設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣且有特征值，下述錯(cuò)誤的 選項(xiàng)是 ( ). (A) 矩陣的特征值均

8、為實(shí)數(shù); (B) 矩陣的特征向量均為實(shí)向量; (C) 矩陣一定與對(duì)角陣相似; (D) 若，則一定為正交陣. 解：D. (2) 設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣的一個(gè)3重特征根，則 ( ). (A) 矩陣的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量線性無關(guān)； (B) 矩陣的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量?jī)蓛烧唬?(C) 矩陣有3個(gè)對(duì)應(yīng)的兩兩正交的特征向量; (D) 矩陣的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量的個(gè)數(shù)恰好是3個(gè). 解：C. 2. 求正交矩陣, 將下列矩陣正交對(duì)角化. (1); (2) .解: (1) 由, 可得特征值為，當(dāng) 解方程組, 得基礎(chǔ)解系, 單位化得 ;當(dāng) 解方程組, 得基礎(chǔ)解系，單 位化得;當(dāng) 解方程組, 得基礎(chǔ)解系，單位化得; 取, 則有 .(2) 由, 可得 特征值為,當(dāng) 解方程組, 得基礎(chǔ)解系, ，正交化得, ,再單位化得 , ;當(dāng) 解方程組, 得基礎(chǔ)解系,單位化得, 取, 則有