2017-2018學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-1課時(shí)提升作業(yè)（十三） 2.2.2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 第2課時(shí) 探究導(dǎo)學(xué)課型 Word版含答案

1、溫馨提示： 此套題為word版，請(qǐng)按住ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(十三)橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.已知直線l過(guò)點(diǎn)(3，-1)，且橢圓c：x225+y236=1，則直線l與橢圓c的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()a.1b.1或2c.2d.0【解析】選c.因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)(3，-1)且3225+(-1)236<1，所以點(diǎn)(3，-1)在橢圓的內(nèi)部，故直線l與橢圓有2個(gè)公共點(diǎn).2.點(diǎn)a(a，1)在橢圓x24+y22=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是()a.-2<a<2b.a<-2

2、或a>2c.-2<a<2d.-1<a<1【解析】選a.由題意知a24+12<1，解得-2<a<2.【拓展延伸】點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系已知平面內(nèi)點(diǎn)p(x0，y0)與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，則點(diǎn)p在橢圓外x02a2+y02b2>1；點(diǎn)p在橢圓上x(chóng)02a2+y02b2=1；點(diǎn)p在橢圓內(nèi)x02a2+y02b2<1.3.(2015·馬鞍山高二檢測(cè))已知橢圓c：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，右頂點(diǎn)為a，上頂點(diǎn)為b，若橢圓c的中心到直線ab的距離為66|f1f2|，

3、則橢圓c的離心率e=()a.22b.32c.23d.33【解析】選a.設(shè)橢圓c的焦距為2c(c<a)，由于直線ab的方程為ay+bx-ab=0，所以aba2+b2=63c，因?yàn)閎2=a2-c2，所以3a4-7a2c2+2c4=0，解得a2=2c2或3a2=c2(舍)，所以e=22.【補(bǔ)償訓(xùn)練】橢圓的焦點(diǎn)為f1，f2，過(guò)f1的最短弦pq的長(zhǎng)為10，pf2q的周長(zhǎng)為36，則此橢圓的離心率為()a.33b.13c.23d.63【解析】選c.pq為過(guò)f1且垂直于x軸的弦，則q(-c，b2a)，pf2q的周長(zhǎng)為36.所以4a=36，a=9.由已知b2a=5，即a2-c2a=5.又a=9，解得c=6

4、，解得ca=23，即e=23.4.(2015·石家莊高二檢測(cè))若ab是過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的一條弦，m是橢圓上任意一點(diǎn)，且am，bm與兩坐標(biāo)軸均不平行，kam，kbm分別表示直線am，bm的斜率，則kam·kbm=()a.-c2a2b.-b2a2c.-c2b2d.-a2b2【解析】選b.設(shè)a(x1，y1)，m(x0，y0)，則b(-x1，-y1)，kam·kbm=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-b2a2x02+b2+b2a2x12-b2x02-x12=-b2a2.【一題多解

5、】(特殊值法)：因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)為定值，取a(a，0)，b(-a，0)，m(0，b)，可得kam·kbm=-b2a2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·衡水高二檢測(cè))如果ab是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的任意一條與x軸不垂直的弦，o為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，m為ab的中點(diǎn)，則kab·kom的值為()a.e-1b.1-ec.e2-1d.1-e2【解析】選c.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，中點(diǎn)m(x0，y0)，則x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，兩式作差得(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y1)(y2+y1)b2

6、所以kab·kom=y2-y1x2-x1·y1+y2x1+x2=-b2a2=c2-a2a2=e2-1.5.(2014·吉林高二檢測(cè))ab為過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的弦，f1(c，0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則af1b面積的最大值是()a.b2b.abc.acd.bc【解析】選d.如圖，sabf1=saof1+sbof1=2saof1.又因?yàn)閨of1|=c為定值，所以點(diǎn)a與(0，b)重合時(shí)，of1邊上的高最大，此時(shí)saof1的面積最大為12bc.所以sabf1的最大值為bc.二、填空題(每小題5分，共15分)6.過(guò)橢圓x25+y24=1的右

7、焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則oab的面積為_(kāi).【解析】將橢圓與直線方程聯(lián)立：4x2+5y2-20=0,y=2(x-1),解得交點(diǎn)a(0，-2)，b53,43.設(shè)右焦點(diǎn)為f，則soab=12·|of|·|y1-y2|=12×1×|43+2|=53.答案：537.橢圓mx2+ny2=1與直線y=1-x交于m，n兩點(diǎn)，原點(diǎn)o與線段mn的中點(diǎn)p連線的斜率為22，則mn的值是_.【解析】由y=1-x,mx2+ny2=1消去y，得(m+n)x2-2nx+n-1=0.則mn的中點(diǎn)p的坐標(biāo)為nm+n,mm+n.所以kop=mn=22.答

8、案：228.(2015·寧波高二檢測(cè))已知f1，f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足mf1·mf2=0的點(diǎn)m總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是_.【解析】由mf1·mf2=0，得以f1f2為直徑的圓在橢圓內(nèi)，于是b>c，于是a2-c2>c2，所以0<e<22，故離心率的范圍為0,22.答案：0,22三、解答題(每小題10分，共20分)9.已知?jiǎng)狱c(diǎn)m(x，y)到直線l：x=4的距離是它到點(diǎn)n(1，0)的距離的2倍.(1)求動(dòng)點(diǎn)m的軌跡c的方程.(2)過(guò)點(diǎn)p(0，3)的直線m與軌跡c交于a，b兩點(diǎn).若a是pb的中點(diǎn)，求直線m的斜率.【解題指南】由動(dòng)點(diǎn)

9、m的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程即可；設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出k與x1，x2的關(guān)系式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)即可得斜率.【解析】(1)點(diǎn)m(x，y)到直線x=4的距離是它到點(diǎn)n(1，0)的距離的2倍，則|x-4|=2(x-1)2+y2x24+y23=1.所以，動(dòng)點(diǎn)m的軌跡為橢圓，方程為x24+y23=1.(2)p(0，3)，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由題意知：2x1=0+x2，2y1=3+y2，橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0，3)和(0，-3)，經(jīng)檢驗(yàn)直線m不經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)，即直線m斜率k存在.設(shè)直線m的方程為：y=kx+3.聯(lián)立橢圓和直線方程，整理得：(3+4k2)x2+24kx+24=0x

10、1+x2=-24k3+4k2，x1·x2=243+4k2，x1x2+x2x1=12+2(x1+x2)2-2x1·x2x1·x2=52(-24k)2(3+4k2)·24=92k=±32，所以直線m的斜率k=±32.10.已知橢圓c：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為a(2，0)，離心率為22.直線y=k(x-1)與橢圓c交于不同的兩點(diǎn)m，n.(1)求橢圓c的方程.(2)當(dāng)amn的面積為103時(shí)，求k的值.【解析】(1)由題意得a=2,ca=22,a2=b2+c2,解得b=2.所以橢圓c的方程為x24+y22=1

11、.(2)由y=k(x-1),x24+y22=1得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.=24k2+16>0.設(shè)點(diǎn)m，n的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-41+2k2，所以|mn|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.又因?yàn)辄c(diǎn)a(2，0)到直線y=k(x-1)的距離d=|k|1+k2，所以amn的面積為12|mn|·d=|k|4+6k21+2k2.由|k|4+6k21+2k2=103，解得

12、k=±1.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.已知橢圓c的方程為x216+y2m2=1(m>0)，如果直線y=22x與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)m在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)f，則m的值為()a.2b.2c.8d.23【解析】選b.根據(jù)已知條件c=16-m2，則點(diǎn)16-m2,2216-m2在橢圓x216+y2m2=1(m>0)上，所以16-m216+16-m22m2=1，可得m=22.2.(2015·福建高考)已知橢圓e：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為f，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為m，直線l：3x-4y=0交橢圓e于a，b兩點(diǎn).若|

13、af|+|bf|=4，點(diǎn)m到直線l的距離不小于45，則橢圓e的離心率的取值范圍是()a.0,32b.0,34c.32,1d.34,1【解析】選a.不妨設(shè)左焦點(diǎn)為f2，連接af2，bf2，由橢圓的對(duì)稱性可知四邊形afbf2的對(duì)角線互相平分，所以四邊形afbf2為平行四邊形，所以af+bf=bf2+bf=2a=4，所以a=2，設(shè)m(0，b)，所以d=45b45b1，所以e=1-b2a2=1-b241-14=32，又e(0，1)，所以e0,32.【補(bǔ)償訓(xùn)練】過(guò)橢圓x24+y2=1右焦點(diǎn)且斜率為1的直線被橢圓截得的弦mn的長(zhǎng)為()a.85b.825c.835d.165【解題指南】求出過(guò)橢圓x24+y2

14、=1右焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程，代入橢圓x24+y2=1，可得一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式，即可求弦mn的長(zhǎng).【解析】選a.設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，因?yàn)闄E圓x24+y2=1右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，所以過(guò)橢圓x24+y2=1右焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-3，代入橢圓x24+y2=1，可得x24+(x-3)2=1，即5x2-83x+8=0，所以x1+x2=835，x1x2=85，所以|mn|=1+1·(x1+x2)2-4x1x2=2·19225-16025=85.二、填空題(每小題5分，共10分)3.(2015·濟(jì)南高二檢測(cè))已知對(duì)kr，直線y-kx

15、-1=0與橢圓x25+y2m=1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.【解析】因?yàn)橹本€y-kx-1=0過(guò)定點(diǎn)(0，1)，要使直線和橢圓恒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)(0，1)在橢圓上或橢圓內(nèi)，即025+12m1，整理，得1m1，解得m1.又方程x25+y2m=1表示橢圓，所以m>0且m5，綜上m的取值范圍為m1且m5.答案：m1且m54.(2015·無(wú)錫高二檢測(cè))若傾斜角為4的直線交橢圓x24+y2=1于a，b兩點(diǎn)，則線段ab的中點(diǎn)的軌跡方程是_.【解析】設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，直線方程為y=x+b，代入橢圓方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)的定義，可得x+4y=

16、0，由>0，得-5<b<5，故-455<x<455.答案：x+4y=0(-455<x<455)【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·沈陽(yáng)高二檢測(cè))已知橢圓：y29+x2=1，過(guò)點(diǎn)p12,12的直線與橢圓相交于a，b兩點(diǎn)，且弦ab被點(diǎn)p平分，則直線ab的方程為()a.9x-y-4=0b.9x+y-5=0c.2x+y-2=0d.2x-y+2=0【解析】選b.橢圓：y29+x2=1，過(guò)點(diǎn)p12,12的直線與橢圓相交于a，b兩點(diǎn)，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y129+x12=1(1)y229+x22=1(2)由(1)(2)相減得：(y1+y2)(y1-

17、y2)9+(x1+x2)(x1-x2)=0，點(diǎn)p是ab的中點(diǎn)，所以x1+x2=1，y1+y2=1，由題知x1x2，所以y1-y2x1-x2=-9，則直線ab的方程y-12=-9x-12，整理得9x+y-5=0.三、解答題(每小題10分，共20分)5.設(shè)p是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)d是p在x軸上的投影，m為pd上一點(diǎn)，且|md|=45|pd|.(1)當(dāng)p在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)m的軌跡c的方程.(2)求過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為45的直線被c所截線段的長(zhǎng)度.【解析】(1)設(shè)m的坐標(biāo)為(x，y)，p的坐標(biāo)為(xp，yp)，由已知得xp=x,yp=54y.因?yàn)閜在圓上，所以x2+54y2=25，即c的方

18、程為x225+y216=1.(2)過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為45的直線方程為y=45(x-3)，設(shè)直線與c的交點(diǎn)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，將直線方程y=45(x-3)代入c的方程，得x225+(x-3)225=1，即x2-3x-8=0.=(-3)2+32=41>0所以x1+x2=3，x1x2=-8.所以線段ab的長(zhǎng)度為|ab|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+1625(x1-x2)2=4125(x1+x2)2-4x1x2=4125×41=415.6.(2014·陜西高考)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，3)，離心率為12，左、右焦點(diǎn)分別為f1(-c，0)，f2(c，0).(1)求橢圓的方程.(2)若直線l：y=-12x+m與橢圓交于a，b兩點(diǎn)，與以f1f2為直徑的圓交于c，d兩點(diǎn)，且滿足|ab|cd|=534，求直線l的方程.【解題指南】(1)先由已知得橢圓短半軸長(zhǎng)，再由離心率及a，b，c間的關(guān)系，列方程組得解.(2)先利用直線與圓相交求得弦cd的長(zhǎng)，再利用橢圓與直線相交得ab的長(zhǎng)，通過(guò)解方程得m值從而得解.【解析】(1)由題設(shè)知b=3,ca=12,b2=a2-c2,解得a=2，b=3，c=1，所以橢圓的方程為x24+y23=1