二次根式復習講義7328

1、二次根式知識點一：二次根式的概念【知識要點】二次根式的定義：形如 加(儀2 0)的式子叫二次根式,其中.叫被開方數,只有當a是一個非負數時, 石才有意義.【典型例題】例 1以下各式 1) (,2)口,3) Jx2 +2, 4)4,5) J(g)2,6)TT,7) Ja2 2a + 1 ,其中是二次根式的是 (填序號).舉一反三：1、以下各式中,一定是二次根式的是() A 、品 B、J二m C、2、在石、Va2b、石石、護,、點中是二次根式的個數有 個【例2】假設式子 下有意義,那么x的取值范圍是x -3舉一反三：1、使代數式、x ;有意義的x的取值范圍是()A、x>3B、x>3C

2、x>4D、x>3 且 x手42、使代數式 J-x2+2x-1有意義的x的取值范圍是 3、如果代數式4= + - 有意義,那么,直角坐標系中點P (m, n)的位mn置在()A第一象限B、第二象限C、第三象限 D第四象限【例 3】假設 y= vx -5 + %,5 -x +2021,貝U x+y=x -5 0一解題思路：式.子 盤(a>0), , x = 5, y=2021,貝U x+y=20215-x _0舉一反三:1、假設 Jx 1 _41 x =(x + y)2 ,那么 x y 的值為()A. - 1 B . 1 C . 2 D . 32、假設x、y都是實數,且y= V2

3、x -3 +V3-2x +4 5求xy的值3、當a取什么值時,代數式 宿工1+1取值最小,并求出這個最小值.a是通整數局部,b是 赤的小數局部,求a+,的值. b 2假設石的整數局部是a,小數局部是b,那么V3ab=021假設/7的整數局部為x,小數局部為y,求x 7的值.知識點二：二次根式的性質【知識要點】1 .非負性：&(a之0)是一個非負數.注意：此性質可作公式記住,后面根式運算中經常用到.2 .(國2 =a(a±0).注意：此性質既可正用,也可反用,反用的意義在于,可以把任意一個非負數或非負代數式寫成完全平方的形式：a = «a)2(a>0)3 . Y

4、/#|a(a*0)注意：(1)字母不一定是正數.,-a(a ：二0)(2)能開得盡方的因式移到根號外時,必須用它的算術平方根代替.(3)可移到根號內的因式,必須是非負因式,如果 因式的值是負的,應把負號留在根號外.4 .公式7響a(a'0)與(痼2 =a(a之0)的區(qū)別與聯(lián)系 ,-a(a ：二0)(1) 表示求一個數的平方的算術根,a的范圍是一切實數.(2)(m)2表示一個數的算術平方根的平方,a的范圍是非負數.(3) 和(6)2的運算結果都是非負的.【典型例題】【例 4】假設"2 +63+.-4=0,貝J a_b + c= .舉一反三：1、假設 Vm -3 + n +12

5、= 0 ,貝1J m + n 的值為.2、x,y為實數,且尺1+3y-2, =0,那么x - y的值為A. 3B. - 3C. 1 D. - 13、直角三角形兩邊 X、y的長滿足| X2- 4 | + dy2 5y+ 6 =0,那么第三 邊長為. 20054、假設"-1與2+2"4互為相反數,貝a-b=0雙二：二次根式的性風2公式«a2 =aa之0的運用【例5】 化簡：a-1+h/a=32的結果為A、42a B 、0 C 、2a4 D 、4舉一反三：1在實數范圍內分解因式：X23 =2化簡：石 £1向42；m -4m 4 =3直角三角形的兩直角邊分別為7

6、2和岔,那么斜邊長為 豳亙：公式T7 = a =產0的應用-aa<0【例6】x <2 ,那么化簡Vx2-4x+4的結果是A x-2B、x+2C -x-2D 2-x舉一反三：1、根式J-32的值是A. -3 B . 3 或-3C .3 D .92、a<0,那么| 好一2a |可化簡為A.a B . a C .3a D .3a3、假設23aY3,那么后二Tf加工J等于()A. 5 -2a B. 1 -2a C. 2a-5 D. 2a-14、假設a3v0,那么化簡】a2 一6a+9 +4 - a的結果是()(A) -1(B) 1(C) 2a-7(D) 72a25、化間 x 4x+1

7、 -(V2x -3 )得()(A)2(B) -4x+4(C) - 2(D) 4x-4a2 - 2a 126、當avl且a才0時,化間 a -a=.、4 -(a "_)2 -、4 (a -)27、a<0,化簡求值：' a V a【例7】如果表示a, b兩個實數的點在數軸上的位置如下列圖,那么化簡| a b I +J(a+b)2 的結果等于()baoA . 2b B . 2b C . -2a D . 2a舉一反三：實數a在數軸上的位置如下列圖：化簡：a -1 +J(a_2)2 =.L"【例8】化簡1-x Jx2 8x+16的結果是2x-5 ,那么x的取值范圍是()

8、(A) x 為任意實數(B) 1<x<4 (O x>1(D) x< 1舉一反三：假設代數式J(2 -a)2+J(a-4)2的值是常數2,那么a的取值范圍是( )A. a >4 B. a< 2 C. 2< a< 4D. a=2 或 a = 4【例9】如果a +Va2 -2a +1 =1 ,那么a的取值范圍是()A. a=0 B. a=1 C. a=0或 a=1 D. a < 1舉一反三:1、如果a+Va2-6a+9=3M±,那么實數a的取值范圍是()2、假設,(x3)2 +x 3 = 0,那么x的取值范圍是()(A) x>3(

9、B) x<3(C) x 23(D) x<3【例10】化簡二次根式a妥 的結果是(A) .-a2(B)-、,-a2(C) a - 2(D)- . a - 21、把二次根式aJZ化簡,正確的結果是()aA.aB. 一；二aC. -.aD. a2、把根號外的因式移到根號內：當b >0時,僅=;(a-1)jx 1 -知識點三：最簡二次根式和同類二次根式【知識要點】1、最簡二次根式：(1)最簡二次根式的定義：被開方數是整數,因式是整式；被開方 數中不含能開得盡方的數或因式.2、同類二次根式(可合并根式)：幾個二次根式化成最簡二次根式后,如果被開方數相同,這幾個二次根式就 叫做同類二次根

10、式,即可以合并的兩個根式.【典型例題】-xy;4)J27abe ,最簡二次根式是()C . 1) 3) D . 1) 4)【例11】在根式1) Ja2 +b2;2).；3)A . 1) 2) B . 3) 4)解題思路：掌握最簡二次根式的條件.簡二次根式1 、4碼同；2L$40b2,呵 Jl7(a2 +b2) 中 的：22、以下根式中,不是最簡二次根式的是(A. ,7B.,33、以下根式不是最簡二次根式的是()A. . a2 1B. . 2x 1C.iD. .2C.3D.E44、以下各式中哪些是最簡二次根式,哪些不是為什么?3ab22(1)3a2b(2) 2(3)x2 y2 (4) 、a-b(

11、a b) (5)5(6),8xy5、把以下各式化為最簡二次根式：x2(1)12(2).45a2b(3)【例12】以下根式中能與丙是合并的是()A. 8 B. . 27C.2.5 D.舉一反三：1、以下各組根式中,是可以合并的根式是(A、點和屈B、m和J1 C、Ab和面2 D、和G12、在二次根式： &2;身；;我7中,能與存合并的二次 ,3根式是3、如果最簡二次根式娟二8與J17 2a能夠合并為一個二次根式,那么 a=.知識點四：二次根式計算一一分母有理化【知識要點】1 .分母有理化定義：把分母中的根號化去,叫做分母有理化2 .有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘,如果它們的積不含

12、有二次根式,就說這兩個代數式互為有理化因式.有理化因式確定方法如下：單項二次根式：利用va,va=2來確定,如：y與y,而與va"石,a a -b與va二b等分別互為有理化因式.兩項二次根式：利用平方差公式來確定. 如a+Vb與a6,四+0與后而, a x - b, y與a-., x-b、. y分別互為有理化因式.3 .分母有理化的方法與步驟：先將分子、分母化成最簡二次根式；將分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式；最后結果必須化成最簡二次根式或有理式.【典型例題】【例13】把以下各式分母有理化,4812(4)一550【例14】把以下各式分母有理化言(3)(4)2 ab2

13、b5【例15】把以下各式分母有理化:(1) 2 2 -1舉一反三：(2),5 . 3、-5 v'3(3)3.33,2 -2；322x 3xy y1、x=2嘩,y =竺卓,求以下各式的值: 2 ,32 - ；32、把以下各式分母有理化：(3)b x a2 b2(1) 士(a/b),a ,b. a 2 ； a - 2小結：一般常見的互為有理化因式有如下幾類: G 與石； 五十也與6 -6；口+心與白心； 冽G+冏忑與冽石一作柩.知識點五：二次根式計算一一二次根式的乘除【知識要點】1 .積的算術平方根的性質：積的算術平方根,等于積中各因式的算術平方根的積.>/ab = Va 6(a&g

14、t;0, b>0)2 .二次根式的乘法法那么：兩個因式的算術平方根的積,等于這兩個因式積的算 術平方根.忑.而=Wb . (a>0, b>0)3 .商的算術平方根的性質：商的算術平方根等于被除式的算術平方鏟除以除式 的算術平方根粗二率(a>0, b>0)|'b 小4 .二次根式的除法法那么：兩個數的算術平方根的商,等于這兩個數的商的算術 平方根.魯,(a2 b>0)注意：乘、除法的運算法那么要靈活運用,在實際運算中經常從等式的右邊變 形至等式的左邊,同時還要考慮字母的取值范圍,最后把運算結果化成最簡二 次根式.【典型例題】【例16】化簡(1) ,9

15、16(2),16 81.5 2,15(4). 9x2y2 ( x_ 0, y _ 0)1 X 的 M2J3【例17】計算1 *6x2567127 (3),低%3技4B,-2 r-而(6)叵於(7)2-yx5/3 標(8)【例18】化簡:(2)(a 0,b _0)64b2 9a2(x_0,y . 0)9x 64y25x _2 (x -0, y 0) 169y2【例19】計算：1噌(2)3 T.1664正x【例20能使等式 x-2 6及成立的的A、 x>2 B 、 x 20 C 、x的取值范圍是0WxW2 D 、無解知識點六：二次根式計算一一二次根式的加減【知識要點】需要先把二次根式化簡,然

16、后把被開方數相同的二次根式 即同類二次根式 的系數相加減,被開方數不變.注意：對于二次根式的加減,關鍵是合并同類二次根式, 通常是先化成最簡 二次根式,再把同類二次根式合并.但在化簡二次根式時,二次根式的被開方 數應不含分母,不含能開得盡的因數【典型例題】【例 20】計算 1 病1歷+2而5 3;2 2. 273 ),3S8 5府-33 42 63 - -.27 ,: :'28 - 48 ; - -147 I【例21】i3,y+J/一 x-y22x -y4x 4y(2)(3 )尸一地+ 3a1一；福(4)彳.,石一一(5) J81a3 -5aVa 3 )4a5a(6)同* d+J

17、87;223247知識點七：二次根式計算一一二次根式的混合計算與求值【知識要點】1、確定運算順序;2、靈活運用運算定律;3、正確使用乘法公式;4、大多數分母有理化要及時；5、在有些簡便運算中也許可以約分,不要盲目有理化;【典型習題】1、2Jab5 (-34) + 3出 b2. a5、 (2V3 +372 - V6)(2V3 -3a/;2 +<6 )3-7 6、(72、(3 2 .5)2 - (4 . 5)(4- .5)7、 (276 -5)10(2V6 +5)118、1m 2 1m . 9m - (10m.-2m . ) (m . 0)325; m- 4. + 4-2 + 1【例21】1.：求 一口 十H 的值.j5 +1 d +工 +12 . ' 2,求7的值.3 .：/+y一的一28+5=0,求 箍 的值.4 .求,6-/+#+庫的化- 9 + 二£ - 25.工、y是實數,且>二 示 ,求5牙+6的化知識點八：根式比較大小【知識要點】1、根式變形法當a > 0,b > 0時,如果a a b ,那么逐 > 而;如果a < b ,那么、.a :：b.2、平方法 當a0,bA0時,如果a2 >b2,貝(Jab;如果a2cb2,貝1J a <b.3、分母有理化法通過分母有理化,