學(xué)思堂高二解析幾何復(fù)習(xí)教案

1、 關(guān)聯(lián)性教育首倡者學(xué)思堂解析幾何復(fù)習(xí)講義姓名： 時(shí)間： 課時(shí)效果： 一、直線與圓【考題回放】1已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，則a等于（ D ）A2B1C0D2如果實(shí)數(shù)x、y滿足條件 那么2x-y的最大值為（ B ） A B C D3圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是（C）A36 B 18 C D 4若直線ykx2與圓(x2)2(y3)21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k 的取值范圍 . kÎ(0，)5若半徑為1的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則這個(gè)圓的方程為【熱點(diǎn)透析】直線與圓在高考中主要考查三類問題：一、基本概念

2、題和求在不同條件下的直線方程，基本概念重點(diǎn)考查：（1）與直線方程特征值（主要指斜率、截距）有關(guān)的問題；（2）直線的平行和垂直的條件；（3）與距離有關(guān)的問題等。此類題大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形式出現(xiàn)；二、直線與圓的位置關(guān)系綜合性試題，此類題難度較大，一般以解答題形式出現(xiàn)；三、線性規(guī)劃問題，在高考中涉及，但難度不會(huì)大突破重難點(diǎn)【例1】過點(diǎn)M(2,4)作兩條互相垂直的直線，分別交x、y的正半軸于A、B，若四邊形OAMB的面積被直線AB平分，求直線AB方程。解：設(shè)AB的方程為（a>0,b>0）、。 a>0 0<b<5 AB方程的一般式為bx+ay-ab=0M到

3、AB的距離的面積而的面積，直線AB平分四邊形的面積， 可得故所求AB方程為和?！军c(diǎn)晴】若命題中的直線與兩坐標(biāo)軸均有交點(diǎn)，應(yīng)先考慮選用截距式方程是否有利?！纠?】設(shè)圓滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1；圓心到直線l：x-2y=0的距離為。求該圓的方程。解：設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸距離分別為|b|，|a|由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為900，知圓P截x軸所得的弦長為，故r2=2b2又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2=a2+1從而得2b2-a2=1又點(diǎn)P(a，b)到直線x-2y=0的距離為，所以即有a-2b=±1，由此

4、有解方程組得于是r2=2b2知所求圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2【例3】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=1相切，點(diǎn)C在l上.（）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；（）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn).（i）問：ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；（ii）當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.（）法1 依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.法2 設(shè)M（x，y），依題意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=.化簡得：y2=4x.（）（i）由題意得，直線

5、AB的方程為y=（x1）.由消y得3x210x+3=0，解得x1=，x2=3.所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），|AB|=x1+x2+2=.假設(shè)存在點(diǎn)C（1，y），使ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即由得42+（y+2）2=（）2+（y）2，解得y=. 但y=不符合，所以由，組成的方程組無解.因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得ABC是正三角形.（ii）法1：設(shè)C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由得y=2，即當(dāng)點(diǎn)C（1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故y2.又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2

6、=（）2=.當(dāng)CAB為鈍角時(shí)，cosA=<0.即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即，即y>時(shí)，CAB為鈍角.當(dāng)|AC|2>|BC|2+|AB|2，即，即y<時(shí)，CBA為鈍角.又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即，即.該不等式無解，所以ACB不可能為鈍角.因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是.法2：以AB為直徑的圓的方程為（x）2+（y+）2=（）2.圓心（）到直線l：x=1的距離為，所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G（1，）.當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，ACB為直角，當(dāng)C與G點(diǎn)不重合，且A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，ACB為銳角

7、，即ABC中，ACB不可能是鈍角.因此，要使ABC為鈍角三角形，只可能是CAB或CBA為鈍角.過點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為.令x=1得y=.過點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為y+2( x3).令x=1得y=.又由解得y=2，所以，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形.因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y<或y>（y2）.【點(diǎn)晴】該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方

8、程的思想.該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度.自我提升1將直線l沿x軸正方向平移兩個(gè)單位，再沿y軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，又回到了原來的位置，則l的斜率為（ B ） A B C D2若，且分別是直線l1：ax+(b-a)y-a=0，l2：ax+4by+b=0的方向向量，則a，b的值分別可以是（A）A2，1B1，2C-1，2D-2，13過點(diǎn)P（1，2）作一直線，使此直線與點(diǎn)M（2，3）和點(diǎn)N（4，5）的距離相等，則此直線方程為_4x+y-6=0或3x+2y-7=04已知直線axbyc0與圓O：x2y21相交于A、B兩點(diǎn)，且|A

9、B|，則 . 5關(guān)于曲線C：x2+y4=1的下列說法：(1)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱；(2)關(guān)于直線x軸對(duì)稱；(3)關(guān)于直線y=x對(duì)稱；(4)是封閉圖形，面積小于p；(5)是封閉圖形，面積大于p；(6)不是封閉圖形，無面積可言.其中正確的序號(hào)是_(1)(2)(4) 6.曲線x2+y2+x-6y+3=0上兩點(diǎn)P、Q滿足：關(guān)于直線kx-y+4=0對(duì)稱；OPOQ.求直線PQ的方程.解：由圓上兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線kx-y+4=0對(duì)稱知直線kx-y+4=0經(jīng)過圓心即有設(shè)直線PQ方程為.化簡得yCxPBA 7. 已知ABC的三邊長分別為3、4、5，點(diǎn)P是它的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求分別以PA、PB、PC為直徑的三個(gè)圓面

10、積之和的最大值和最小值。解：ABC為直角三角形，如圖建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則r=1/2（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故內(nèi)切圓方程為（x-1）2+（y-1）2=1，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（1+cos，1+sin）則以PA、PB、PC為直徑的三個(gè)圓面積之和S=（10-cos）當(dāng)cos=-1時(shí)，Smax=5.5, 當(dāng)cos=1時(shí), Smin=4.5.二、圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程【考題回放】1已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長是(C )（A）2 （B）6 （C）4 （D）1

11、22如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=l|OF|。（）寫出雙曲線C的離心率e與l的關(guān)系式；OFxyPMH（）當(dāng)l=1時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若|AB|=12，求此時(shí)的雙曲線方程。【解】四邊形是，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又，。（）當(dāng)時(shí)，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求?！緹狳c(diǎn)透析】主要題型：（1）定義及簡單幾何性質(zhì)的靈活運(yùn)用；（2）求曲線方程（含指定圓錐曲線方程及軌跡方

12、程）。題型一般為二小一大，小題基礎(chǔ)靈活，解答題一般在中等難度以上，一般具有較高的區(qū)分度。突破重難點(diǎn)【例1】過橢圓左焦點(diǎn)F，傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為( B )(A) (B) (C) (D)解：設(shè)點(diǎn)A、B到橢圓左準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，F(xiàn)A=r1，F(xiàn)B=r2，則=e，即d1=，同理d2=，兩式相減得.因?yàn)橹本€AB的傾斜角為60°， 2|d1-d2|=|AB|=3r2，e=【點(diǎn)晴】本題的關(guān)鍵在于利用橢圓的第二定義將60°傾斜角、|FA|=2|FB|這兩個(gè)條件與橢圓的離心率建立聯(lián)系?！揪毩?xí)】若F1、F2為雙曲線的

13、左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)M在雙曲線的右準(zhǔn)線上，且滿足：，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD3解：由知四邊形F1OMP是平行四邊形，又知OP平分F1OM，即F1OMP是菱形，設(shè)|OF1|=c，則|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a， |PF2|=2a+c，由雙曲線的第二定義知,且e>1，e=2，故選C.【例2】定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，又設(shè)AB中點(diǎn)為M(x0,y0)用弦長公式及中點(diǎn)公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，用函

14、數(shù)思想求出最短距離。（2）M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義。解法一：設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點(diǎn)M(x0，y0)則由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9， 即(x1+x2)2-4x1x2·1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入得(2x0)2-(8x02-4y0)·1+(2x0)2=9， 當(dāng)4x02+1=3 即 時(shí)，此時(shí)法2：如圖， 即， 當(dāng)AB經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。M到x軸的最短距離為【點(diǎn)晴】解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關(guān)于x

15、0的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時(shí)，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過焦點(diǎn)F，而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。請(qǐng)思考：當(dāng)|AB|在什么范圍內(nèi)取值時(shí)不能用解法二？【練習(xí)】（北京卷）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1PF2，| PF1|=，| PF2|=.（I）求橢圓C的方程；（II）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B

16、兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程。解法一：()因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4, 所以橢圓C的方程為1.()設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）. 由圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱. 所以 解得，所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意)解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）

17、2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 由得 因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)圖1【例3】如圖1，已知A、B、C是長軸為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，。（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)l使？請(qǐng)給出證明。解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x

18、軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則A（2，0），橢圓方程可設(shè)為。而O為橢圓中心，由對(duì)稱性知|OC|=|OB|又，所以ACBC又，所以|OC|AC|，所以AOC為等腰直角三角形，所以點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，1）。將（1，1）代入橢圓方程得，則橢圓方程為。（2）由直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，設(shè)直線CP的斜率為k，則直線CQ的斜率為k，直線CP的方程為y=k(x-1)，直線CQ的方程為y=-k(x-1)。由橢圓方程與直線CP的方程聯(lián)立，消去y得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0因?yàn)镃（1，1）在橢圓上，所以x1是方程的一個(gè)根，于是 同理這樣， 又B（1，1），所以，即k

19、AB=kPQ。所以PQAB，存在實(shí)數(shù)l使?！军c(diǎn)晴】利用斜率互為相反數(shù)關(guān)系，整體替換，可簡化解題過程。 自我提升1. 雙曲線的虛軸長為4，離心率，F(xiàn)1、F2分別是它的左，右焦點(diǎn)，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項(xiàng)，則|AB|為（A）.A、 B、 C、 D、82. F1、F2為橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，Q為橢圓上任一點(diǎn)，以任一焦點(diǎn)作F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則P點(diǎn)軌跡為（A）.A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線3. 已知點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0), 又P(x,y)是曲線上的點(diǎn), 則 (C)A. |PF1|+|PF2|=10 B.

20、 |PF1|+|PF2|<10 C. |PF1|+|PF2|£10 D. |PF1|+|PF2|³104. F1、F2是橢圓（a>b>0）的兩焦點(diǎn)，過F1的弦AB與F2組成等腰直角三角形ABF2，其中BAF2=900，則橢圓的離心率是_5已知橢圓E的離心率為e，左、右焦點(diǎn)為F1、F2，拋物線C以F2為焦點(diǎn)，F(xiàn)1為其頂點(diǎn)，若P為兩曲線的公共點(diǎn)，且e|PF2|=|PF1|，則e_。6已知橢圓過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A、B、C、D，設(shè)f(m)=|AB|-|CD|,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。解：（1）橢圓中，a2=m，

21、b2=m-1，c2=1，左焦點(diǎn)F1(-1,0)則BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=- （2）當(dāng)m=5時(shí)， 當(dāng)m=2時(shí)，7如圖，A為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過焦點(diǎn)F1、F2當(dāng)AC垂直于x軸 時(shí)，恰好|AF1|:|AF2=3:1（I）求該橢圓的離心率；xyABCOF1F2（II）設(shè)，試判斷l(xiāng)1+l2是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由解：（I）當(dāng)C垂直于x軸時(shí)，由，得，在Rt中，解得 =（II）由=，

22、則，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓方程為，化簡有設(shè)，若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為代入橢圓方程有由韋達(dá)定理得：， 所以，同理可得故l1+l2= 若直線軸， l1+l26 綜上所述：l1+l2是定值6三、向量與圓錐曲線【考題回放】1設(shè)過點(diǎn)P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)P的軌跡方程是（ D ）A BC D2已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A,B兩點(diǎn)。如果，且曲線E上存在點(diǎn)C，使，求m的值和DABC的面積S?！窘狻坑呻p曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知， 故曲線的

23、方程為設(shè)，由方程組 消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有 解得又 依題意得 整理后得 或 但 故直線的方程為設(shè)，由已知，得，又，點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得 得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，到的距離為 的面積.【熱點(diǎn)透析】向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，故它是聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的媒介，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，數(shù)學(xué)高考重視能力立意，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)試題，因此，解析幾何與平面向量的融合交匯是今后高考命題改革的發(fā)展方向和創(chuàng)新的必然趨勢。 要注意以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題以及圓錐曲線中的軌跡、范圍、最值、定值

24、、對(duì)稱等典型問題。突破重難點(diǎn)【例1】設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)A、B，AB中點(diǎn)M（1，2）（1）求直線AB方程；（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D是否共圓，為什么？解析：（1）法一：顯然AB斜率存在。 設(shè)AB：y-2=k(x-1) 由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 當(dāng)>0時(shí)，設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2），則 k=1，滿足>0 直線AB：y=x+1 法二：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）， 則 兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) x1x2 AB：y=x+1 代入得>0.（2）設(shè)A、

25、B、C、D共圓于M¢，因AB為弦，故M¢在AB垂直平分線即CD上；又CD為弦，故圓心M¢為CD中點(diǎn)。因此只需證CD中點(diǎn)M滿足|M¢A|=|M¢B|=|M¢C|=|M¢D|由得A（-1，0），B（3，4）. 又CD方程：y=-x+3由得x2+6x-11=0. 設(shè)C(x3,y3)，D(x4,y4)，CD中點(diǎn)M¢( x0,y0) 則 M¢（-3，6） |M¢C|=|M¢D|=|CD|= 又|M¢A|=|M¢B|= |M¢A|=|M¢B|=|M¢

26、;C|=|M¢D| A、B、C、D在以CD中點(diǎn)，M¢（-3，6）為圓心，為半徑的圓上【點(diǎn)晴】第（1）小題中法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點(diǎn)差法，當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，常用這兩種途徑處理。在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢驗(yàn)條件>0是否成立；第（2）小題此類探索性命題通?？隙M足條件的結(jié)論存在，然后求出該結(jié)論，并檢驗(yàn)是否滿足所有條件，本題應(yīng)著重分析圓的幾何性質(zhì)，以定圓心和定半徑這兩定為中心。充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰，在復(fù)習(xí)中必須引起足夠重視?！纠?】已知是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)=, =,且滿足·=|.求點(diǎn)P(x,y)的軌跡. 解：法一：，化簡得，故點(diǎn)

27、P的軌跡是以(,0)為焦點(diǎn)以為準(zhǔn)線的拋物線法二：則表示在軸上的投影，即點(diǎn)到的距離，設(shè)F1 (-,0)，F(xiàn)2(,0)，所以點(diǎn)P到定點(diǎn)F2的距離與到定直線的距離相等，故點(diǎn)P的軌跡是以(,0)為焦點(diǎn)以為準(zhǔn)線的拋物線?！军c(diǎn)晴】將向量問題坐標(biāo)化進(jìn)而數(shù)量化（法一）和將向量問題幾何化（法二）是兩種常用轉(zhuǎn)化方法，應(yīng)熟練掌握。【例3】已知點(diǎn)A(，0)，B(，0)動(dòng)點(diǎn)P滿足(1)若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記作曲線C1，求曲線C1的方程.(2)已知曲線C1交y軸正半軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)D（0，）作斜率為k的直線交曲線C1于M、N點(diǎn)，求證：無論k如何變化，以MN為直徑的圓過點(diǎn)Q.解：（1）設(shè)P(x，y)，則有 得 （2）由 得Q (0

28、，) 設(shè)直線C的方程為y=kx-代入x2+2y2=4得 (1+2k2) x2設(shè)M(x1，y1) N(x2，y2) 又= 點(diǎn)Q在以MN為直徑的圓上.【點(diǎn)晴】直接法求軌跡是最常見的方法，要注意運(yùn)用；向量是將幾何問題代數(shù)化的有力工具?！纠?】已知A,B為拋物線x2=2py(p>0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2p）（1）求證：A,B,C三點(diǎn)共線； （2）若（）且試求點(diǎn)M的軌跡方程。（1）證明：設(shè)，由得，又，即A,B,C三點(diǎn)共線。（2）由（1）知直線AB過定點(diǎn)C，又由及（）知OMAB，垂足為M，所以點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)。即點(diǎn)M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x&

29、#185;0，y¹0)。【點(diǎn)晴】兩個(gè)向量的平行（共線）與垂直的充要條件在解析幾何中有重要應(yīng)用。在解題時(shí)尤其要注意幾何位置Û向量表達(dá)式Û坐標(biāo)表示之間的轉(zhuǎn)化。自我提升1、已知是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)=, =,且滿足|+|=4.則點(diǎn)P(x,y)的軌跡是.( C )A橢圓B雙曲線C線段D射線2已知A、B為拋物線x2=2py (p>0)上兩點(diǎn)，直線AB過焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D，則y軸上恒存在一點(diǎn)K，使得；存在實(shí)數(shù)l使得 ；若線段AB中點(diǎn)P在在準(zhǔn)線上的射影為T，有。中說法正確的為_3已知圓x2+y2=1，雙曲線(x-1)2-y2=1，直線l同時(shí)滿

30、足下列兩個(gè)條件：與雙曲線交于不同兩點(diǎn)；與圓相切，且切點(diǎn)是直線與雙曲線相交所得弦的中點(diǎn)。求直線l方程。分析：選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，把條件“l(fā)是圓的切線”“切點(diǎn)M是弦AB中點(diǎn)”翻譯為關(guān)于參數(shù)的方程組。法一：當(dāng)l斜率不存在時(shí)，x=-1滿足；當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+b與O相切，設(shè)切點(diǎn)為M，則|OM|=1 b2=k2+1 由得(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0當(dāng)k±1且>0時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則中點(diǎn)M（x0，y0）， y0=kx0+b= M在O上 x02+y02=1 (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 由得： 或 或法二：設(shè)M（x0，y

31、0），則切線AB方程x0x+y0y=1當(dāng)y0=0時(shí)，x0=±1，顯然只有x=-1滿足；當(dāng)y00時(shí)， 代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 y02+x02=1 化簡方程為 (1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理得： 2x03-x02-2x0+1=0 解之得：x0=±1(舍)，x0= y0=。四、圓錐曲線中的最值和范圍問題【考題回放】1已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C

32、)A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+)2 P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為（ B ）A. 6 B.7 C.8 D.93已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（B）(A) (B) (C) (D)4設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.【解】（1）法1：直線l過點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為

33、y=kx+1.記A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo) (x1,y1)、 (x2,y2)是方程組 的解. 將代入并化簡得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0 當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程，所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0 解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上，所以 得，所以當(dāng)時(shí)，有 并且 將代入并整理得 4x2+y2-y=0 當(dāng)x1=x2時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）也滿足，所以點(diǎn)P的軌跡

34、方程為 （2）由點(diǎn)P的軌跡方程知所以 故當(dāng)，取得最小值，最小值為當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為【熱點(diǎn)透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓

35、的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于： 通過參數(shù)簡明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式D³0。突破重難點(diǎn)【例1】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值，且cosÐF1PF2的最小值為（）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； （）若已知D(0,3)，M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上且，求實(shí)數(shù)l的取值范圍講解()由題意c2=5設(shè)|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理, 得 又·， 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)，|PF1|·|PF2| 取最

36、大值，此時(shí)cosÐF1PF2取最小值，令，解得a2=9，b2=4，故所求P的軌跡方程為. （）設(shè)N(s,t)，M(x,y)，則由，可得(x，y-3) =l(s，t-3)，故x=ls，y=3+l(t-3). M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，且，消去s可得，解得，又|t|£2，解得，故實(shí)數(shù)l的取值范圍是【點(diǎn)晴】為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等【例2】已知P點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時(shí)|PQ|最大，因此

37、要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設(shè)Q(x，y)，則|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) 將代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因?yàn)镼在橢圓上移動(dòng)，所以-1£y£1，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)【點(diǎn)晴】1.與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視?！纠?】設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最大值。解: 依題意可設(shè)P(0,1), Q(x,y),則 |PQ|=,又因?yàn)镼在橢圓上

38、,所以x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因?yàn)閨y|1,a>1, 若a, 則|1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值;若1<a<,則當(dāng)y=1時(shí), |PQ|取最大值2.【例4】已知OFQ的面積為，（1）設(shè)，求ÐOFQ正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q（如圖）， 當(dāng) 取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程。解析：（1）設(shè)ÐOFQ =q （2）設(shè)所求的雙曲線方程為，又，當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí)，最小，此時(shí)Q的坐標(biāo)是或 ，所求方程為 【點(diǎn)晴】當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可通過建立目標(biāo)函數(shù)，求其目標(biāo)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有：一元二次函數(shù)法、基本不等式法、判別式法、定義法、函數(shù)單調(diào)性法等。自我提升1設(shè)AB是過橢圓中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為F1(-c，0)，則F1