高中數(shù)學(xué)必修4《第一章 三角函數(shù)》：1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

1、（1 1）周期性）周期性（2 2）奇偶性）奇偶性（3 3）對(duì)稱性）對(duì)稱性( 2 ,0)( ,-1)23( ,0)( ,1)2要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧. 正弦曲線、余弦函數(shù)的圖象正弦曲線、余弦函數(shù)的圖象1)1)圖象作法圖象作法-幾何法幾何法五點(diǎn)法五點(diǎn)法2)2)正弦曲線、余弦曲線正弦曲線、余弦曲線x6yo-12345-2-3-41余弦曲余弦曲線線(0,1)( ,0)2( ,-1)( ,0)23( 2 ,1)x6yo-12345-2-3-41正弦曲正弦曲線線(0,0)思考思考1 1：今天是：今天是20122012年年3 3月月2121日，星期三，那么日，星期三，那么7 7天后是星期幾？天后是星期幾？3030

2、天后呢？為什么？天后呢？為什么？因?yàn)橐驗(yàn)?30=2+7x4 30=2+7x4 所以所以3030天后與天后與2 2天后相同，天后相同，故故3030天后是天后是星期五星期五1. 1.一般地，對(duì)于函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(xf(x), ),如果存在一個(gè)如果存在一個(gè)非零非零的常數(shù)的常數(shù)T T，使得當(dāng)，使得當(dāng)x x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有時(shí)，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )，那么函數(shù)，那么函數(shù)f(xf(x) )就叫就叫做做概念概念2.2.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(xf(x), ),如果在它所有的如果在它所有的周期中存在一個(gè)周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)最小的正

3、數(shù)，那么這個(gè)最那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做小的正數(shù)就叫做f(xf(x) )的的非零常數(shù)非零常數(shù)T T叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的說明：說明：我們現(xiàn)在談到三角函數(shù)周期時(shí)，如果我們現(xiàn)在談到三角函數(shù)周期時(shí)，如果不加特別說明，一般都是指的最小正周期。不加特別說明，一般都是指的最小正周期。xyo-2 - 2 3 4 結(jié)合圖像：在定義域內(nèi)任取一個(gè) ，k2由誘導(dǎo)公式可知： 正弦函數(shù)正弦函數(shù))(sinRxxyxxkxsin)2sin()()2(xfkxf 正弦函正弦函數(shù)數(shù) 是周期函數(shù)，周期是是周期函數(shù)，周期是)(sinRxxy即思考思考2：余弦函數(shù)是不是周期函數(shù)？如：余弦函數(shù)是不是周期函數(shù)？如果是，周期是多少？果

4、是，周期是多少？性質(zhì)性質(zhì)1 1：正弦函數(shù)：正弦函數(shù)y=sinxy=sinx，余弦函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosxy=cosx都都是周期函數(shù)，且它們的周期為是周期函數(shù)，且它們的周期為)0,(2kzkk由誘導(dǎo)公式可知：xkxcos)2cos(即)()2(xfkxf最小正周期是最小正周期是2XX+2yx024-2y=sinx(xR)自變量自變量x增加增加2時(shí)函數(shù)值時(shí)函數(shù)值不斷重復(fù)地不斷重復(fù)地出現(xiàn)的出現(xiàn)的oyx48xoy612三角函數(shù)的周期性三角函數(shù)的周期性: :3.T是是f(x)的周期，那么的周期，那么kT也一定是也一定是f(x)的周期的周期.(k為非零整數(shù)為非零整數(shù)):1.,()( )( ).sin()

5、sin,424f xTf xTyf xxx 例例定定義義是是對(duì)對(duì)定定義義域域中中的的值值來來說說的的只只有有注注意意: :每每一一個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)別別的的滿滿足足不不能能說說值值: :是是的的周周期期如如2sin()sin ,sin.22xxxyx 就就是是說說不不能能對(duì)對(duì) 在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的每每一一個(gè)個(gè)值值使使因因此此不不是是的的周周期期sin()sin.323但但是是判斷下列說法是否正確判斷下列說法是否正確（1 1） 時(shí)，時(shí)， 則則 一定不是一定不是 的周期的周期 3x 2sin()sin3xx 23 sinyx （ ）（2 2） 時(shí)，時(shí)， 則則 一定是一定是 的周期的周期 76x 2sin

6、()sin3xx 23 sinyx （ ） 求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期：cosx是以是以2為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .(2)sin(2 )sin(22 )sin 2() ,sin2xxxyx 是以是以為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .解解:(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) 有有 RxxyRxxyRxxy),621sin(2)3(,2sin)2(,cos3) 1 ()2()2sin(3sin3)(xfxxxfx(3)112sin()2sin(2 )262612sin(4 ),26xxx12sin()26yx是以是以為周期的周期函為周期的周期函數(shù)數(shù)求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期

7、：RxxyRxxyRxxy),621sin(2)3(,2sin)2(,cos3) 1 (你能從上面的解答過程你能從上面的解答過程中歸納一下這些函數(shù)的中歸納一下這些函數(shù)的周期與解析式中的哪些周期與解析式中的哪些量有關(guān)系嗎？量有關(guān)系嗎？2221212xycos3xy2sin)621sin(2xy 函數(shù) 周期)621sin(2xy2TT4T4T212函數(shù) 及函數(shù) 的周期 RxxAy),sin(RxxAy),cos(兩個(gè)函數(shù)RxxAy),sin(RxxAy),cos(（其中 為常數(shù)且A0),A的周期僅與自變量的系數(shù)有關(guān)，那么如何的周期僅與自變量的系數(shù)有關(guān)，那么如何用自變量的系數(shù)來表述上述函數(shù)的周期？用

8、自變量的系數(shù)來表述上述函數(shù)的周期？2T解：解： sinf xAxsin2Axsin2Ax2sinAx2fx2Tsin(),cos(),(,2,0,0):.yAxxRyAxxRAAT 一般地，函數(shù)及函數(shù)其中為常數(shù) 且的周期為歸納總結(jié)歸納總結(jié)P36 練習(xí)練習(xí)1練習(xí)2：求下列函數(shù)的周期課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：RxxyRxxyRxxyRxxy),431sin() 4 (,cos21) 3 (,4cos) 2 (,43sin) 1 (38342432T242T212T632312T 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) y=Asin(x+) 及及y=Acos(x+) （其中（其中A , ,為常數(shù)，為常數(shù)，且且 A0,

9、0 ）的周期是）的周期是: :周期求法：周期求法： 1. 1.定義法：定義法： 2.2.公式法：公式法：2 (0)T 3.3.圖象法圖象法: :小小 結(jié)結(jié) f(x+T)=f(x)2.2.奇偶性奇偶性(1) ( )sin ,f xx xRxR 任意任意()sin()fxxsin x ( )f x ( )sin ,f xx xR為為奇奇函數(shù)函數(shù)(2) ( )cos ,f xx xRxR 任意任意()cos()fxxcos x ( )f x ( )cos ,f xx xR為為偶偶函數(shù)函數(shù)x22322523yO23225311PP正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象53113.,.22222x對(duì)稱軸：對(duì)稱軸：

10、,2xkkZ .(,0),(0,0),( ,0),(2 ,0). 對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：(,0)kkZ P余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象.,0, 2.x 對(duì)稱軸：對(duì)稱軸：,xkkZ 35.(,0),(,0),(,0),(,0).2222 對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO23225311練習(xí)練習(xí) 為函數(shù)為函數(shù) 的一條對(duì)稱軸的是的一條對(duì)稱軸的是（ ）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)解：經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng).12C x 時(shí)時(shí)232x12x 為對(duì)稱軸為對(duì)稱軸例題例題 求求 函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心函數(shù)

11、的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令則則sin(2)sin3yxz sinyz 的對(duì)稱軸為的對(duì)稱軸為,2zkkZ 232xk 解得：對(duì)稱軸為解得：對(duì)稱軸為,122xkkZ(2)sinyz 的對(duì)稱中心為的對(duì)稱中心為(,0) ,kkZ 23xk 對(duì)稱中心為對(duì)稱中心為62xk zk (,0) ,Z62kk解解（1）令）令則則的對(duì)稱軸為的對(duì)稱軸為解得：對(duì)稱軸為解得：對(duì)稱軸為的對(duì)稱中心為的對(duì)稱中心為對(duì)稱中心為對(duì)稱中心為 求求 函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心1cos()24yx 421xzzcos1cos()24yx zycoskz kx421Zkkx,22zyc

12、os)2(zkk),0 ,2(,2kz2421kxZkkx,22Zkk),0 ,22(Zkkx,22探究：探究：正弦函數(shù)正弦函數(shù)的最大值和最小值的最大值和最小值最大值：最大值：2x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：2x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311零點(diǎn)：零點(diǎn)：)(Zkkx3.3.最值最值探究：余弦探究：余弦函數(shù)函數(shù)的最大值和最小值的最大值和最小值最大值：最大值：0 x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311零點(diǎn)：零點(diǎn)：)(2Zkkx3

13、.3.最值最值例例1.下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫出取最大、最小下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫出取最大、最小值時(shí)的自變量值時(shí)的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么的集合，并說出最大、最小值分別是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值.（1）使函數(shù)）使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的x的集合，就是的集合，就是使函數(shù)使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |2,x xkkZ 使函數(shù)使函數(shù) 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是

14、使函數(shù)使函數(shù) 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |(21) ,x xkkZ 函數(shù)函數(shù) 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR例例1.下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫出取最大、最小下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫出取最大、最小值時(shí)的自變量值時(shí)的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么的集合，并說出最大、最小值分別是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：（2）令）令t=2x,因?yàn)槭购瘮?shù)因?yàn)槭购瘮?shù) 取最大值的取最大值的t的集合是的集合是3sin ,yt tR |

15、2,2t tkkZ 222xtk 由由4xk 得得所以使函數(shù)所以使函數(shù) 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ 同理，使函數(shù)同理，使函數(shù) 取最小值的取最小值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ函數(shù)函數(shù) 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值是-3。3sin2 ,yx xR 例題例題x22322523yO23225311求使函數(shù)求使函數(shù) 取得最大值、最小值的取得最大值、最小值的自變量的集合，并寫出最大值、最小值。自變量的集合，并寫出最大值、最小值。)22cos(3xy化未知為已知化未知為已知分析：分析：令令22xz則則zy

16、cos3 P46 A2最值問題121(4)sin23xy 123xz 解解：令令1sin2zy （1）1）要要使使有有最最大大值值，必須必須2,2zkkz 12322kx 43xk 使原函數(shù)取得使原函數(shù)取得最大值最大值的集合是的集合是|4,3kkZx x 1sin2zy （2）2）要要使使有有最最小小值值，必須必須2,2zkkz 12322xk 543kx 使原函數(shù)取得使原函數(shù)取得最小值最小值的集合是的集合是5|4,3xkkZx 31(3)sin226yx 因?yàn)橛幸驗(yàn)橛胸?fù)負(fù)號(hào)號(hào)，所以，所以結(jié)論要結(jié)論要相相反反3sin2yz sinyz 1、_，則，則f（x）在這個(gè)區(qū)間上是）在這個(gè)區(qū)間上是增增函

17、數(shù)函數(shù).)()(21xfxf4.4.正弦余弦函數(shù)的單調(diào)性正弦余弦函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)函數(shù)( ),yf x若在指定區(qū)間任取若在指定區(qū)間任取 ，12x x、且且 ，都有：，都有：21xx函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的走向。函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的走向。觀察正余弦函數(shù)的圖象，探究其單調(diào)性觀察正余弦函數(shù)的圖象，探究其單調(diào)性2、_，則，則f（x）在這個(gè)區(qū)間上是）在這個(gè)區(qū)間上是減減函數(shù)函數(shù).)()(21xfxf增函數(shù)：上升增函數(shù)：上升減函數(shù)：下降減函數(shù)：下降探究探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性正弦函數(shù)的單調(diào)性5335, 222 222 ， ，當(dāng)當(dāng) 在區(qū)間在區(qū)間上時(shí)，上時(shí)，x曲線逐漸上升，曲線逐漸上升，

18、sin的值由的值由 增大到增大到 。11753357, ,22222 222， ， ，當(dāng)當(dāng) 在區(qū)間在區(qū)間x上時(shí)，曲線逐漸下降，上時(shí)，曲線逐漸下降， sin的值由的值由 減小到減小到 。11x22322523yO23225311探究：探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性正弦函數(shù)的單調(diào)性x22322523yO23225311正弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間正弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間2,2()22kkkZ都是增函數(shù)，其值從都是增函數(shù)，其值從1增大到增大到1；而在每個(gè)閉區(qū)間而在每個(gè)閉區(qū)間32,2()22kkkZ上都是上都是減函數(shù)，其值從減函數(shù)，其值從1減小到減小到1。探究探究：余弦函數(shù)余弦函數(shù)的單調(diào)性的單調(diào)性 3 , 2 0 2 3

19、 ,4 ， ， ，當(dāng)當(dāng) 在區(qū)間在區(qū)間x.上時(shí)上時(shí)曲線逐漸上升，曲線逐漸上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。11曲線逐漸下降，曲線逐漸下降， sin的值由的值由 減小到減小到 。11 2 , 0,23 , ，當(dāng)當(dāng) 在區(qū)間在區(qū)間x上時(shí)上時(shí)x22322523yO23225311探究：探究：余弦函數(shù)的單調(diào)性余弦函數(shù)的單調(diào)性x22322523yO23225311由余弦函數(shù)的周期性知：由余弦函數(shù)的周期性知：其值從其值從1減小到減小到1。而在每個(gè)閉區(qū)間而在每個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù)，上都是減函數(shù)，2,2kk 其值從其值從1增大到增大到1 ；在每個(gè)閉區(qū)間在每個(gè)閉區(qū)間2,2kk都是都是增函數(shù)增函數(shù)， 2.求函

20、數(shù)的單調(diào)增區(qū)間123sinyx sinyz 2222zkk1222223xkk 54433kxk4,433,5kkkZ 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間5334,4kk 12sin, 2 ,23xyx 1,k 2 2 1711,330,k 5,33 1,k 711,33 求函數(shù)的單調(diào)求函數(shù)的單調(diào)增增區(qū)間區(qū)間1sin23yx sinyz 32222zkk5114433xkk4,4133,51kkkZ 123zx 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間1sin23yx sin()sin 1sin23yx sinyz sinyz cos()cos 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間1cos23yx sin()sin 1cos23yx cosyz c

21、osyz cos()cos23233(2)cos()coscos5554cos417cos)417cos(解：上是減函數(shù)在且, 0cos,5340 xy 3coscos542317cos()cos()54應(yīng)應(yīng) 用用 舉舉 例例例例2：利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小：利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?317(2)cos;54與cos即分析：比較同名函數(shù)值的大小，往往可以利用函數(shù)的單調(diào)性，但需要考慮它是否在同一單調(diào)區(qū)間上，若是，即可判斷，若不是，需化成同一單調(diào)區(qū)間后再作判斷。已知三角函數(shù)值求角 已知 求3sin2 3sin602 60 3sin420sin(60360 )2 3sin780sin(602360 )2 60360 ,kkZ 3sin( 300 )sin(60360 )2 1203