立體幾何證明題(文科)

1、立體幾何練習1.如圖：梯形ABCD和正 PAB所在平面互相垂直，其中1 -AB，且O為AB中點.2ADCD求證:BC/ 平面 POD ;(II)求證:AC PD.AB/ DC,BO.將菱形ABCD沿對角 DM 372.2.如圖，菱形ABCD的邊長為6 , BAD 60, AC I BD線AC折起，得到三棱錐 B ACD ,點M是棱BC的中點,(I)求證：OM /平面ABD ；(n)求證：平面 ABC 平面MDO ；(m)求三棱錐 M ABD的體積. B3.如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD/BC, / ADC=90 1BC=AD, PA=PD, Q 為 AD 的中點.

2、2(I )求證：AD丄平面PBQ;(n)若點M在棱PC上，設(shè)PM=tMC ,試確定t的值，使得PA/平面 BMQ.MB4.已知四棱錐P ABCD的底面是菱形.PB(I)求證：PC /平面BDE ;(n)求證：平面 PAC 平面BDE .C5.已知直三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都相等，且 中點.(I)求證：平面BiFC/平面EAD;D,E,F 分別為 BC,BB,AA,的(II )求證：BCi平面EAD.6.如圖所示，正方形 ABCD與直角梯形ADE 90,AF / DE , DE DA2AF(I )求證:AC 平面BDE ；(n)求證:AC / 平面 BEF ；(m)求四面體 BDEF

3、的體積.C7.如圖，在四棱錐 P ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,AB=AD，/BAD=60 ,E、F 分別是 AP、AD的中點求證：(1)直線EF/平面PCD;(2)平面BEF丄平面PAD.4Id81FAD把ABD折8.如圖，四邊形 ABCD為正方形，QA丄平面ABCD, PD/ QA, QA=AB= PD.2(I)證明：PQ丄平面DCQ(II )求棱錐QABCD的的體積與棱錐 P-DCQ的體積的比值.9.如圖，在 ABC 中，/ABC=45。，啟AC=90 ,AD 是 BC 上的高, 起，使/ BDC=90 。(1)證明：平面ADBX平面BDC;(2 )設(shè)BD=1，求三棱錐 D-AB

4、C的表面積。參考答案:111.證明： 因為O為AB中點，所以BO - AB,又AB/CD, CD -AB ,22所以有 CD BO,CD/BO,所以O(shè)DCB為平行四邊形,所以 BC/OD,又DO 平面POD, BC 平面POD,所以BC/平面POD .(II)連接 OC.因為 CD BO AO, CD / AO,所以 ADCO 為平行四邊形,又AD CD ,所以ADCO為菱形,所以AC DO ,因為正三角形 PAB , O為AB中點,B所以PO AB，又因為平面ABCD 平面PAB ,平面ABCD I平面PABAB，所以PO 平面ABCD，而AC 平面ABCD，所以PO AC ,又PO I D

5、O O，所以AC 平面POD .又PD 平面POD，所以AC PD .2.(I)證明：因為點 O是菱形ABCD的對角線的交點,所以O(shè)是AC的中點又點M是棱BC的中點,所以O(shè)M是ABC的中位線,OM /AB.因為OM 平面ABD, AB平面ABD ,所以O(shè)M /平面ABD .四邊形BCQA為平行四邊形，且 N為AC中點,）證明：由題額意，OMOD3,因為DM3/2,所以DOM90o,又因為菱形ABCD，所以 ODAC.因為OM 1ACO,所以O(shè)D平面ABC因為OD平面MDO ,所以平面ABC平面MDO .（m）解：三棱錐 M ABD的體積等于三棱錐(nODOM .CABM的體積.由（n）知，OD

6、 平面ABC ,所以O(shè)D 3為三棱錐D ABM的高.1ABM的面積為BA21BM sin 120o -2所求體積等于-S abm33.證明：(I) AD / BC,BC= - AD,2Q為AD的中點,四邊形BCDQ為平行四邊形,CD / BQ . / ADC=90 / AQB=90即QB丄AD. PA=PD, Q 為 AD 的中點,PQ 丄 AD.T PQQBQ=Q,AD丄平面PBQ(n)當 t 1 時，PA/平面 BMQ.C連接AC,交BQ于N,連接MN.vBC/Z -DQ,-2點M是線段PC的中點, 二 MN / PA MN 平面 BMQ, PA 平面 BMQ, PA / 平面 BMQ.4

7、.(I)證明：因為E , O分別為PA , AC的中點,所以 EO II PC 因為EO平面BDEPC平面BDE所以PCII平面BDE (n)證明：連結(jié)OPCAB因為BD平面BDE所以平面PAC 平面BDE 5.(I)由已知可得AF/BiE , AFBiE ,四邊形AFBiE是平行四邊形,AE/FBi ,Q AE 平面BiFC , FBi平面BiFC ,AE/ 平面 BiFC ； 又D,E分別是BC,BBi的中點,DE/BiC ,Q ED 平面 BiFC , B,C 平面 BiFC ,ED/平面 BiFC ；Q AE I DE E,AE 平面 EAD，ED 平面 EAD，平面BiFC /平面E

8、AD .(n ) 三棱柱ABC A B-C-是直三棱柱,CiC 面 ABC，又 Q AD 面 ABC ,CiC AD.又Q直三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都相等，D是BC邊中點,ABC是正三角形， BC AD，而CiC I BC C , CCi 面 BCCiBi , BC 面 BCGBi ,AD 面 BCGB ,故 AD BCi .Q四邊形BCCiBi是菱形，BCi BiC，而 DE/ BC ,故 DE BCi ,由 AD DE D , AD 面 EAD , ED面 EAD ,得 BCi 面 EAD .6. ( I )證明：因為平面 ABCD 平面ADEFADE 90，所以DE 平面AB

9、CD ,所以DE AC .因為ABCD是正方形,所以AC BD，所以AC 平面BDE.(n )證明：設(shè)ACI BD O，取BE中點G ,連結(jié)FG , OG，1所以，OG - DE .2從而四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)G/AO.BEF，即 AC/平面 BEF .AB 4因為FG 平面BEF , AO 平面BEF ,7.解：（1）因為E、F分別是AP、AD的中點,EF PPD,又Q PD面 P CD,EF面PCD（m）解：因為平面ABCD平面ADEF ,AB AD,所以AB 平面ADEF .因為 AF / DE,ADE90, DE DA2AF 2 ,1所以DEF的面積為一ED AD 2 ,所以A

10、O/平面21所以四面體BDEF的體積 -Sdef312直線EF/平面PCD(2)連接 BDQ AB=AD,BAD=60o, ABD為正三角形F是AD的中點， BFAD,又平面PAD丄平面 ABCD,面PAD面 ABCD = AD, BF 面 P AD,BF 面 BEF所以，平面 BEF丄平面PAD.8.解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形因為QA丄平面 ABCD,所以平面 PDAQ丄平面 ABCD,交線為 AD.又四邊形ABCD為正方形，DC丄AD,所以DC丄平面PDAQ，可得PQ丄DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ= PD,則PQ丄QD2所以PQ丄平面DCQ.(II )設(shè) AB= a.由題設(shè)知AQ為棱錐Q ABCD的高，所以棱錐 Q ABCD的體積V13由(I)知PQ為棱錐P DCQ的高，而PQ= J5a , ADCQ的面積為、一a22所以棱錐P DCQ的體積為V2 1a3.3故棱錐QABCD的體積與棱錐P DCQ的體積的比值為19.(1 )折起前AD是BC邊上的高,當 A A