格日樂畢業(yè)論文初稿新

1、熵概念的推廣與應(yīng)用1.熵概念的推廣1.1熱力學(xué)熵我們知道，為了定量表述熱力學(xué)第零定律建立了溫度的概念；為了定量表述熱力學(xué)第一定律，建立了內(nèi)能的概念；與此類似，為了定量表述熱力學(xué)第二定律，才建立了熵的概念。熵表示了物理過程的方向性的特征，物理過程的方向性用熵增加原理來表示。熵的概念比較抽象， 初次接觸它，很難透徹了解。但熵概念很重要，隨著科技的發(fā)展，很多學(xué)科都引入了熵的概念所以對(duì)于熵的學(xué)習(xí)顯得越來越重要。熵這個(gè)物理名詞是由克勞修斯創(chuàng)造出來的，克勞修斯在1854年研究卡諾機(jī)時(shí)發(fā)表了一篇論文論熱的動(dòng)力理論的第二原理的另一形式，提出了熵的概念。熵的最初定義集中于守恒這一點(diǎn)上：無論循環(huán)是不是理想的，在每

2、一次循環(huán)結(jié)束時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)熵，都回到它的初始數(shù)值（圖1.1.1 ）。首先將過程限制于可逆過程。對(duì) 式 O字 0的成立足以證明存在一態(tài)函數(shù)。因此，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)熱力學(xué)平衡狀態(tài)，都可以 引入狀態(tài)函數(shù)熵（S）:從一狀態(tài) 0到另一個(gè)狀態(tài) A，S的變化狀態(tài)定義為(1.1.1)S So0詐積分路線可沿聯(lián)結(jié)0與A的任意可逆變化過程來進(jìn)行。上式定義了兩個(gè)狀態(tài)間的熵差。為了完全確定某狀態(tài)熵的數(shù)值，需要確定一參考態(tài)，并規(guī)定其熵值，猶如我們?cè)谥亓?chǎng)中確定一個(gè)物體的勢(shì)能值，必須選擇一參考點(diǎn)的勢(shì)能值S0,S0為常數(shù)。對(duì)應(yīng)于在狀態(tài) 0的S值。對(duì)于無限小的過程，可寫上式為ds（罕） 可逆 或Tds （dQ） 可逆。圖1.

3、1.1閉合的循環(huán)過程V11.1.2氣體的自由膨脹值得注意的是，熵是作為熱力學(xué)狀態(tài)函數(shù)來定義的對(duì)應(yīng)于任意熱力學(xué)平衡狀態(tài)，總存在有相應(yīng)熵值。不管這一系統(tǒng)曾經(jīng)經(jīng)歷了可逆還是不可逆的變化過程，根據(jù)公式（1.1.1）來具體計(jì)算狀態(tài)A的熵，必須沿著某一個(gè)可逆的變化途徑。這里用理想氣體的自由膨脹為例來說明一 點(diǎn)。V1的左室，右室為真空設(shè)總體積為V2的容器，中間為一界壁為隔開初始狀態(tài)時(shí)理想氣體為 體積V'如圖（1.1.2）。然后，在界壁上鉆一孔，氣體沖入右室，直到重新達(dá)到平衡，氣體均 勻分布于整個(gè)容器為止。 膨脹前后，氣體溫度沒有變化， 氣體的自由膨脹顯然是一個(gè)不可逆 問題。對(duì)于此過程，是無法直接利用

4、公式（ 1.1.1）來計(jì)算熵之變化的。但為了便于計(jì)算，不定拘泥于實(shí)際所經(jīng)歷的路線，不妨設(shè)想一個(gè)聯(lián)系初，終態(tài)的可逆過程中：氣體從體積V1擴(kuò)展到V2的等溫膨脹。在此過程中，熱量Q全部轉(zhuǎn)化為W。dQdQdQT 寸 pdvn RinV2V2NRl nV"計(jì)算中引用了理想氣體狀態(tài)方程：pV nRT NRT時(shí)至今日，科學(xué)的發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了克勞修斯當(dāng)時(shí)引進(jìn)熵的意圖及目標(biāo)。熵作為基本概念被弓I入熱力學(xué)，竟帶來了科學(xué)的深刻變化， 拓展了物理內(nèi)容，這是克勞修斯所始料不及的。今天，歷史賦予熵以愈來愈重要的使命，其 作用，影響遍于各個(gè)方面越來越為人們所關(guān)注，所借用。熵概念的誕生之所以重要，就在于可以將熱力學(xué)第

5、二定律以定量的形式表述出來。我們都知道熱力學(xué)第一定律，其實(shí)質(zhì)無非是能量守恒。即，對(duì)于任一孤立系統(tǒng)能量的的形式可以轉(zhuǎn)換，但其數(shù)值是守恒的，能量不會(huì)憑 空產(chǎn)生或消滅；至于熱力學(xué)第二定律，文獻(xiàn)中有兩種通行的說法：其一是克勞修斯說法，即不可能把熱量從低溫物體轉(zhuǎn)移到高溫物體，而不產(chǎn)生其他影響；其二是開爾文說法，能從單一熱源取熱量，全部用來做功，而不引起其他變化。引入熵，則可將熱力學(xué)第二定律 表述為：在孤立系統(tǒng)內(nèi)，任何變化不可能導(dǎo)致熵的總值減小，即dS 0 （1.1.2）如果變化過程是可逆的，則dS 0 ；如果變化過程是不可逆的，dS 0 ；總之熵有增無減。緣于此，熱力學(xué)第二定律亦稱之為熵恒增定律。我們說

6、，熱力學(xué)第二定律對(duì)過程的方向和限度，最終應(yīng)當(dāng)給出定量的判據(jù)，正是源于熱力學(xué)第二定律的熵表述。它完全勝任這樣的作用：即不可不可逆絕熱過程總是向熵增大的方向進(jìn)行；而可逆絕熱過程則總是沿著等熵線進(jìn)行。由此原則，當(dāng)還可推論出：孤立系統(tǒng)是絕熱的，且其中的一切自發(fā)過程都是不可逆的。因此，這類過程總 是向著熵增大的方向進(jìn)行。 這就是孤立系統(tǒng)中自發(fā)不可逆過程方向的判據(jù)。自發(fā)過程都是由非平衡態(tài)趨向平衡態(tài)的過程，到達(dá)平衡態(tài)時(shí)過程就停止了，由此可知，在平衡態(tài)時(shí)，熵為極大值。就是說，自發(fā)不可逆過程方向進(jìn)行的限度，是達(dá)到熵為極大為止。這樣，式（1.1.2）又給出了判斷不可逆過程限度的準(zhǔn)則。同時(shí)，熵增原理還可以作為過程是

7、否可逆的判據(jù)：若熵增大，則此過程是不可逆的。熵具有相加性。系統(tǒng)熵變化過程中，每一步所吸收的熱量都與質(zhì)量成正比，因而系統(tǒng)各部分的熵相加起來等于整體的熵。所以熵和內(nèi)能一樣是廣延量， 具有相加性。1.2統(tǒng)計(jì)物理熵 統(tǒng)計(jì)物理熱力學(xué)研究的對(duì)象是包含大量子系統(tǒng)的宏觀系統(tǒng)， 對(duì)理想氣體進(jìn)行分析所得到結(jié)論，具體的實(shí)例就是理想氣體。通過 很多對(duì)于包含大量子系統(tǒng)的所有熱力學(xué)系統(tǒng)都是普遍適用1872年玻爾的。從物理熱力學(xué)系統(tǒng)中，對(duì)一般復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，可以找出規(guī)律。 茲曼對(duì)克勞修斯的熱力學(xué)熵理論進(jìn)行了拓展。質(zhì)上是系統(tǒng)內(nèi)粒子數(shù)的某種可能組態(tài) 態(tài)。一種宏觀態(tài)所對(duì)應(yīng)微觀的數(shù)目 一表達(dá)式：s k l nw他首先提出了

8、微觀態(tài)的概念。所謂微觀態(tài)，實(shí)（即可能的一種分布方式），一種可能的組態(tài)，叫做微觀W叫熱力學(xué)概率。玻爾茲曼在此基礎(chǔ)上，得出了熵的又（1.2.1）式中K是玻爾茲曼常數(shù)， W代表了微觀態(tài)數(shù)目。（1.2.1）式把熵與熱力學(xué)概率有機(jī)地聯(lián)系起 來，這樣，也就很自然地解決了克勞修斯熵的局限性問題。至于（1.2.1）式的物理意義，我們可從一種宏觀態(tài)所對(duì)應(yīng)微觀態(tài)數(shù)目的多少來分析。微觀態(tài)數(shù)目的多少與系統(tǒng)粒子數(shù)的多少相關(guān)密切，熵的大小反映了系統(tǒng)的微觀狀態(tài)分布的混亂程度。把S和lnW等同起來，通過相容于每一宏觀態(tài)的微觀狀態(tài)W，熵成為該宏觀態(tài)的標(biāo)志。意味著不可逆的熱力學(xué)變化是一個(gè)趨向于幾率增加的態(tài)的變化，而其終態(tài)是相應(yīng)于

9、最大幾率的一宏觀態(tài)。玻爾茲曼關(guān)系式把宏觀量S與圍觀狀態(tài)數(shù) W聯(lián)系起來，在宏觀與微觀之間架設(shè)了一座橋梁，既說明了微觀狀 態(tài)數(shù) W的物理意義，也給出了熵函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋。物理概念第一次用幾率形式表達(dá)出來， 意義深遠(yuǎn)。為更好地說明玻爾茲曼關(guān)系式的物理意義及其深刻內(nèi)含，我們不妨來玩一種“棋盤游戲”這里是一個(gè)“棋盤”，棋盤上有1600個(gè)格點(diǎn)。分棋盤為兩個(gè)區(qū)域：中間區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)I, 有100個(gè)格點(diǎn)；外面區(qū)域有 1500個(gè)格點(diǎn)，為系統(tǒng)n；系統(tǒng)I、系統(tǒng)n合起來構(gòu)成一個(gè)孤立 系統(tǒng)。首先設(shè)想游戲開始前所有棋子都集中于中間，100個(gè)棋子將系統(tǒng)I占滿，沒有挪動(dòng)的余地，同時(shí)假定它們相互之間不能交換位置，不可自由調(diào)動(dòng)。即,中

10、間所有的位置都被都被占了，而外面系統(tǒng)是空的，沒有一個(gè)位置被占。也就是說，此時(shí)系統(tǒng)只有一個(gè)狀態(tài)，因?yàn)椴豢赡芰硗庖粋€(gè)狀態(tài)就是全部占滿存在。運(yùn)用一下玻爾茲曼關(guān)系式 （對(duì)數(shù)表達(dá)式S kloge指出，熵是一個(gè)相加的量 SI SIISiSII而 W是一個(gè)相乘的量WIIIWIWII因只有一個(gè)狀態(tài)，所以WI WII1）于是ln10，故系統(tǒng)的熵S=0,即游戲開始前系統(tǒng)處于熵為零的狀態(tài)，相當(dāng)于低溫下完全有序的狀態(tài)。開始玩游戲，完全無規(guī)地將一個(gè)棋子拿走，放到外面區(qū)域任意格子之中去?？紤]此時(shí)系統(tǒng)的熵值，同樣可采用分別計(jì)算系統(tǒng)I,系統(tǒng)n的熵， 然后再求出整個(gè)孤立系統(tǒng)的熵。系統(tǒng)I,100個(gè)格點(diǎn)，99個(gè)占滿，1個(gè)空缺，問題

11、是空缺的格點(diǎn)可在100個(gè)格點(diǎn)位置上任意選擇,因此 WI 100，相應(yīng)有SIRlog；00 4.61R類似在系統(tǒng)n,一個(gè)格點(diǎn)可在1500個(gè)位置上任選，所以Wh1500 ,SiiRln 15007.31R ;結(jié)果是從系統(tǒng)I移動(dòng)一個(gè)棋子到系統(tǒng)n后，系統(tǒng)的熵值為Si Sii 11.92 R繼續(xù)我們的游戲。再移動(dòng)一個(gè)棋子，從系統(tǒng)I到系統(tǒng)n,則對(duì)于系統(tǒng)I來說，第一個(gè)格點(diǎn)可在100個(gè)位置上任選。這第二個(gè)格點(diǎn)的任選程度要小些，只可在100 992同樣，挪所以對(duì)于系統(tǒng)來99個(gè)位置上任選，考慮棋子被挪動(dòng)的次序可以顛倒而不至于影響結(jié)果 動(dòng)到外面區(qū)域的棋子可一樣考慮。原來1500個(gè)，第二個(gè)棋子則為吐 時(shí)（1500 1

12、499）、此時(shí) Wn 計(jì)Wi1499 個(gè),Si8.51R, Sii 13.93R, S Si S, 24.44R一次玩下去，將系統(tǒng)I中的棋子一一挪動(dòng)到系統(tǒng)n中去，相應(yīng)地可分別計(jì)算出各個(gè)狀態(tài)的微觀狀態(tài)數(shù)及其熵值。據(jù)此棋盤游戲給我們繪制出了這樣一幅一系統(tǒng)的熵作為挪動(dòng)的棋子數(shù)的函數(shù)之圖像（見圖1.2.1）,表明游戲的結(jié)果。由圖可看出，挪動(dòng)的棋子數(shù)目即系統(tǒng)n中棋子數(shù)目增加，熵亦逐步增加，清楚地表明 了熵有一極大值。由對(duì)稱性的角度來看， 在游戲進(jìn)行到后期，當(dāng)中間區(qū)域的幾乎所有棋子都 被拿出，中間只剩一個(gè)棋子。此時(shí)系統(tǒng)I的熵，應(yīng)等于拿去第一個(gè)棋子時(shí)的熵值應(yīng)，即僅剩 下一個(gè)棋子和開始拿去一個(gè)棋子時(shí)的熵值應(yīng)一

13、樣；游戲結(jié)束，系統(tǒng)I之熵值回復(fù)到零，這一點(diǎn)已由系統(tǒng)I的熵值曲線是對(duì)稱的得到證實(shí)。而系統(tǒng)n的熵值曲線則正如我們所預(yù)料的呈不對(duì)稱性，這是由系統(tǒng)I、系統(tǒng)n共同構(gòu)成的孤立系統(tǒng)呈現(xiàn)不對(duì)稱的曲線之必要條件。孤立系統(tǒng)的平衡態(tài)熵值為極大值。我們從圖1.2.2所示曲線上看出，極大值對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)n中的棋子圖122棋盤游戲中熵的極大值對(duì)應(yīng)于平衡態(tài)數(shù)在9394之曲線上看出，極大值對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)n中的棋子的密度（棋子數(shù)/格子數(shù)）相等。圖121S i,Sii及S的挪動(dòng)棋子數(shù)關(guān)系由玻爾茲曼關(guān)系式，清楚地看到，熵的問題，牽涉到一個(gè)微觀狀態(tài)數(shù)。由此，系統(tǒng)某 熱力學(xué)狀態(tài)，熵的大小取決于這一狀態(tài)對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目的多少。熵的增加意味著，系

14、統(tǒng)從包含微觀狀態(tài)數(shù)目少的宏觀態(tài)，向包含微觀狀態(tài)數(shù)目多的宏觀狀態(tài)過渡，即從幾率小的狀態(tài)粒子向幾率大的狀態(tài)演變。然而用以表述熵之大小的微觀狀態(tài)數(shù)又代表了什么？其物理意義又如 何呢？就這個(gè)問題，為方便起見，我們用棋盤游戲舉例：注意到在游戲前，系統(tǒng)所處狀態(tài) S=0,相當(dāng)于絕對(duì)溫度零點(diǎn)時(shí)的晶體。引用粒子在空間分布的“無序度”或“混亂度”概念， 這是一個(gè)粒子相對(duì)集中，疏密度大的狀態(tài)，即有序程度極高的狀態(tài)。隨著游戲的進(jìn)行，趨于分散，數(shù)密度愈來愈小。清晰地表明，系統(tǒng)走向無序，即開始時(shí)的排列在某種含義是有 序的，由于游戲產(chǎn)生的混亂，它變?yōu)闊o序。聯(lián)系到微觀狀態(tài)數(shù)，不難理解微觀狀態(tài)多少就是 混亂度的大小。即，微觀數(shù)

15、的多少反映了系統(tǒng)的“混亂度”的大小。不同的微觀量一混亂度 大小及微觀狀態(tài)數(shù)多少所描寫的，結(jié)論完全一致。由玻爾茲曼關(guān)系式，系統(tǒng)某一狀態(tài)熵的大小，反映出該宏觀態(tài)所對(duì)應(yīng)所對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目的多寡，因此，熵增加的過程正是系統(tǒng)無序度增大的過程：熵小，意味著系統(tǒng)混亂度??；熵大意味著系統(tǒng)的混亂度大。因此，玻爾茲曼 關(guān)系式揭示了熵的本質(zhì)：熵代表了一個(gè)系統(tǒng)的混亂程度。這樣，不光是熵的物理意義非常明 確，就連蘊(yùn)意雋永的熱力學(xué)第二定律，也走進(jìn)了千家萬戶，成為日常生活中熟悉的原理。實(shí) 踐告訴我們，任何事物若聽其自然發(fā)展，混亂程度一定有增無減.值得一提的是，這里認(rèn)定W是無序的量度，而其倒數(shù) >W則可以作為有序的一個(gè)

16、直接量度。借助于數(shù)學(xué),1好是W的負(fù)對(duì)數(shù)，很容易將玻爾茲曼關(guān)系式寫成S RIogW對(duì)于這取負(fù)號(hào)的熵，習(xí)慣于稱之為“負(fù)熵”。它本身是有序的一個(gè)量度。也就是，熵是系統(tǒng)混亂度的度量，反其意而用之， 則有：“負(fù)熵”是系統(tǒng)有序度的量度。由以上來看把熵總結(jié)為：（1）不能轉(zhuǎn)化為功的能量或耗散的能量，即不能再加以利用之能；（2）分子無序度或混亂度的量度；（3）能量在空間分布均勻度的量度；（4 ）信息缺乏的量度；（5 ）生態(tài)環(huán)境的污染程度；（6）耗散的再生資源的量度；等等。熵律指出能量形式 的轉(zhuǎn)化是有條件、有方向性的，它只能從有效到無效，而不能從無效到有效的自然轉(zhuǎn)化。即孤立系統(tǒng)的演化或發(fā)展方向是從溫度不均勻至均勻

17、，物質(zhì)不均勻至不均勻，有組織至無組織，復(fù)雜至單一（這一點(diǎn)是僅僅就復(fù)雜與簡(jiǎn)單而言，因?yàn)閺?fù)雜不等于有序、無序同樣可以是復(fù)雜的）等，其發(fā)展是退化式的，它注重的是過程變化而非結(jié)果，這一點(diǎn)與第一定律恰好相反， 因?yàn)殪芈伤磉_(dá)的運(yùn)動(dòng)形式是發(fā)展式的、非重復(fù)的、非循環(huán)的、不可逆的，它是關(guān)于演化方向的規(guī)律。1.3信息熵麥克斯韋在他的 熱的理論 藝術(shù)中提出了一個(gè)假想的妖精模型“在一個(gè)裝滿氣體分子的容器內(nèi)，假設(shè)存在一個(gè)小妖精，其功能如此敏銳。以至于可以追蹤每一個(gè)在運(yùn)動(dòng)中的分子。 設(shè)想一個(gè)容器被一個(gè)有孔的隔板分隔成 開或關(guān)這個(gè)孔是得速度的分子從A會(huì)使B得溫度上升，A的溫度下降。與熱力學(xué)第二定律違背。 分子運(yùn)動(dòng)的信息來

18、操作的，首先，動(dòng)速度。所以必須用光照在分子上， 熱量從高溫?zé)嵩崔D(zhuǎn)移到低溫?zé)嵩?，A、B兩部分。而這個(gè)能察覺單個(gè)分子運(yùn)動(dòng)的生靈米B,而速度小的分子從 BA。這樣，他無須做功就”麥克斯韋的行為是根據(jù)氣體 這個(gè)妖精必須能夠看得見運(yùn)動(dòng)的分子，并且能夠判斷其運(yùn)光被分子散射，散射的光子為妖精吸收，這一過程涉及 導(dǎo)致系統(tǒng)熵的增加。當(dāng)妖精接收到有關(guān)分子運(yùn)動(dòng)的信息的 ，而操作隔板減后，再通過操作隔板來減少系統(tǒng)的熵。信息的取得會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)中熵的增大 少的熵，從數(shù)量上不能超過由于獲取信息引起的熵的增加量。 律。通過上面的分析可知，獲得信息的過程本身為熵增加量過程， 計(jì)某些來降低熵。由此確定了熵與信息的聯(lián)系。因此，這不違

19、背熱力學(xué)第二定 而獲得信息之后，可以設(shè) 1948年香農(nóng)把玻爾茲曼定義的熵引入到信 信息，通息論中，他把熵看作某一隨機(jī)事件中不確定性的量度，從而奠定了信息論的基礎(chǔ)。 常指在學(xué)習(xí)或觀測(cè)中所得到的新聞、 含義，他是指某些抽象的，能被貯存、提取、傳遞和交換的資料以及數(shù)據(jù)的集合，用信息量 來作為定量的描述。根據(jù)香農(nóng)的信息熵理論，1957年E.T.Jaynes將信息熵引入到統(tǒng)計(jì)力學(xué)當(dāng)中，定義為：消息、知識(shí)和數(shù)據(jù)。在科學(xué)上，信息具有嚴(yán)格和確切的nS kPiln Pi（仞）i 1（131） 其中k是一個(gè)正常數(shù)，Pi為信息源的第i個(gè)信息元出現(xiàn)的概率，也可以看作系統(tǒng) 第i個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的概率。 信息熵是信息論中用于

20、度量信息量的一個(gè)概念。一個(gè)系統(tǒng)越是有序，信息熵就越低；反之，一個(gè)系統(tǒng)越是混亂，信息熵就越高。所以，信息熵也 可以說是系統(tǒng)有序化程度的一個(gè)度量。熵的概念源自熱力學(xué)。假定有兩種氣體 當(dāng)兩種氣體完全混合時(shí)，可以達(dá)到熱力學(xué)中的穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)熵最高。如果要實(shí)現(xiàn)反 向過程，即將 a?b完全分離，在封閉的系統(tǒng)中時(shí)沒有可能的。只有外部干預(yù)，也即系 統(tǒng)外部加入某種有序化的東西，使得a?b分離。這時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入另一種穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)，信息熵最低。熱物理學(xué)證明在一個(gè)封閉的系統(tǒng)中，熵總是增加，直至最大。若使 系統(tǒng)的熵減少（使系統(tǒng)更加有序化）必須有外部能量的干預(yù)。信息熵的計(jì)算是非常復(fù) 雜的。而具有多重前置條件的信息，更是幾

21、乎不能計(jì)算的。所以在現(xiàn)實(shí)世界中信息的 價(jià)值大多是不能被計(jì)算出來的。但因?yàn)樾畔㈧睾蜔崃W(xué)熵的緊密相關(guān)性，所以信息熵 是可以在衰減的過程中被測(cè)定出來的。因此信息熵的價(jià)值是通過信息的傳遞體現(xiàn)出來的。在沒有引入附加價(jià)值負(fù)熵的情況下，傳播得越廣 熵首先是物理學(xué)里的名詞。在傳播中時(shí)指信息的不確定性，一則高信息度的信息熵是 很低的，低信息度的熵則高。具體說來，申是導(dǎo)致隨機(jī)事件集合的肯定性，組織性， 法則性或有序性等增加或減少的活動(dòng)過程，毓傳時(shí)間越長(zhǎng)的信息越有價(jià)值。都可以用信息熵的改變量這個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)尺a?b.來度量。考慮存在有 P種可能性，其幾率均等的。例如，一個(gè)莫斯電碼P 27; 一旦在P種可能性之中選定其

22、一，我們就取得了信息,P 2 ; 個(gè)拉丁字母P愈大，相應(yīng)地做出了選著之后信息量也愈大，這樣，信息PI被定為I KlOge這里K為比常數(shù)。由于相互獨(dú)立的選擇可能性是相乘的，對(duì)應(yīng)的信息量按此定義就具有相加性。如果考慮一個(gè)信息量是以連串幾個(gè)相互獨(dú)立的選擇的結(jié)果你,其中每一個(gè)選擇都是在0或1之間作出的，因?yàn)榭偟腜值應(yīng)為P 2n，于是Klog? nKlog：如果令I(lǐng)與n等同，則1log：這樣定出的信息量的單位,就是在計(jì)算機(jī)科學(xué)中普遍使用的比特(bit);如果令K等于玻爾茲曼常數(shù)R，那么信息就用熵的單位來度量。上述的例子中，終態(tài)都是唯一的，很顯然可以將I的定義推廣到終態(tài)還存在有多種可能性的情況，就需要分別

23、知道始態(tài)的可能性P0和終態(tài)的可能性R，這樣 I K log? K log：0 K log：1 例如，考慮擲骰子所獲的信息，在未擲之前,Po 6，擲出某一確定數(shù)字的信息（P 1）等于Klog：，這樣，擲出的偶數(shù)信息（ P23 ）就等于 Klog e按照布里淵的思想信息不同的可能性可以和狀態(tài)容配數(shù)聯(lián)系起來,從而獲得信息與熵的關(guān)系。考慮某一系統(tǒng)，始態(tài)時(shí)，信息1。 0，配容數(shù)為F0，則熵為S0RlogJ而終態(tài)時(shí)，信息I1 0容配數(shù)P Po，熵Si RIogf顯然，在所考慮的情況，系統(tǒng)并非孤立系統(tǒng)的，當(dāng)信息獲它的熵增加了,得后，使容配數(shù)降低， 導(dǎo)致熵的減少， 而這信息必須有外界機(jī)構(gòu)提供,這樣I1 K （

24、log e0 log P1）S。 0即信息相等于物理系統(tǒng)中總熵中的一個(gè)負(fù)值的量信 息=熵的減少=負(fù)熵N的增加。就是說，信息可以轉(zhuǎn)換為負(fù)熵，反之亦然一這就是信 息的負(fù)熵原理。2.熵的應(yīng)用 2.1熵判據(jù)；因此，孤立系的平衡態(tài)熵必為極大。熵增加原理告訴我們：孤立系統(tǒng)的熵永不減少。在孤立系中，如果開始時(shí)系統(tǒng)不處于 平衡態(tài)，那么，系統(tǒng)一定會(huì)發(fā)生變化，這個(gè)變化向著熵增加的方向進(jìn)行。當(dāng)熵不斷增 加達(dá)到極大值時(shí)，系統(tǒng)就不能再變化了，因?yàn)樵僮兓鼐蜁?huì)減少。因此，熵為極大對(duì) 應(yīng)孤立系統(tǒng)處于平衡。反之，如果孤立系統(tǒng)已經(jīng)處于平衡態(tài)，那么它的熵必為極大， 否則它還可能再發(fā)生變化（向著熵增加的方向）總的來說,熵為極大是孤

25、立系熱動(dòng)平衡的充分與必要條件,即SSmax孤立系統(tǒng)處于平衡態(tài)。令熵S是n個(gè)獨(dú)立變量（為，,xn） X的函數(shù)（符號(hào)X是n個(gè)變量的簡(jiǎn)記）若熵在（X10, X0） X0處取極大值，則對(duì)于任X0的微小變動(dòng)X ( Xi, , Xn)，必有(參考圖 3.1.1) S S(X10X1,0，XnXn)S(X10, ,xn) 0，（3.1.1）這里特意引入一特別的符號(hào)來表示XX點(diǎn)的熵與極大點(diǎn)的熵之差。以上表述還不完全，還必須把求熵極大的附加條件表述起來，這個(gè)條件就是體現(xiàn)孤立系統(tǒng) 所相應(yīng)的數(shù)學(xué)條件在只有膨脹功的條件下，孤立系的條件可以用內(nèi)能、體積和總粒子數(shù)不變來表達(dá)。于是，熵判據(jù)可以表述為如下：一物體系在內(nèi)能、體

26、積和總粒子數(shù)不其中S 0為極值的必要條件，無論是極大還是極小都應(yīng)滿足;2S 0才決定是極大而不是極??；最后一行是附加條件。在數(shù)學(xué)上, 題。用熵判據(jù)推導(dǎo)平衡條件，應(yīng)用（2.1.1 ）是多元函數(shù)的條件極值問2.1.1 ）導(dǎo)出熱平衡、力學(xué)平衡與相變平衡條件。將熵判據(jù)重寫為于下:(2.1.1a)2S 0(2.1.1b)U 0,0, N 0(2.1.1c)為簡(jiǎn)單，設(shè)想系統(tǒng)由兩個(gè)均勻部分組成，分別代表兩個(gè)相，相互接觸，彼此之間，但保持總體體積可以發(fā)生能量與物質(zhì)的交換，而且兩個(gè)子系統(tǒng)的體積也可以改變,不變。令S1,S2；U1,U2； N1,N2分別代表兩個(gè)子系統(tǒng)的熵、內(nèi)能、體積與總粒子數(shù)。對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，有：V

27、S1V1S2；UV2；NU1N1U2N2(2.1.2)于是有 SS1S2Saa 1,2（2.1.3 ）由于是Sa是（Ua,Va, Na ）的函數(shù)，故有Sa(U-)Va,NaU aUa（氣Va,NaS 0Va(寸)Ua,Va Na (2.1.4)注意到()0代表偏微N a商取極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的變量值，亦即取平衡態(tài)所對(duì)應(yīng)的變量值。根據(jù)粒子數(shù)可變系統(tǒng)的學(xué)基本微分方程（見（2.1.1dUa TadSa PadVaadNa 或dSaTrdU護(hù)才dNa2.1.5)Va,Naa蟲（KN占;(令)Ua,Na Ta;V")Ua,VaTa VaTa NaaTa（2.1.6 ）于是（2.1.4 ）化為:Sa在

28、形”即可。由約束條件（2.1.1c）及( 2.1.2 )得U2 U1；V2N1(2.1.8 )將式( 2.1.7 )帶入（2.1.3 ),并利用(2.1.8 )得U1S2PTV1U2¥V22T2N2)T2)U1(P P2) V ( 1(Tr T；) V1T1 T22) N1根據(jù)熵判據(jù)，熵S取極大值的必要條件為S(2.1.10 )由于（2.1.9 ）式中的1PSa Ua = V Na （ 2.1.7 ）也就是說對(duì)無窮小的虛變動(dòng)，一階TaTaTa式上與熱力學(xué)基本微分方程（2.1.5 ）相同，形式上只需要把“d ”改寫為T2； P P2； 1 2U1, V和 叫均可獨(dú)立改變，故由（2.1.

29、10 ）得到平衡條件T1（2.1.11），式中第一個(gè)為熱平衡條件，第二個(gè)為力學(xué)平衡條件，第三個(gè)為相變平衡條 件條件。2.2熵在生物體系中的應(yīng)用生物物種的遺傳信息是依靠基因保持與傳遞的，越簡(jiǎn)單的生命基因中所含的信息量越 少，越是高等的生命，其基因的信息含量越大。當(dāng)細(xì)胞開始按基因上的信息自我復(fù)制時(shí)，成 長(zhǎng)起來和分化出來的細(xì)胞不斷擴(kuò)大，其總體的信息量是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過母細(xì)胞核中的基因信息量。生命具有自組織性，在沒有外界特定的安排下，系統(tǒng)內(nèi)部自己形成有序的結(jié)構(gòu)，細(xì)胞信息不這需要細(xì)胞的特殊結(jié)構(gòu)，需斷的擴(kuò)大，可以認(rèn)為是信息復(fù)制和擴(kuò)大過程是一個(gè)負(fù)熵的過程,要有一系列的細(xì)胞器配合完成，復(fù)制出的細(xì)胞又有序的排列形成器官

30、，負(fù)責(zé)生命體中特定目 的的功能。自然界也存在著負(fù)熵的情況，如液體的凝結(jié)，氣體的液化，屬性相同的物質(zhì)沉積 在一起等等，這些過程是自然界中的低級(jí)過程，就總體而言，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的熵傳遞到另一系統(tǒng)后，該局部系統(tǒng)的熵就減少了， 但整個(gè)自然界的熵仍然是在增加和擴(kuò)散的，生命體也是相 同的原理，生命體的有序性和低熵， 是不斷從外界吸取負(fù)熵， 排除無序性即排除高熵來實(shí)現(xiàn)的。在生命發(fā)育和生長(zhǎng)過程中，就是信息擴(kuò)大的過程，熵是減少的，或者說是負(fù)熵增加的過程。與之相反的過程是生命不斷耗散和有序性，組織性不斷被破壞的過程，是信息不斷消失 的過程，它趨向于與自然界平衡。生命體就是這么一個(gè)斗爭(zhēng)的過程，不斷的發(fā)育和生長(zhǎng)，自 我復(fù)

31、制，從外界吸取負(fù)熵，如食物，能量，水，氧等，同時(shí)排除高熵物質(zhì)，無序性的物質(zhì)如 糞便，汗水，二氧化碳等。兩個(gè)相反的過程不斷的斗爭(zhēng)，就是不斷吸取負(fù)熵，然后又不斷的被消耗的過程，生命在兩者的斗爭(zhēng)過程中得以延續(xù)。對(duì)于生命熵而言，等于身內(nèi)部孤立系統(tǒng)演變產(chǎn)生的熵和外界的熵交流之和，ds=des+dis，des是生命體和外界之間的熵的交換，可 以為正直也可以為負(fù)值， 或者為零。 從外界吸取的熵為 desi ，排除的熵為 deso ，兩者的差 值 des=desi-deso 就是生命體從外界交換的熵總值。 dis 表示生命體系統(tǒng)內(nèi)部的熵的產(chǎn)生， 根據(jù)熵增加原理，孤立系統(tǒng)中的熵是不可能減少的， 即dis >

32、;0。如果系統(tǒng)中des為負(fù)值且 大于 dis 增加值時(shí)，生命體總的熵值在減少，表現(xiàn)為生命體處于一個(gè)被組織起來的，不斷 的發(fā)展壯大的生長(zhǎng)過程。 反之， 如果整個(gè)生命體的熵在增加， 則是一個(gè)組織和機(jī)體不斷的被 破壞和消耗的過程， 是一個(gè)從有序性走向無序性的過程， 也就是衰老的過程， 最后與自然界 處于平衡狀態(tài)， 不再有熵的交換。熱力學(xué)中的熵增加原理告訴我們，世界的熵正在增大，社 會(huì)正走向無序。 目前遇到的能源問題，環(huán)境問題， 人口爆炸等恰好印證了熵增加原理。 在我 們生產(chǎn)商品，開采礦石， 設(shè)施建設(shè)等過程中， 消耗了別的物質(zhì)的負(fù)熵， 一部分轉(zhuǎn)移到了產(chǎn)品 中，一部分被浪費(fèi)， 而且生產(chǎn)過程排出正熵到環(huán)境中。隨著社會(huì)創(chuàng)造的財(cái)富的增加，能量被 越來越多的消耗，地球的熵越來越多，最后達(dá)到極限，將沒有負(fù)熵可以利用，世界處于一片 混亂和無序之中，對(duì)悲觀論者而言，這就是人類社會(huì)發(fā)展的終結(jié)。我們的社會(huì)系統(tǒng)， 是一個(gè)開放系統(tǒng)。 開放系統(tǒng)是一切系統(tǒng)的普遍屬性， 絕對(duì)孤立的系統(tǒng) 不存在， 只存在于人的思維假設(shè)中。 人類社會(huì)是一個(gè)開放的系統(tǒng)， 它必須要從外界吸取負(fù)熵， 排除正熵， 來減少總熵增加或者維持總熵不變， 與熵增加原理對(duì)抗， 以維持自身的組織性和 次序性 . 社會(huì)需要有序和穩(wěn)定，有組織而不是混亂，要負(fù)熵而不是熵增加，而熵增加是一切 自然過程的必然趨勢(shì) . 實(shí)現(xiàn)有序的，高級(jí)的社會(huì)需要增大