換元法的常見形式

1、換元法的常見形式在數(shù)學解題過程中，根據(jù)已知條件的特征，引入新的變量，對題目進行轉化，形成一個用新變量表達的問題，通過解決新問題，來達到解決原問題的目的，這種解題方法叫做換元法。換元法的形式很多，但它們有一個共同特點，改變問題的結構形成新問題，為解決問題提供可能性，它是數(shù)學中轉化和化歸思想的一個重要體現(xiàn)。下面舉例說明換元法的常見形式的應用。一、三角換元例1 已知a+b=4，x2+y2=9，求ax+by的最大值。解 由a+b=4，可設a=2cos,b=2sin；由x2+y2=9，可設x=3cos,y=3sin.于是ax+by=6coscos+6sinsin=6cos(-)6又當-=2k(kZ)時，

2、上式中等號成立。即ax+by的最大值是6.一般地，題目中若有條件a2+b2=r2(r0)，常設a=rcos,b=rsin進行三角換元，將問題改變成一個三角函數(shù)有關的問題，再利用三角函數(shù)知識、方法進行解答，此方法稱為三角換元。事實上，對于任意兩個實數(shù)x,y，在坐標平面上總有惟一的對應點A(x,y)與之對應，設此點到原點的距離為r，射線Ox逆時針方向旋轉到射線OA時，所轉過的最小正角為，則x=rcos,y=sin。例2 實數(shù)x,y滿足4x-5xy+4y=5，設S=x+y，求S的最大值和最小值。22解 設x=rcos,y=sin，則4r-5rcossin=5，r=2222222225 4-5coss

3、in510= 4-5cossin8-5sin21010所以當sin2=1時，Smax=；當sin2=-1時，Smin=. 313所以S=x+y=r=222二、增量換元若題目的已知中有形如a>b的條件，則可考慮設a=b+t,t>0，將問題進行轉化。此法稱為增量換元，也叫設差換元。它的作用是將不等條件轉化為相等條件，使得式子方便地進行運算變形。例3 已知x,y,z(0,1)，且x+y+z=2. 求證xy+yz+xz>1證明由x,y,z(0,1),存在,(0,1),且x=1-,y=1-,z=1-由x+y+z=2，得(1-)+(1-)+(1-)=2，即+=1xy+yz+xz=(1-)

4、(1-)+(1-)(1-)+(1-)(1-)=3-2(+)+(+)=1+(+)>1xy+yz+xz>1三、分母換元將分式的分母看成整體，用新的變量代替，從而可以較方便地進行分式的變形，達到解決問題的目的，不妨稱之為分母換元。例4 已知x,y,z是正數(shù)，求證xyz3+ y+zx+zx+y2證明 設a=y+z,b=x+z,c=x+y， 則x=b+c-aa+c-ba+b-c,y=,z=. 222所以xyzb+c-aa+c-ba+b-c+=+ y+zx+zx+y2a2b2c=(bacabc33+)+(+)+(+)-2a2b2a2c2c2b2233= 22a2b2c2+12. 例5 已知a&

5、gt;1,b>1,c>1. 求證：b-1c-1a-11x,b1y,c1z,x>0,y>0,z>0.于是證明：由a>1,b>1,c>1，可設a2a2b2c2(1+x)2(1+y)2(1+z)2)2)+=+b-1c-1a-1yzxyxxyz=+)4=12yzx四、根式換元對于根式用一個變量將其代替，即可把無理式問題轉化為有理式問題，實現(xiàn)問題的轉化，稱之為根式換元。例6求函數(shù)P=解設a=,ba2+b2=4，a0，b0.)圓弧在平面直角坐標系xoy中，點M(a,b是x2+y2=4(x0,y0)上的點，如圖所示。P=a+=2所以P表示點M(a,b)到直線l

6、0:x=0的距離的2倍。過點M(a,b)作直線l0:x=0的平行線l，則P表示直線l0與l的距離的2倍。設平行直線l0與l的距離為d.則當l過點A時（直線l1），d取最小值1，此時P=2；當l與圓弧相切時（直線l2），d取最大值2，此時P=4.所以函數(shù)P=此題通過做a=b=2,4.問題轉化為兩直線距離問題，簡明直觀。當然22由a+b=4，a0，b0可設a=2cos,b=2sin,02則是三角換元，也可以解決問題。五、式子的部分代換將式子的一部分視為一個整體，用一個變量代替，將問題進行轉化，達到解決問題的目的。不妨稱之為式子的部分代換。它是上面根式換元的推廣。111+=1.求證abc2221+a

7、1+b1+c111,y=,z=證明：設x=，則0<x<1,0<y<1,0<z<12221+a1+b1+c例7 已知a>0,b>0,c>0，并且并且a=111+=1，所以x+y+z=1.b=c=又2221+a1+b1+c所以a=同理b=c=abc= =本例中，通過換元，使得復雜的已知條件三個分式的和為1，轉化為看起來較簡單的條件x+y+z=1，便于將其應用于要證的結論，從而解決問題。六、和差代換對于任意兩個實數(shù)x,y，總存在實數(shù)a,b使得x=a+b,y=a-b。這就是和差代換，利用它常可獨辟溪徑、簡化問題。例8 實數(shù)x,y滿足x2-2xy+y2+12=0，求xy的最小值。分析：注意到已知條件整理成(x-y)2x+y)+12=0，設x=a+b,y=a-b，則4b2-+12=0，b=2a-0a2所以xy=a-b=a-222245(a-=(a-+(a.2416所以當a=時，xy取最小值12.同學們在解題實踐中，不斷地積累經(jīng)驗，探索規(guī)律，就能達到根據(jù)問題的特點，熟練進行換元轉化，實現(xiàn)化繁為簡。下面是一組用可以換元法解答的題目，請同學們試一試。1.實數(shù)x,y滿足x2+y2=4，求xy的最小值；2.實