D19連續(xù)函數(shù)的運算71596

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、連續(xù)函數(shù)的運算法則一、連續(xù)函數(shù)的運算法則 第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增. xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運算法則一、連續(xù)函數(shù)的運算法則定理定理1. 在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運算, 結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減)

2、(證明略)在1, 1上也連續(xù)單調(diào)(遞減)11xoy22遞增.xsinxarcsin目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xye在),(上連續(xù)其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如又如, xyoxylnxey 11單調(diào) 遞增,).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx則有連續(xù)在點函數(shù)若定理3證：證：,)(連續(xù)在點auuf.)()(, 0, 0成立恒有時使當(dāng)afufau目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)(lim0axxx又,0, 0, 00時使當(dāng)對于xx.)(成立恒有auax將上兩步合起來:,0, 0, 00時使當(dāng)xx)()()()(afxfafuf.

3、成立)()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 意義意義1.1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換; ;.)(. 2的理論依據(jù)變量代換xu例例1 1.)1ln(lim0 xxx求. 1 xxx10)1ln(lim原式)1(limln10 xxx eln 解解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.4. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.證證: 設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點 x.)(00ux,)(0連續(xù)在點函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復(fù)合函數(shù))(xf.0

4、連續(xù)在點 x且即注意定理注意定理4 4是定理是定理3 3的特殊情況的特殊情況. .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *rx因此xy1sin在*rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xy1sinxyo目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)定義區(qū)間定義區(qū)間是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間1.1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), ,在其定義在其定義 域內(nèi)不一定連續(xù)域內(nèi)不一定連續(xù); ;2. 2. 初等函

5、數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法. .說明：說明：)()()(lim000定義區(qū)間xxfxfxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21xy的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為znnx,2因此它無連續(xù)點而例例2 2. 1sinlim1xxe求1sin1e原式. 1sin e解解1.1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), ,在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù); ;2. 2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法. .)()()(lim000定義區(qū)間xxfxf

6、xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例4. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxex36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2)21ln(sin3li

7、m0 xxxe目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 若) 1)(, 0)( ,)(lim0 xuxuaxuxx則有)()(lim0 xvxxxu,)(lim0bxvxxe)(ln)(lim0 xuxvxxeablnba冪指函數(shù)即：)()(lim0 xvxxxuba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1,41,)(xxxxx例例6. 設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續(xù); 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類間斷點 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時xfx在點 x = 1 不連續(xù) , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算四則運算結(jié)果仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí),)(0連續(xù)在點若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續(xù)? 反例,