多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)(二)

1、教學(xué)時(shí)間第十課時(shí)課題§ 9.9.2 研究性課題：多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)（二） 教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.歐拉公式的證明 .2.歐拉公式的應(yīng)用 .（二）能力訓(xùn)練要求1.使學(xué)生能理解多面體歐拉公式的證明過程并能敘述其證明思路.2.使學(xué)生掌握多面體歐拉公式并靈活地將其應(yīng)用于解題中.（三）德育滲透目標(biāo) 繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生尋求規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī)律、并利用規(guī)律解決問題的能力 教學(xué)重點(diǎn) 歐拉公式的應(yīng)用 .教學(xué)難點(diǎn)歐拉公式的證明思路 .教學(xué)方法 學(xué)導(dǎo)式 本節(jié)課繼續(xù)上節(jié)課對(duì)歐拉公式的研究活動(dòng)， 遵循尋求規(guī)律發(fā)現(xiàn)規(guī)律認(rèn)識(shí)規(guī)律 應(yīng)用規(guī)律的學(xué)習(xí)過程， 對(duì)上節(jié)課已猜想出的歐拉公式進(jìn)一步深入研究， 探索它的證明思

2、路， 讓學(xué)生了解這種證明思想， 進(jìn)而達(dá)到熟練掌握歐拉公式的目標(biāo)， 以便于學(xué)生得心應(yīng)手地將歐 拉公式應(yīng)用到各種問題的解決中 .教具準(zhǔn)備5（1）（2）（記作§ 9.9.2 A）1（記作§ 9.9.2 B ）2（記作§ 9.9.2 C）投影片三張 第一張：課本 P59 問題 第二張：本課時(shí)教案例 第三張：本課時(shí)教案例教學(xué)過程I .課題導(dǎo)入這節(jié)課師上節(jié)課我們已經(jīng)猜想出了歐拉公式并且同學(xué)們也已自學(xué)了它的證明過程， 我們繼續(xù)對(duì)它的證明方法及其重要應(yīng)用進(jìn)行學(xué)習(xí)和探討 .n .講授新課師上節(jié)課我們已對(duì)課本 P58 的歐拉公式的證明進(jìn)行了自學(xué)，那么，誰能說一下課本 中的證明思路和關(guān)

3、鍵是什么？V、 F、 E 三者之間的關(guān)系問題，轉(zhuǎn)化生將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形 . 師好，前面，我們經(jīng)常使用把不在同一平面中的幾何圖形的問題轉(zhuǎn)化為同一平面中 圖形的問題，所以此處如果能把求一個(gè)簡單多面體的 為平面中的問題就會(huì)前進(jìn)一大步了 .P58 圖 9 85 的多面體，將它的底面 986 相應(yīng)的平面多邊形 .那么課本中是怎樣實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的呢？ 生把多面體想成是用橡皮膜做成的，即課本 ABCDE 剪掉，然后其余各面拉開鋪平，得到如圖但是不是又引起了我們?cè)瓗熢谶@個(gè)變化過程中雖然實(shí)現(xiàn)了立體圖形平面化的目的， 來多面體的V、F、E的改變了呢？為什么？生不會(huì)引起原來多面體中V、E、F的變化，以上變化過程中只

4、改變了原多面體各面的大小，各棱的長短，而V、F、E這三個(gè)數(shù)與各面的大小、 各棱的長短是無關(guān)的.師也就是說只要不改變每個(gè)面（多邊形）的邊數(shù)，不使頂點(diǎn)（棱或面）重合，無論 怎樣改變面的形狀的大小及棱的長短，V、F、E這三個(gè)數(shù)就不變，當(dāng)然，它們之間的關(guān)系也不會(huì)改變.好，下面請(qǐng)同學(xué)提出在自學(xué)歐拉公式證明過程中所遇到的問題.（學(xué)生思考整理問題，教師等待、耐心解答，可能會(huì)問到以下問題）在課本P59的3.計(jì)算多邊形內(nèi)角和（2）中 n什n2+nF和多面體的棱數(shù)E有什么關(guān)系? 說明理由.ni+n2+ +n f=2E )（教師應(yīng)給學(xué)講清因?yàn)槎嗝骟w每一條棱同屬于兩個(gè)面，所以有怎樣理解P59的3.計(jì)算多邊形內(nèi)角和（4

5、）中的“全體多邊形”？（教師應(yīng)給學(xué)生說清是各小多邊形及最大多邊形ABCDE ）怎樣說明為什么有“ （E F） 360 ° = （ V-2） 360 °” ?（教師應(yīng)再次強(qiáng)調(diào)給學(xué)生：在變形過程中，原來多面體的面是幾邊形，它對(duì)應(yīng)的仍是幾邊形，而 多邊形的內(nèi)角和僅與邊數(shù)有關(guān)，所以多面體各面多邊形的內(nèi)角和應(yīng)等于圖9 86中各小多邊形及“最大”多邊形（即多邊形 ABCDE ）的內(nèi)角總和.師歐拉定理表明，任意的一個(gè)簡單多面體，經(jīng)過連續(xù)變形后，盡管它的形狀可以變化萬千，但有一個(gè)數(shù)始終不變，這就是：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)，它總是等于 2.所以將2叫做連續(xù)變形下的不變數(shù).下面，我們來應(yīng)用歐拉定理

6、 .（打出投影片§9.9.2 A,讀題）師問題5的（1）是關(guān)于化學(xué)上 C60分子的結(jié)構(gòu)問題，也是歐拉公式的應(yīng)用問題（以下過程教師板書）解：設(shè)C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有x個(gè)和y個(gè).1多面體的頂點(diǎn)數(shù) V=60,面數(shù)F=x+y，棱數(shù)E=1 （3 X 60）,根據(jù)歐拉公式，可得2160+ （ x+y）- ? （3X 60） =2另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來表示，即11-（5x+6y） =- （3X 60）22由以上兩方程可解得x=12,y=20答：C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有12個(gè)和60個(gè).師對(duì)于問題 5 （2）則通常先假設(shè)一個(gè)簡單多面體的棱數(shù)E=7，再根據(jù)歐

7、拉公式進(jìn)行推理論證.（師生共同寫出以下過程）解：假設(shè)一個(gè)簡單多面體的棱數(shù)E=7,根據(jù)歐拉公式 V+F - E=2 ,得V+F=7+2=9因多面體的頂點(diǎn)數(shù) V > 4,面數(shù)F > 4,所以只有兩種情況:V=4, F=5 或 V=5, F=4,4個(gè)面，所以上述兩種情況1 ）的關(guān)鍵是什么?因?yàn)?個(gè)頂點(diǎn)的多面體只有是四面體，而四面體也只有 （V+F=9 ）都不存在.答：沒有棱數(shù)是7的簡單多面體.師通過問題 5兩個(gè)小題的分析之后，你體會(huì)到解決（生甲利用歐拉公式列出一個(gè)等式.生乙利用棱數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系列出一個(gè)等式.師甲、乙兩位同學(xué)說得都對(duì)，解決（1 ）的關(guān)鍵就是找等量關(guān)系，即根據(jù)歐拉公式及棱數(shù)與

8、邊數(shù)的關(guān)系列出兩個(gè)變量關(guān)系.再思考（1）中應(yīng)用了數(shù)學(xué)的什么重要思想？生方程思想.師對(duì)，本題也旨在培養(yǎng)同學(xué)們利用方程解未知量的思想.對(duì)于解決（2）的關(guān)鍵又是什么呢？生V> 4,F> 4是一個(gè)幾何體為凸多面體的必要條件.本題中抓住F=4與V=4必然同時(shí)成立引出矛盾.師這也是凸多面體具有的一條重要性質(zhì)，希望同學(xué)們能夠注意.繼續(xù)體會(huì)歐拉公式的應(yīng)用.（打出投影片§9.9.2 B,讀題）例1 已知，一個(gè)簡單多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都有三條棱，求證：V=2F - 4.師欲求出V與F的關(guān)系，需結(jié)合已知條件尋找 V與E的關(guān)系，再結(jié)合歐拉公式得 出，具體如何做呢？3V=2E生因此簡單多面體每個(gè)頂點(diǎn)都

9、有三條棱，而每條棱上有兩個(gè)頂點(diǎn)，所以有3V+F - - V=2,2即EV.又因?yàn)楹唵味嗝骟w頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間適合歐拉公式，所以2即 2V+2F - 3V=4.故得 V=2F - 4.師以上題目要注意準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)貙⒁阎獥l件中關(guān)于頂點(diǎn)數(shù)與棱數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān) 系式.下面請(qǐng)同學(xué)們回憶前面所學(xué)過的關(guān)于正多面體的概念及其種類.生每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體.正多面體只有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面 體和正二十面體.師對(duì)于“為什么只有五種正多面體”的問題，今天就可以利用歐拉公式證明了（打出投影片§9.9.2 C,

10、讀題）例2證明：正多面體只有四種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、 正二十面體.師解決這個(gè)問題，應(yīng)從什么地方入手考慮？生從正多面體的定義考慮.師同學(xué)們翻開課本 P63歐拉公式和正多面體的種類，仔細(xì)閱讀，體會(huì)其中的證明思 路與方法.(學(xué)生自學(xué)，教師查看，解決學(xué)生疑難問題)川.課堂練習(xí)課本Pej習(xí)題9.9 3、4.P61習(xí)題9.9 3:C70分子是與C60分子類似的球狀多面體結(jié)構(gòu)，它有70個(gè)頂點(diǎn)，以每個(gè)頂點(diǎn)為一端都有3條棱，各面是五邊形或六邊形，求C70分子中五邊形和六邊形的個(gè)數(shù).答案：設(shè)有X個(gè)五邊形和y個(gè)六邊形LL 70 咒 3 F=x+y, V E=10521/ V=70,E=-

11、(5x+6y)270 +X +y -105 =2 電5x+6y)=10512個(gè)，六邊形為25個(gè).解之得x=12,y=25答：C70分子中五邊形為P61習(xí)題9.9.4:設(shè)一個(gè)凸多面體有 V個(gè)頂點(diǎn)，求證它的各面多邊形的內(nèi)角總和為(V 2) 360° .證明：設(shè)這一凸多面體的各面分別為n 1,02,-,nF邊形，則各面多邊形內(nèi)角和是(n 1 2) 180 ° +(02 2) 180° + + (pIf 2) 180° = (04+02+ +nF) T80 ° 2F -180° = (n1+n2+ nF 2F) 180°V 01+0

12、2+ +nf=2E原式=(E F) 360°V V+F E=2 E F=V 2原式=(V 2) 360 °W .課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們探討了歐拉公式的證明方法及其重要應(yīng)用，在理解歐拉公式的證明過程的同時(shí)重在體會(huì)其中的“立體圖形平面化”的思想.另外，同學(xué)們要適當(dāng)準(zhǔn)確地應(yīng)用歐拉公式去解決與多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有關(guān)的問題.V .課后作業(yè)(一)求證：如果簡單多面體的所有面都是奇數(shù)邊的多邊形，那么面數(shù)是偶數(shù).證明：設(shè)簡單多面體的面數(shù)為 F，因?yàn)楦髅娴倪厰?shù)為奇數(shù)，所以簡單多面體各面邊數(shù)的 和為F個(gè)奇數(shù)的和.即(2m +1) +(2n +1) +(2k +1) 當(dāng)把F個(gè)面拼合成多面體時(shí)，兩條邊合成一條棱,棱數(shù)(2m +1) +(2n +1)十+(2k +1)2(m + n 十+k) + FE =偶數(shù)+ F=2_E必須為整數(shù)，所以（偶數(shù) +F）能被2整除，又因?yàn)椋ㄅ紨?shù) F必須被2整除，即F必須為偶數(shù).（二） 1.預(yù)習(xí)內(nèi)容課本P651.球的概念和性質(zhì)至 P66結(jié)束2.預(yù)習(xí)提綱